Сегнетоэлектрики

Рефераты по математике » Сегнетоэлектрики

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации), нелинейностью зависимости , гистерезисом зависимостей D(E) и P(E), а также сохранением поляризованности после отключения внешнего поля. Именно последнее свойство наиболее важно, и во многих случаях под словом "сегнетоэлектрик" подразумевается "область спонтанной поляризованности ", слабо чувствительная к дополнительному наложению электрического поля.

Расчет поля сегнетоэлектриков производится следующим образом. По формулам

$rho^{'} = -divvec{P} {rm или} sigma^{'}= -P_n|_{x+0}+P_n|_{x-0}$

(50)

находится связанный заряд, а затем находится создаваемое им поле с помощью закона Кулона, как если бы этот заряд был свободным:

$vec{E} = frac{1}{4pivarepsilon_0}cdotint frac{(vec{r}_p-vec{r}^{ '})}{|vec{r}_p-vec{r}^{ '}|^3} rho^{'}{rm d}V {rm или} vec{E} = frac{1}{4pivarepsilon_0} cdotintfrac{(vec{r}_p-vec{r}^{ '})}{|vec{r}_p-vec{r}^{ '}|^3} sigma^{'}{rm d}S$

(51)

Если есть выраженная симметрия, то возможно и применение теоремы Гаусса в виде $intvarepsilon_0vec{E}cdot{rm d}vec{S} = rho^{'}$ . Мотивацией такого метода является уравнение Максвелла $div(varepsilon_0vec{E}) = -divvec{P} = rho^{'}$ .

При наличии, помимо сегнетоэлектриков, еще и сторонних зарядов поле последних суммируется с полем сегнетоэлектриков.

Для нахождения смещения привлекается соотношение

$vec{D} = varepsilon_0vec{E} + vec{P}$

(52)

При этом никаких ε для сегнетоэлектрика вводиться не должно.

Задача. Имеется бесконечная пластина из однородного сегнетоэлектрика с поляризованностью . Найти векторы и внутри и вне пластины, если вектор направлен a) перпендикулярно, b) параллельно поверхности пластины.

Решение Разберемся прежде всего в том, какова будет в обоих случаях, то есть какие связанные заряды присутствуют. Для этого надо проверить, как изменяется в направлении самого себя. В случае б) , в том числе и на границах; на них , конечно, изменяется, но не в направлении . А вот в случае а) имеет место скачок от (до) нуля на границах как раз в направлении . Соответственно, поверхностная плотность заряда равна:

σ'(a) = ± P

причем знак плюс берется для той поверхности, в сторону которой "смотрит" вектор , по определению σ'. Как уже говорилось,

σ'(b) = 0

Следовательно, в случае а) мы имеем ситуацию, аналогичную конденсатору и получаем

$vec{E}^{(a)} = -varepsilon_0^{-1}vec{P} {rm внутри и } vec{E}^{(a)} = vec{0} {rm вне пластины}$

в то время как

$vec{E}^{(b)}=vec{0} {rm всюду}$

Заметим, что в случае а) ошибкой было бы записать D = σ'; теорема Гаусса применяется к вектору $varepsilon_0vec{E}$ .

Соответственно, по формуле $vec{D} = varepsilon_0vec{E}+vec{P}$ имеем:

$vec{D}^{(a)}$	=
$vec{D}^{(b)}$	=	$vec{P} {rm внутри и } vec{D}^{(b)} = vec{0} {rm вне пластины}$

Задача. Пластина из сегнетоэлектрика с поляризованностью P, перпендикулярной поверхностям, помещена в конденсатор, обкладки которого замкнуты друг на друга. Пластина занимает η-ю часть зазора и параллельна обкладкам конденсатора. Найти E и D в пластине и в остающемся незаполненным зазоре.

Решение Если Eplate и Eair обозначают электрическое поле, соответственно, в пластине и в воздушном зазоре, то, ввиду замкнутости обкладок конденсатора друг на друга,

η Eplate +(1–η) Eair = 0

Величина D в зазоре и в пластине одна и та же, так как любой другой вариант противоречил бы условиям для нормальной компоненты D на границе пластина-воздух.

Dplate = ε0Eplate+P = Dair = ε0Eair

Из последней цепочки равенств имеем

Eair = Eplate+ε0–1P

Используя это, получаем

η Eplate +(1–η)(Eplate+ ε0–1P) = 0

откуда

Eplate = –(1–η)ε0–1P, Eair = ηε0–1P

Смещение всюду одно и то же и равно Dplate = Dair = η P.

Задача. Тонкий диск радиуса R из сегнетоэлектрического материала поляризован однородно и так, что вектор лежит в плоскости диска. Найти и в центре диска, считая, что толщина диска h намного меньше, чем R.

Решение Введем систему координат так, чтобы плоскость xy была плоскостью диска, а . Найдем связанные заряды. всюду равна нулю, за исключением обода диска (на круглых поверхностях диска тоже , так как там не меняется в направлении ). Поверхностный заряд составит

σ' = –Pr|R+0+Pr|R–0 = Psinφ

где φ угол в полярной системе координат, отсчитываемый от оси x, как обычно. Зная σ', можно найти поле по закону Кулона ( $vec{r}_p=vec{0}$ ):

	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0}cdotint frac{(vec{r}_p-vec{r}^{ '})}{\|vec{r}_p-vec{r}^{ '}\|^3} sigma^{'}{rm d}S =$
	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0} cdotintlimits_{-h/2}^{h/2}intlimits_0^{2pi}frac{Psinvarphi (-Rcosvarphi vec{i}-Rsinvarphi vec{j}-z vec{k})} {(R^2+z^2)^{3/2}} R{rm d}varphi {rm d}z =$
	=	$-frac{R^2pi Pvec{j}}{4pivarepsilon_0}cdotleft.frac{z}{R^2 sqrt{R^2+z^2}}right\|_{h/2}^{h/2}approx -frac{Phvec{j}}{4varepsilon_0 R} = -frac{h vec{P}}{4varepsilon_0R}$

При получении последнего равенства использовано условие R>> h. Обратим внимание на то, что при R→∞ .

Смещение найдется просто как

$vec{D} = varepsilon_0vec{E}+vec{P} = vec{P} cdot left(1-frac{h}{4R}right)$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r