ОГЛАВЛЕНИЕ.
1. Историческая справка
2. Краткая теория
3. Методические рекомендации по выполнению заданий.
4. Примеры выполнения заданий.
1.
Историческая справка
ГАУСС (Gaus ) Карл Фридрих (1777-1855), нем. математик, ин. ч.-к. (1802) и ин. поч. ч. (1824) Петерб. АН. Для творчества Г. характерна органич. связь между теоретич. и прикладной матедатикой, широта проблематики. Тр. Г. оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство осн. теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференц. геометрии (внутр. геометрия поверхностей), матем. физики (принцип Г.), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и мн. разделов астрономии.
2.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ .
Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Коэффициенты a11
,12
,..., a1n
, ... , an1
, b2
, ... , bn
считаются заданными .
Вектор -строка íx1
, x2
, ... , xn
ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
Определитель n-го порядка D=çAê=ça ij
ç, составленный из коэффициентов при неизвестных , называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.
a). Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА .
б). Если D=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.
(2).
Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:
Разделим все члены первого уравнения на , а затем ,умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено ,и получиться система вида:
(3)
Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида :
(4)
Из последнего уравнения системы (4) находим ,подставляя найденное
подставляя найденное значение в первое уравнение , находим .
3. ПРИМЕР.
Методом Гаусса решить систему:
Решение: Разделив уравнение (а) на 2 , получим систему
Вычтем из уравнения (b) уравнение , умноженное на 3, а из уравнения (c) -
уравнение , умноженное на 4.
Разделив уравнение() на -2,5 , получим :
Вычтем из уравнения () уравнение , умноженное на -3:
Из уравнения находим Z=-2; подставив это значение в уравнение , получим Y=0,2-0,4Z=0,2-0,4(-2)=1; наконец , подставив значение Z=-2 и Y=1 в уравнение(a1
) , находим X=0,5-0,5Y-Z=0,5-0,5 1 - (-2)=2. Итак, получаем ответ X=2, Y=1, Z=-2 .
Проверка:
Другие работы по теме:
Основные формулы
Электростатика. - закон Кулона. - напряженность электрического поля - принцип суперпозиции полей. - поток через площадку S. - теорема Гаусса. - теорема о циркуляции.
Расчеты электростатического поля
Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.
Расчеты в хроматографии
Свободный объем колонки (объем подвижной фазы). Объем пробы. Расчет числа теоретических тарелок.
Акушерские щипцы
Акушерские щипцы впервые описаны Альбуказисом, умершим в 1112 г - для мёртвых по типу Иванова-Гаусса. Изобретены в 17 веке Чемберленом и передавались по семье, но открыл их Пальфин и опубликовал открытие.
Решение задачи линейного программирования
Рассмотрим задачу линейного программирования Теорема . Если множество планов задачи (1) не пусто и целевая функция сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение.
Система уравнений по формулам Крамера
Задание № 1 Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера 2) с помощью обратной матрицы 3) методом Гаусса Решение найдем определитель матрицы методом Крамера
Решение систем линейных уравнений
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
Основы высшей математики
Построение подмножеств и диаграмм Венна по заданному универсальному множеству и его составляющим. Сложение, вычитание и транспонирование матриц. Метод понижения порядка и приведения системы к треугольному виду. Методы Крамера, Гаусса и матричный способ.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Матрицы Метод Гаусса
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю"
Основы высшей матиматики
Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
Расчет поляризованности и плотности связанного заряда
Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала.
Расчет жесткого стержня
Построение математической модели и составление программы для расчета опорных реакций жесткого стержня с тремя опорными узлами. Определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки.
Особенности вычисления определителя матрицы
Понятие определителя матрицы, математические и алгоритмические основы его расчета, функциональные модели, блок-схемы и программная реализация. Сущность метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений и вычисления определителя матрицы.
Метод Гаусса для расчета электрических цепей
Разработка алгоритма составления системы уравнений при помощи законов Кирхгофа по определенной электрической схеме. Приложение для решения данной системы методом Гаусса с выбором ведущего элемента по строке. Описание программы, руководство пользователя.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева
Дослідження застосування різницевого методу для розв’язання крайової задачі. Дослідження проводиться на прикладі заданого диференційного рівняння. Дається опис методу та задачі в цілому. Застосування при обчисленні формули Чебишева і формули Гаусса.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Метод вращений решения линейных систем
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.
Линейные электрические цепи 2
Курсовая работа "Линейные электрические цепи" Введение Для решения поставленной задач используется язык С++. На сегодняшний день он является одним из самых распространенных языков программирования. Его преимуществами являются гибкость, переносимость, универсальность. На этом языке написаны самые распространенные на сегодняшний день операционные системы, такие как Windows и Linux.