Расчет поляризованности и плотности связанного заряда

Рефераты по математике » Расчет поляризованности и плотности связанного заряда

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо (т.е. на каких-либо поверхностях) требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала. Теорема Гаусса дает преимущество, если в задаче заданы только заряды. Если потенциал уже задан формулой, то , а далее просто используется уравнение Максвелла для нахождения заряда.

Задача. φ(r) = ar3+b внутри шара радиуса R проницаемости ε. Найти ρ, ρ ', σ '.

Решение: Поле направлено радиально от центра шара; внутри оно равно

$E_r(r) = -frac{{rm d}varphi}{{rm d}r} = -3ar^2, r<R$

а вне шара не потребуется для решения. (Но, в принципе, его можно найти как Er = Q/(4πε0r2) после нахождения ρ и полного заряда $Q = 4piintlimits_0^Rrho(tilde{r})tilde{r}^2 {rm d}tilde{r}$ ). Плотность заряда ρ получаем из уравнения Максвелла:

ρ(r)	=	$divvec{D} = frac{1}{r^2}frac{{rm d}} {{rm d}r}left(r^2varepsilon_0varepsilon(r)E_r(r)right) =$
	=	$frac{1}{r^2}frac{{rm d}}{{rm d}r}left(varepsilon_0varepsilon r^2(-3ar^2)right)= -12avarepsilon_0varepsiloncdot r$

Для нахождения ρ ' и σ ' потребуется поляризованность внутри шара:

Pr = ε0(ε–1)Er = –3aε0(ε–1)r2

Связанные заряды равны:

$rho '(r) = -divvec{P} = -frac{1}{r^2}frac{{rm d}} {{rm d}r}left(r^2(-3avarepsilon_0(varepsilon-1)r^2)right) = 12avarepsilon_0(varepsilon-1)r$

σ '|r = R = Pr|r = R– = –3aε0(ε–1)r2

Задача. Пластина толщины 2a проницаемости ε заряжена как ρ = α x2. Положив φ|x = 0 = 0, написать φ(x), найти ρ ' и σ '.

Решение: Хотя использование уравнения Пуассона при решении данной задачи вполне возможно, более удобным представляется применение теоремы Гаусса к цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x. Таким способом аналогичная задача рассматривалась ранее для случая ε = 1. Изменения требуются в момент перехода от Dx к Ex в области –a<x<a:

$E_x = -frac{alpha a^3}{3varepsilon_0}, x<-a; E_x = frac{alpha x^3}{3varepsilon_0varepsilon} , -a<x<a; E_x=frac{alpha a^3}{3varepsilon_0}, x>a$

Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу

$varphi(x) = -intlimits_0^xE_x(tilde{x}) {rm d} tilde{x}$

верную для любого x (и больше, и меньше нуля). Соответственно, для каждого из трех участков, на которых найдено Ex, получаем:

φ(x)	=	$-intlimits_0^xfrac{alphatilde{x}^3} {3varepsilon_0varepsilon} {rm d}tilde{x} = -frac{alpha x^4} {12varepsilon_0varepsilon}, -a<x<a$
	=	$-intlimits_0^afrac{alphatilde{x}^3}{3varepsilon_0varepsilon} {rm d}x -intlimits_a^xfrac{alpha a^3}{3varepsilon_0} {rm d} tilde{x} = -frac{alpha a^3x}{3varepsilon_0varepsilon}+frac{alpha a^4}{4varepsilon_0}, x>a$
	=	$-intlimits_0^{-a}frac{alphatilde{x}^3}{3varepsilon_0varepsilon} {rm d}x -intlimits_{-a}^xleft(-frac{alpha a^3}{3varepsilon_0} right) {rm d}tilde{x} = frac{alpha a^3x}{3varepsilon_0varepsilon}- frac{alpha a^4}{4varepsilon_0}, x<-a$

Для вычисления плотностей связанного заряда нам не нужен потенциал, но требуется поляризованность внутри пластины (вне она, естественно, равна нулю):

$P_x = varepsilon_0(varepsilon-1)E_x = varepsilon_0(varepsilon-1)cdotfrac{alpha x^3}{3varepsilon_0varepsilon} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha x^3}{3varepsilon}$

Величины ρ ' и σ ' равны:

$rho '(x) = -frac{{rm d}P_x}{{rm d}x} = -frac{(varepsilon-1)cdotalpha x^2}{varepsilon}$

σ '\|x = –a	=	$-P_x\|_{x=-a+} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha a^3}{3varepsilon}$
σ '\|x = a	=	$P_x\|_{x=a-} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha a^3} {3varepsilon}$

Получилось что σ '|x = –a = σ '|x = a, что вполне естественно, ввиду симметрии системы относительно плоскости x = 0.

Задача. В плоский конденсатор при а) поддерживаемом постоянным напряжении б) неизменном заряде обкладок - параллельно обкладкам ввели пластину с проницаемостью ε, которая заняла η-ю часть зазора. Найти σ ' на гранях пластины. Изначально поле составляло E0.

Ответ: a) $|sigma '| = frac{varepsilon_0(varepsilon-1)E_0} {(1-eta)varepsilon+eta}$ ; б) $|sigma '| = frac{varepsilon_0 (varepsilon-1)}{varepsilon} E_0$ Примечание: в процессе решения удобно временно ввести расстояние между обкладками d и разность потенциалов U (для "а") или заряд обкладки σ (для "б"). Естественно, введенные U (σ) должны быть согласованы с известным E0.

Задача. Внутри заземленного цилиндра радиуса R - равномерно заряженный (ρ0) диэлектрик ε = 1+α r. Найти φ(r), ρ', σ'.

Решение: Применяем уравнение Пуассона, так как у нас есть требование на потенциал: φ|r = R = 0:

$frac{1}{r}frac{{rm d}}{{rm d}r}left(varepsilon(r) rfrac{{rm d}varphi}{{rm d}r}right)$	=	$-frac{rho(r)}{varepsilon_0} = -frac{rho_0}{varepsilon_0}$
$frac{{rm d}}{{rm d}r}left(varepsilon(r) rfrac{{rm d}varphi}{{rm d}r}right)$	=	$-frac{rho_0r} {varepsilon_0}$
$varepsilon(r)rfrac{{rm d}varphi} {{rm d}r}$	=	$-frac{rho_0r^2}{2varepsilon_0} + A$
$frac{{rm d}varphi}{{rm d}r}$	=	$-frac{rho_0r} {2varepsilon_0(1+alpha r)} + frac{A}{(1+alpha r)r} = -frac{rho_0r}{2varepsilon_0(1+alpha r)}$

Здесь A = 0, так как иначе поле, то есть –dφ/dr, оказывается неограниченным в точке r = 0. Потенциал находим интегрированием dφ/dr в пределах от R до r:

φ	=	$intlimits_R^rfrac{{rm d}varphi} {{rm d}tilde{r}} {rm d}tilde{r}= -intlimits_r^Rfrac{{rm d}varphi}{{rm d}tilde{r}} {rm d} tilde{r} =$
	=	$frac{rho_0}{2varepsilon_0} intlimits_r^Rfrac{tilde{r}}{1+alphatilde{r}} {rm d}tilde{r} = frac{rho_0}{2varepsilon_0} intlimits_r^Rleft(frac{1}{alpha}-frac{1}{alpha(1+alphatilde{r})} right) {rm d}tilde{r} =$
	=	$frac{rho_0}{2varepsilon_0} left(frac{R-r}{alpha}-frac{1}{alpha^2} lnfrac{1+alpha R} {1+alpha r}right)$

Найдем еще поляризованность:

$P_r=-varepsilon_0(varepsilon(r)-1)frac{{rm d}varphi} {{rm d}r} = frac{rho_0alpha r^2}{2(1+alpha r)}$

Теперь получаем связанный поверхностный заряд

$sigma '|_{r=R} = P_r|_{R-} = frac{rho_0alpha R^2} {2(1+alpha R)}$

и связанный объемный заряд:

$rho '(r) = -frac{1}{r}frac{{rm d}}{{rm d}r} left(rP_rright) = -frac{rho_0}{2r}frac{{rm d}}{{rm d}r} left(frac{alpha r^3}{1+alpha r}right) = -frac{rho_0alpha}{2}cdot frac{2alpha r^2+3r}{(1+alpha r)^2}$

Задача. Внутри заземленного шара радиуса R - равномерно заряженный (ρ0) диэлектрик ε = 1+α r. Найти φ(r), ρ', σ'.

Ответ: $varphi(r) = frac{rho_0(R-r)}{3varepsilon_0alpha} -frac{rho_0}{3varepsilon_0alpha^2} lnfrac{1+alpha R}{1+alpha r}$ ,

$rho '(r) = -frac{rho_0alpha(3alpha r^2+4r)}{3(1+alpha r)^2},$ $sigma '|_{r=R} = frac{alpharho_0R^2}{3(1+alpha R)}$ .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r