Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

Рефераты по математике » Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er

(31)

$E_r = frac{1}{4pivarepsilon_0 varepsilon(r)r^2}q_{inside}, P_r = frac{varepsilon(r)-1} {4pivarepsilon(r)r^2}q_{inside}$

(32)

$rho'(r) = -frac{1}{r^2}frac{{rm d}}{{rm d} r}left(r^2P_rright) = -frac{1}{4pi r^2}left[frac{varepsilon'(r)} {varepsilon^2(r)} q_{inside}(r) + frac{varepsilon(r)-1}{varepsilon(r)} q_{inside}'(r)right]$

(33)

При наличии только объемного стороннего заряда ρ

$rho'(r) = -frac{1}{4pi r^2}left[frac{varepsilon'(r)} {varepsilon^2(r)} q_{inside}(r) + frac{varepsilon(r)-1}{varepsilon(r)} 4pi r^2 rho(r)right]$

(34)

В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:

$sigma'|_{r=r_0} = -P_r|_{r=r_0+}+P_r|_{r=r_0-}$

(35)

Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ' = 0.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ', если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.

Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1<r<R2: если раньше она была Dr = ε0Er, то теперь Dr = ε0ε Er. Это повлечет за собой некоторые изменения в формулах.

Как и раньше,

qinside = 4π r2 Dr(r)

причем

qinside	=	0 при r<R1
		4πσ1R12 при R1<r<R2
		4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Поле на каждом из участков будет

Er	=	0 при r<R1
		$frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon r^2} {rm при} R_1<r<R_2$
		$frac{sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0r^2} {rm при} r>R_2$

При вычислении потенциала мы должны вычислить $intlimits_r^{+infty} E_r(tilde{r}){rm d}tilde{r}$ . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r)	=	$intlimits_r^{R_1}0 {rm d}tilde{r} +intlimits_{R_1}^{R_2} frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon tilde{r}^2}{rm d}tilde{r} + intlimits_{R_2}^{+infty} frac{ sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0tilde{r}^2}{rm d}tilde{r} =$
	=	$0+frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon} left(frac{1}{R_1}-frac{1}{R_2}right) + frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{R_2} {rm при} r<R_1$
φ(r)	=	$intlimits_{r}^{R_2} frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0 varepsilontilde{r}^2}{rm d}tilde{r} + intlimits_{R_2}^{+infty} frac{sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0tilde{r}^2}{rm d}tilde{r} =$
	=	$frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon}left( frac{1}{r}-frac{1}{R_2}right) + frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{R_2} {rm при} R_1<r<R_2$
φ(r)	=	$intlimits_{r}^{+infty} frac{sigma_1 R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0tilde{r}^2}{rm d}tilde{r} =$
	=	$frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{r} {rm при} r>R_2$

В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.

Для нахождения σ ' на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:

$P_r\|_{r=R_1-} = 0$	,	$P_r\|_{r=R_1+} = varepsilon_0(varepsilon-1)E_r\|_{r=R_1+} = frac{sigma_1(varepsilon -1)}{varepsilon}$
$P_r\|_{r=R_2-} = frac{sigma_1R_1^2(varepsilon-1)} {varepsilon R_2^2}$	,	$P_r\|_{r=R_2+} = 0$

Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях r<R1 и r>R2. Сразу же находим $sigma '|_{r=R_1}$ и $sigma '|_{r=R_2}$ (на других поверхностях никакого связанного заряда нет):

$sigma '\|_{r=R_1}$	=	$-P_r\|_{r=R_1+} = -frac{sigma_1(varepsilon-1)}{varepsilon}$
$sigma '\|_{r=R_2}$	=	$P_r\|_{r=R_2-} = frac{sigma_1R_1^2 (varepsilon-1)}{varepsilon R_2^2}$

Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть $4pi R_1^2sigma '|_{r=R_1} + 4pi R_2^2sigma '|_{r=R_2}$ , равен нулю, как и должно быть.

Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ' на краю шара.

Ответ: $E_r(r) = frac{rho_0r}{3varepsilon_0varepsilon}, r<R;$ $E_r(r) = frac{rho_0R^3}{3varepsilon_0r^2}, r>R;$

$left. right. varphi(r) = frac{rho_0R^2}{3varepsilon_0}+frac{rho_0} {6varepsilon_0varepsilon} (R^2-r^2), r<R;$ $varphi(r) = frac{rho_0R^3}{3varepsilon_0r}, r>R;$

$left. right.rho '=-frac{rho_0(varepsilon-1)}{varepsilon}, r<R;$ $sigma '|_{r=R} = frac{rho_0R(varepsilon-1)}{3varepsilon}$ .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r

Другие работы по теме:

Определение напряженности зарядов

Text Text

Электростатическая защита

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Электростатическое поле - эл.поле, образованное неподвижными электрическими зарядами. Свободные электроны - электроны, способные свободно перемещаться внутри проводника ( в основном в металлах) под действием эл. поля;

Основные вопросы теории электрических цепей

1)Какое устройство используют для накопления заряда? а) генератор b) катушка c) конденсатор d) резистор e) трансформатор 2) Эл.ток смещения-это……?

Определение устойчивости равновесия Расчет зависимости напряженности электрического поля от

Два положительных точечных заряда закреплены на расстоянии друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

Основные вопросы теории электрических цепей

Какое устройство используют для накопления заряда. Понятие электрического тока. Условия возникновения электродвижущей силы. Сила тока и его мощность. Закон Ома для участка сети. Электронапряженность и электропроницаемость. Проводники и диэлектрики.

Вихровий характер магнітного поля

Закон повного струму. Рівняння Максвелла для циркуляції вектора напруженості магнітного поля. Використання закону для розрахунку магнітного поля. Магнітний потік та теорема Гаусса. Робота переміщення провідника із струмом і контуру у магнітному полі.

Электрическое поле

Работа по физике Ученика 10 класса А Школы №1202 Круглова Егора Электрическое поле По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве

Экспериментальное подтверждение двойственности свойств магнитного поля

Экспериментальное подтверждение двойственности свойств магнитного поля. Кузнецов Ю.Н. 1.Природа двойственности. Пространственные распределения векторных магнитных потенциалов поля элемента однонаправленного тока зарядов

Основные формулы

Электростатика. - закон Кулона. - напряженность электрического поля - принцип суперпозиции полей. - поток через площадку S. - теорема Гаусса. - теорема о циркуляции.

Физик Кулон Шарль Огюстен

Основные годы жизни Шарля Огюстена Кулона. Краткая характеристика научной деятельности ученого, основные заслуги в области военной инженерии и физики, ученые степени и звания, главные его открытия и понятия. Активное участие в жизни Академии наук.

Расчеты электростатического поля

Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.

Преобразование случайных процессов в безынерционной нелинейной цепи

Железновой Светланы СС0701 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13 «Преобразование случайных процессов в безынерционной нелинейной цепи» Цель работы: изучить теорию преобразования статистических характеристик стационарных случайных процессов в безынерционной нелинейной цепи и подтвердить ее основные положения результатами , полученными в ходе машинного эксперимента, где нелинейным элементом является двухсторонний симметричный ограничитель.

Расчеты в хроматографии

Свободный объем колонки (объем подвижной фазы). Объем пробы. Расчет числа теоретических тарелок.

Сегнетоэлектрики

Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации).

Гипотетическое построение систем уравнений полевой теории стационарных явлений электромагнетизма

Полевая концепция природы электричества является фундаментом классической электро-динамики и базируется на признании факта взаимодействия разнесенных в пространстве элек-трических зарядов посредством электромагнитных (ЭМ) полей.

Метод Гаусса

Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).

Задачи по Математике

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

Методические аспекты построения и анализа электродинамических уравнений Максвелла

На основе закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений построена система дифференциальных уравнений Максвелла.

Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

О проблеме реализации единства существования статических компонент электромагнитного поля

На основе фундамента полевой концепции природы электричества получены функцио-нально связанные между собой системы дифференциальных уравнений для статических электрического, магнитного и электромагнитного полей.

Метод изображений в электростатике

Задачи о нахождении электрического поля системы нескольких точечных зарядов или системы зарядов, равномерно распределенным по каким-либо поверхностям, решаются в электростатике без особых сложностей.

Моделирование электростатического поля

Метод моделирования электростатического поля имеет широкое применение на практике. Пользуясь этим методом, изучают сложные электростатические поля (в электростатических линзах, в электронных трубках и т.п.).

Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

Названное взаимодействие, несмотря на кажущуюся простоту, не удаётся интерпретировать чётко и однозначно. Его можно описать двумя способами: при помощи закона Кулона или, используя полное электростатическое поле зарядов.

Основы высшей матиматики

Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Для решения задач применяется выражение представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса.

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричны

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Для решения задач применяется выражение qinside представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса: - собственно теорема Гаусса,

Расчет жесткого стержня

Построение математической модели и составление программы для расчета опорных реакций жесткого стержня с тремя опорными узлами. Определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки.

Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

Расчет в программах Mathcad и Matlab связи между глубиной залегания подводной лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали. При условии, что пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой.

Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab Расчет в

Контрольная работа Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab Содержание Задание Текст программы в среде MathCAD Текст программы в среде MatLAB

Метод вращений решения линейных систем

Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

Понятия и Законы электростатики

IV правовой курс Понятия и Законы электростатики. выполнил: Скородумов Денис Сергеевич г. Донецк 2002 г. Понятия и Законы электростатики. Электризация –

Ионизирующие излучения

Ионизирующими называются излучения, взаимодействие которых со средой приводит к образованию электрических зарядов различных знаков.

$P_r\|_{r=R_1-} = 0$	,	$P_r\|_{r=R_1+} = varepsilon_0(varepsilon-1)E_r\|_{r=R_1+} = frac{sigma_1(varepsilon -1)}{varepsilon}$
$P_r\|_{r=R_2-} = frac{sigma_1R_1^2(varepsilon-1)} {varepsilon R_2^2}$	,	$P_r\|_{r=R_2+} = 0$