Утечка заряда в конденсаторах

Рефераты по математике » Утечка заряда в конденсаторах

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Диэлектрик в конденсаторе обладает конечным удельным (Ом·см) сопротивлением ξ, которое может зависеть от координат. Ток через конденсатор при U0 = const составляет

$I = frac{U_0}{R}$

(46)

где в случае ξ = ξ(x) или ξ = ξ(r)

$R=intlimits_{x_1}^{x_2} frac{xi(x)}{S(x)} {rm d}x {rm или} R = intlimits_{r_1}^{r_2} frac{xi(r)}{S(r)} {rm d}r$

(47)

S(x) (или S(r)) обозначает площадь эквипотенциальной поверхности. Если батарею отключить, то напряжение на конденсаторе будет спадать по закону

$-C frac{{rm d}U}{{rm d}t} = I(t) = frac{U(t)}{R}$

(48)

где C - емкость. Отсюда получаем

$U(t) = U_0cdot expleft(-frac{t}{RC}right)$

(49)

Задача. Найти сопротивление R цилиндрического конденсатора (R1, R2, L, ξ = сonst).

Решение: Эквипотенциальные поверхности - это боковые цилиндрические поверхности, площадь каждой из которых

S = 2π L r

Поскольку ξ = const, по формуле для сопротивления получаем:

$R = intlimits_{R_1}^{R_2}frac{xi}{2pi L r} {rm d}r = frac{xi}{2pi L} lnfrac{R_2}{R_1}$

Задача: Напряжение на сферическом конденсаторе емкости C (R1, R2) после отсоединения его от батареи спало в η раз за время Δ t. Найти удельное сопротивление диэлектрика (диэлектрик считать однородным).

Решение: Омическое сопротивление описанного конденсатора равно

$R = xi intlimits_{R_1}^{R_2} frac{{rm d}r} {4pi r^2} = frac{xi}{4pi}left(frac{1}{R_1}-frac{1}{R_2} right)$

где ξ - искомое удельное сопротивление.

Если t = 0 соответствует моменту отсоединения батареи, то, как следует из условия, напряжение на конденсаторе в момент t = Δ t составляет U0/η (U0 - начальное напряжение):

$U(Delta t) = frac{U_0}{eta} = U_0cdotexp left(-frac{Delta t}{RC}right)$

откуда получается

$R = frac{Delta t}{Clneta}$

Приравнивая это R и выражение для того же R через ξ, имеем

$xi = frac{4pi Delta t}{Clneta}left(frac{1} {R_1}-frac{1}{R_2}right)^{-1}$

Задача: Напряжение на цилиндрическом конденсаторе с радиусами обкладок R1, R2 и длиной L спало в η раз за время Δ t после отсоединения конденсатора от батареи. Найти удельное сопротивление диэлектрика (диэлектрик однороден и имеет проницаемость ε).

Ответ: $xi = frac{Delta t}{varepsilon_0varepsilon lneta}$ (нет зависимости от R1, R2, L).

Задача. В диэлектрике проницаемости ε на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости расположен небольшой металлический шарик радиуса a<< l. Найти ток, если между шариком и плоскостью поддерживается разность потенциалов U, а удельное сопротивление среды ξ.

Решение Ток может быть найден в любом эквипотенциальном сечении. Например, можно вычислить ток непосредственно на плоскости, с использованием составляющей электрического поля, перпендикулярной к плоскости и легко вычисляемой методом изображений:

$E_{bot} = frac{q}{2pivarepsilon_0varepsilon} cdotfrac{l}{(r^2+l^2)^{3/2}}$

Мы здесь считаем заряд точечным, так как поле ищется далеко от него.

$I = int vec{j}cdot{rm d}vec{S} = frac{1}{xi}int E_{bot} {rm d}S = frac{2pi}{xi}cdot frac{ql}{2pivarepsilon_0varepsilon}intlimits_0^{infty} frac{r {rm d}r}{(r^2+l^2)^{3/2}} = frac{q}{xivarepsilon_0 varepsilon}$

Чтобы связать q с приложенным напряжением, нужно знать емкость C, которая уже найдена в разделе "Вычисление емкости": C = 4πε0ε a. Получается, что

$I = frac{CU}{xivarepsilon_0varepsilon} = frac{4pi a U}{xi}$

Эта задача могла быть решена и проще: сопротивление R между шариком и плоскостью сосредоточено, в основном, вблизи шарика. Тогда при его вычислении можно грубо считать поле вокруг шарика сферически-симметричным, что дает

$R = xiintlimits_a^{infty}frac{{rm d}r} {4pi r^2} = frac{xi}{4pi a}$

после чего ток найдется как I = U/R. Однако, применение такого метода предварительного нахождения R, например, в похожей задаче, в которой вместо заряда задан провод, уже невозможно, в то время как способ интегрирования тока вблизи плоскости остается вполне состоятельным.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r