Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Рефераты по математике » Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

	=	ρ
	=

При этом

$vec{D} = varepsilon_0varepsilon vec{E}, vec{E} = -nablavarphi$

(4)

В вакууме ε = 1, так что

$divvec{D}=varepsilon_0 div vec{E} = -varepsilon_0 div grad varphi = -varepsilon_0 Delta varphi (Delta - {rm оператор Лапласа})$

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

=	$frac{partial varphi} {partial x}vec{i} + frac{partial varphi}{partial y}vec{j} + frac{partial varphi}{partial z}vec{k} - {rm декартова}$	(6)
	$frac{partialvarphi}{partial r}vec{e}_r - {rm цилиндрическая}$	(7)
	$frac{partialvarphi}{partial r}vec{e}_r - {rm сферическая система}$	(8)

=	$frac{partial A_x}{partial x} + frac{partial A_y}{partial y} +frac{partial A_z} {partial z} - {rm декартова}$	(9)
	$frac{1}{r}frac{partial}{partial r}left(rA_r right) - {rm цилиндрическая}$	(10)
	$frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2A_r right) - {rm сферическая система}$	(11)

Δ φ	=	$frac{partial^2 varphi}{partial x^2} + frac{partial^2 varphi}{partial y^2} +frac{partial^2 varphi} {partial z^2} - {rm декартова}$	(12)
		$frac{1}{r}frac{partial}{partial r}left(r frac{partial varphi} {partial r} right) - {rm цилиндрическая}$	(13)
		$frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2 frac{partial varphi}{partial r}right) - {rm сферическая система}$	(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

$left(frac{partial A_z}{partial y} - frac{partial A_y}{partial z}right) vec{i} + left( frac{partial A_x}{partial z} - frac{partial A_z} {partial x}right)vec{j} + left(frac{partial A_y} {partial x} - frac{partial A_x}{partial y}right) vec{k}$

(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле $vec{E} = alpha x exp(-beta x^2)vec{i}$ . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ	=	$divvec{D} = varepsilon_0 divvec{E}$
ρ	=	$varepsilon_0 frac{{rm d}E_x}{{rm d}x} = varepsilon_0 alpha exp(-beta x^2)(1-2beta x^2)$

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

$varphi(x) = -intlimits_{x^*, varphi(x^*)=0}^x E_x(tilde{x}){rm d}tilde{x}$

В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

$varphi(x) = -intlimits_{0}^x E_x(tilde{x}){rm d}tilde{x}$

В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x)	=	$-intlimits_{0}^x alpha tilde{x} exp(-beta tilde{x}^2){rm d}tilde{x} =$
	=	$left.frac{alpha}{2beta}cdot exp(-beta tilde{x}^2)right\|_0^x = -frac{alpha}{2beta}left(1- exp(-beta x^2)right)$

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

$vec{E} = E_rvec{e_r} = -nabla varphi = -frac{{rm d}varphi}{{rm d}r} vec{e_r} = -2arvec{e_r}$

После этого сразу записывается (у нас ε = 1):

$vec{D} (= D_rvec{e_r}) = varepsilon_0 cdot vec{E}$

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

$rho = divvec{D} = frac{1}{r^2}frac{{rm d}} {{rm d}r}left(r^2D_rright) = frac{1}{r^2}frac{{rm d}} {{rm d}r}left(-varepsilon_0cdot 2ar^3right) = -6varepsilon_0a$

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле $vec{E} = Arexp(-alpha r)vec{e}_r$ , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), $varphi(r) = frac{A}{alpha^2} exp(-alpha r)(1+alpha r)$

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля $vec{E} = 2axyvec{i} + a(x^2+y^2) vec{j}$ и для поля $vec{E} = 2axy^2vec{i} + a(x^2+y^2) vec{j}$ .

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r