Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Рефераты по математике » Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.

Метод изображений состоит в замене системы "заряды + проводящая поверхность" на систему "заряды + изображения". Правила построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности. Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси цилиндра:

плоскость q → q' = –q, l → l' = l

заземленная сфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l

цилиндр λ → –λ, l → l' = R2/l

Если сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до бесконечности, где φ = 0).

Основным практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) - всю ее надо отобразить относительно плоскости.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на плоскость.

Ответ: $sigma(r) = -frac{q l}{2pi(l^2+r^2)^{3/2}}$

Задача. Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи плоскости.

Решение: Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем поле от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. После этого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.

Поле одной нити на расстоянии s от нее равно

$E_{wire} = frac{lambda}{2pivarepsilon_0s}$

и направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ( $s = sqrt{l^2+x^2}$ ):

$E_{wire} = frac{lambda}{2pivarepsilon_0 sqrt{l^2+x^2}}$

Такое же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторном суммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, а перпендикулярные ей - удваиваются:

$E_{wire+image} = 2cdot E_{wire, bot} = 2cdot E_{wire}cdot frac{l}{sqrt{l^2+x^2}} = frac{lambda l} {pivarepsilon_0(l^2+x^2)}$

Соответственно, имеем плотность индуцированного заряда:

$sigma(x) = -varepsilon_0E_{wire+image} = -frac{lambda l}{pi(l^2+x^2)}$

Проинтегрировав σ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как и должно быть.

Задача. Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.

Ответ: $sigma(r) = frac{lambda_0}{2pisqrt{l^2+r^2}}$

Задача. На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в наиболее удаленной от него точках шара.

Решение: По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси "центр сферы - заряд q", удаленную от центра на расстояние R2/l. Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет R–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет

Enear	=	$frac{q}{4pivarepsilon_0}cdotfrac{1} {(l-R)^2}+frac{qR}{4pivarepsilon_0l}cdotfrac{1}{(R-frac{R^2}{l})^2} =$
	=	$frac{q}{4pivarepsilon_0}left(frac{1}{(l-R)^2} + frac{R}{l(R-frac{R^2}{l})^2}right) = frac{q}{4pivarepsilon_0} frac{1+frac{l}{R}}{(l-R)^2}$

Сразу же находится σ:

$sigma_{near} = -varepsilon_0 E_{near} = -frac{q}{4pi(l-R)^2}cdotleft(1+frac{l}{R}right)$

Аналогично находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от заряда q направлено от центра, а от изображения - на центр. Сумма этих полей оказывается направленной к центру и по модулю равной:

Efar

$frac{q}{4pivarepsilon_0}cdot frac{frac{l}{R}-1}{(l+R)^2}$

так что

$sigma_{far} = -varepsilon_0 E_{far} = -frac{q}{4pi(l+R)^2}cdotleft(frac{l}{R}-1right)$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r