Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда

Рефераты по математике » Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = φ2 (сфера, цилиндр). Рассмотрим далее случай плоскости.

$frac{{rm d}varphi(x)}{{rm d}x} = frac {A}{varepsilon(x)}$

$varphi(x) = varphi_1+ {A} cdot int limits_{x_1}^x varepsilon^{-1}(tilde{x}){rm d}tilde{x}, A = frac{varphi_2-varphi_1}{intlimits_{x_1}^{x_2} varepsilon^{-1}(tilde{x}) {rm d} tilde{x}}$

Далее можно дифференцированием по x найти поле Ex и Dx:

$E_x = -frac{{rm d}varphi}{{rm d}x} = -{A}varepsilon^{-1}(x), D_x = varepsilon_0varepsilon(x)E_x = -varepsilon_0cdot A$

Следующий шаг - нахождение поляризованности и ее дивергенции, то есть связанного заряда ρ':

$P_x = varepsilon_0(varepsilon(x)-1)E_x = -Avarepsilon_0frac{varepsilon(x)-1}{varepsilon(x)}, rho' = -frac{{rm d}P_x}{{rm d}x} = varepsilon_0cdot A frac{varepsilon'(x)}{varepsilon^2(x)}$

В точках разрыва ε(x) (на стыке двух диэлектриков) производная ε'(x) обращается в бесконечность, формула для ρ' cтановится неприменимой и надо искать поверхностный связанный заряд:

$sigma'(x_0) = -P_x|_{x_0+}+P_x|_{x_0-} = Avarepsilon_0left[frac{varepsilon(x_0+)-1}{varepsilon(x_0+)} -frac{varepsilon(x_0-)-1}{varepsilon(x_0-)}right]$

Обязательно проверяются условия на границах (в данном случае x1, x2) на наличие поверхностного связанного заряда:

$sigma'(x_2) = P_x|_{x_2-} = -Avarepsilon_0 frac{varepsilon(x_2-)-1}{varepsilon(x_2-)}, sigma' (x_1) = -P_x|_{x_1+} = Avarepsilon_0frac{varepsilon(x_1+)-1} {varepsilon(x_1+)}$

В сферическом и цилиндрическом случаях надо правильно писать div в соответствующей системе координат. Выражения для φ(r) принимают вид:

φ(r)	=	$varphi(R_1) +frac{varphi_2- varphi_1}{intlimits_{R_1}^{R_2}tilde{r}^{-1}varepsilon^ {-1}(tilde{r}){rm d}tilde{r}}cdot intlimits_{R_1}^r varepsilon^{-1}(tilde{r})tilde{r}^{-1}{rm d}tilde{r} - {rm цилиндрический}$
φ(r)	=	$varphi(R_1) +frac{varphi_2- varphi_1}{intlimits_{R_1}^{R_2}tilde{r}^{-2}varepsilon^ {-1}(tilde{r}){rm d}tilde{r}}cdot intlimits_{R_1}^r varepsilon^{-1}(tilde{r})tilde{r}^{-2}{rm d}tilde{r} - {rm сферический случай}$

после чего Er(r) и связанные заряды находятся аналогично тому, как это было сделано выше для плоскостного (декартового) случая.

Задача. Получить выражения для φ(r), Er(r), ρ ', σ ' в случае цилиндрической и сферической симметрии, если заданы зависимость ε(r), а также потенциалы граничных поверхностей φ(R1(2)) = φ1(2). ρ = 0.

Указание: Для промежуточной проверки использовать вышеприведенные выражения для потенциала.

Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора шириной d заполнено неоднородным диэлектриком c проницаемостью ε(x) = 1+α x. Найти φ(x), Ex(x), ρ ', σ ' на обкладках.

Решение: Будем считать, что конденсатор занимает область координат x = 0... d, причем потенциал одной обкладки (x = 0) равен φ1 = 0, а другой φ2 = U. Тогда зависимость потенциала от координаты находится как

$varphi(x) =Ucdotleft(intlimits_0^dfrac{1} {1+alpha tilde{x}} {rm d}tilde{x}right)^{-1}cdot int limits_0^xfrac{1}{1+alpha tilde{x}} {rm d}tilde{x} = frac{U}{ln(1+alpha d)}cdot ln(1+alpha x)$

после чего находим поле Ex(x) дифференцированием:

$E_x(x) = -frac{{rm d}varphi}{{rm d}x} = -frac{U} {ln(1+alpha d)}cdot frac{alpha}{1+alpha x}$

и далее получаем поляризованность Px:

$P_x(x) = varepsilon_0(alpha x)E_x = -frac{varepsilon_0alpha^2U x}{ln(1+alpha d)(1+alpha x)}$

Взяв дивергенцию, получаем объемный связанный заряд:

$rho '(x) = -divvec{P} = -frac{{rm d}}{{rm d} x} P_x = +frac{varepsilon_0alpha^2U}{ln(1+alpha d)}cdot frac{1}{(1+alpha x)^2}$

и еще проверяем условия на обкладках на наличие поверхностного заряда σ ':

σ '\|x = 0	=	–Px\|x = 0+ = 0
σ '\|x = d	=	$P_x\|_{x=d-} = -frac{varepsilon_0alpha^2Ud} {ln(1+alpha d)(1+alpha d)}$

Как и следовало ожидать, σ '|x = 0 = 0, поскольку у обкладки x = 0 диэлектрическая проницаемость равнa единице. Если U>0, то σ '|x = d<0, что тоже естественно: у обкладки x = d должен концентрироваться отрицательный связанный заряд. Для проверки найдем суммарный связанный заряд на единицу площали обкладки конденсатора - этот заряд должен оказаться равным нулю. Действительно,

$frac{q '}{S}$	=	$intlimits_0^drho '(x) {rm d}x +sigma '\|_{x=0}+sigma '\|_{x=d} =$
	=	$intlimits_0^dfrac{varepsilon_0 alpha^2U}{ln(1+alpha d)}cdot frac{1}{(1+alpha x)^2} {rm d}x +0 - frac{varepsilon_0alpha^2Ud}{ln(1+alpha d)(1+alpha d)} =$
	=	$frac{varepsilon_0alpha^2U}{ln(1+alpha d)}cdot left.frac{-1}{alpha(1+alpha x)}right\|_0^d - frac{varepsilon_0 alpha^2Ud}{ln(1+alpha d)(1+alpha d)} = 0$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r

Другие работы по теме:

Емкость резкого p-n перехода

Выражение для емкости резкого p-n перехода в случае полностью ионизированных примесей. Определение величины его барьерной емкости. Расчет контактной разности потенциалов, толщины слоя объемного заряда. Величина собственной концентрации электронов и дырок.

Изучение характеристик электростатического поля 2

Рецензия на лабораторную работу № 1 студента В лабораторную работу необходимо внести исправления. Замечания в тексте работы. Так выделяются несущественные замечания и подсказки.

Изучение характеристик электростатического поля

Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Основные вопросы теории электрических цепей

1)Какое устройство используют для накопления заряда? а) генератор b) катушка c) конденсатор d) резистор e) трансформатор 2) Эл.ток смещения-это……?

Электрический ток

Определение силы взаимодействия двух точечных тел. Расчет напряженности электрического поля плоского конденсатора при известных показателях площади его пластины и величины заряда. Нахождение напряжения на зажимах цепи по показателям сопротивления и тока.

Основные вопросы теории электрических цепей

Какое устройство используют для накопления заряда. Понятие электрического тока. Условия возникновения электродвижущей силы. Сила тока и его мощность. Закон Ома для участка сети. Электронапряженность и электропроницаемость. Проводники и диэлектрики.

Анизотропия проводимости магнитной жидкости в магнитном поле

Работа посвящена исследованию электропроводности высокодисперсных коллоидов ферромагнетиков (магнитных жидкостей), до настоящего времени остающихся объектом, привлекающим внимание исследователей.

Экспериментальные исследования электростатических полей с помощью электролитической ванны

Нижегородский Государственный Технический Университет. Лабораторная работа по физике №2-24. Экспериментальные исследования электростатических полей с помощью электролитической ванны

Электрическое поле

Работа по физике Ученика 10 класса А Школы №1202 Круглова Егора Электрическое поле По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве

Эффект Холла 2

Министерство общего и специального образования Саратовский Государственный Технический Университет Лабораторная работа по физике: «Эффект Холла»

Примерные экзаменационные билеты по физике 11 класс

Примерные экзаменационные билеты по физике Билет №1 Механическое движение. Относительность движения. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение.

Расчеты электростатического поля

Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.

Особенности процессов зарядообразования в слое магнитной жидкости

Изучение особенностей процесса переноса заряда в коллоидной среде. Поверхностные плотности приэлектродного заряда для образцов соответствующих концентраций. Зависимость сопротивления ячейки с магнитной жидкостью от частоты подаваемого на нее напряжения.

Расчет состава и термодинамических характеристик рабочего тела. Расчет действительного цикла четырехтактного ДВС

Министерство Образования РФ Самарский Аэрокосмический Университет им. С.П. Королёва Курсовая работа по термодинамике Вариант № 12 « Расчёт состава и термодинамических характеристик рабочего тела. Расчёт действительного цикла четырёх-

Полупроводниковые диоды

На основе использования свойств р-n-перехода в настоящее время создано множество различных типов полупроводниковых диодов. Выпрямительные диоды предназначены для преобразования переменного тока в постоянный.

Теория электродного эффекта применительно к приземному слою атмосферы

В работе обсуждается проблема моделирования электрических процессов в приземном слое атмосферы. В зависимости от метеорологического режима атмосферы рассматривается два крайних случая: классический (нетурбулентный) и турбулентный электродный эффект.

Oтпаянные ТЕА-лазеры УФ- и ближнего ИК-диапазонов для применений в лазерной химии и диагностике

В работе приводятся результаты систематических исследований, направленных на создание отпаянных вариантов ТЕА-лазеров.

Причина магнитного поля Земли?

Существует несколько версий происхождения магнитного поля Земли и планет. Например, новаторская статья «Магнитное поле Земли», в которой предлагается новая трактовка образования магнитного поля Земли.

Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат.

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).

Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.

Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.

Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда

Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала.

Потенциал поля

Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.

Формулы по алгебре, тригонометрии, электродинамике (Шпаргалка)

Revision 6.2 ( 19 October 2010 –             

Моделирование электростатического поля

Метод моделирования электростатического поля имеет широкое применение на практике. Пользуясь этим методом, изучают сложные электростатические поля (в электростатических линзах, в электронных трубках и т.п.).

Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда

Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала;

Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре.

Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики.

Электрическое поле 2

Реферат по дисциплине электротехника тема: «Электрическое поле» Выполнил: Секин Д.А. Проверил: преподаватель Торпищин А.А. Электрическое поле — особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах).

Моделирование работы МДП-транзистора в системе MathCad

Построение и обоснование компьютерной модели поведения обедненной области пространственного заряда МДП-транзистора в зависимости от напряжения, приложенного к стоку. Изучение классификации и принципа действия полевых транзисторов с индуцированным каналом.

Моделирование движения невесомой заряженной частицы в электрическом поле в среде MathCAD и Matlab

Моделирование движения невесомой заряженной частицы в электрическом поле, созданном системой нескольких фиксированных в пространстве заряженных тел, в случае, когда заряженные тела находятся в одной плоскости и в ней же находится движущаяся частица.

Моделирование движения невесомой заряженной частицы в электрическом поле в среде MathCAD и Matlab

Московский авиационный институт (государственный технический университет) Филиал “ Взлёт Кафедра РЭВС ЛА Курсовая работа по информатике Выполнил:

Понятия и Законы электростатики

IV правовой курс Понятия и Законы электростатики. выполнил: Скородумов Денис Сергеевич г. Донецк 2002 г. Понятия и Законы электростатики. Электризация –

Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 7 Кратные интегралы (разное)

Задача 1. Изменить порядок интегрирования. Задача 2. Вычислить. Задача 3. Вычислить. Задача 4. Вычислить. Задача 5. Вычислить. Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.