Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
При этом
| (4) |
В вакууме ε = 1, так что
| (5) |
Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
| = | | (15) |
Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
ρ | = | |
|
ρ | = | |
|
Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:
φ(x) | = | |
|
| = | |
|
Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
После этого сразу записывается (у нас ε = 1):
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.
Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r),
Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля и для поля .
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Другие работы по теме:
Исследование трёхфазной цепи при соединении нагрузки звездой
Главные особенности трёхфазной системы при соединении фаз звездой. Соотношение между линейными и фазными токами при включенном и выключенном нулевом проводе. Активная мощность трёхфазного приёмника при симметричной нагрузке. Построение векторных диаграмм.
Электростатикахо
В А З О Р А Т И М А О Р И Ф И Ч У М Х У Р И И Т О Ч И К И Т О Н У Н И В Е Р С И Т Е Т И Т Е Х Н И К И И Т О Ч И К И С Т О Н Б А Н О М И А К А Д Е М И К М. О С И М И КАФЕДРАИ ФИЗИКА Лабораторияи механика, физикаи малекулави ва термодинамики
Майкл Фарадей
ФАРАД Й Майкл ФАРАДЁЙ, Майкл [22.IX.1791, Лондон (Ньюингтон)-25. VIII. 1867, Хэмптон-Корт ок. Лондона]- английский физик, создатель учения об электромагнитном поле, член Лондонского королевского общества (с 1824).
Электростатика проводников
Основы электростатики проводников: макроскопические электродинамические формы электромагнитных полей. Анализ электростатического поля проводников: энергия; проводящий эллипсоид; силы, действующие на проводник в поле; составление средних выравниваний.
О единой теории векторных полей
Экспериментальный и теоретический методы познания физической реальности. Единая теория векторных полей - обобщение уравнений электродинамики Максвелла, теоретическое обоснование схемы их построения; исследование гравитационного и электрического полей.
Трёхфазная цепь при соединении электроприемников треугольником
Общая характеристика трёхфазных систем при соединении фаз треугольником, их активная мощность. Особенности построения векторных диаграмма при симметричной и несимметричной нагрузке фаз. Проверка соотношения между линейными и фазными напряжениями и токами.
Конец теории единого поля
Известно, что проблема единого поля возникла в результате подмены сложной теории Максвелла его частным примером с плоскими волнами и введением системы координат Лоренца.
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Уравнения поверхности и линии в пространстве Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О1 на расстоянии R.
Неединственность преобразований Лоренца.
Основа физики – геометрия. Она определяет способы задания координат. Преобразования их единственны и это преобразования Лоренца внутри изотропного конуса. На поверхности изотропного конуса эти преобразования не обладают единственностью. Расстояние света.
Эрмитовы операторы
Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.
Векторные линии в векторном поле
Вариант 9 Найти векторные линии в векторном поле Решение: Векторные линии - это линии, в каждой точке которых вектор поля является касательным Для нахождения векторных линий поля
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Классическая электродинамика
Непрерывные распределения зарядов. Операторы. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Противоречия между электродинамикой и классической физикой.
Векторные линии в векторном поле
Найти векторные линии в векторном поле. Вычислить длину дуги линии. Вычислить поток векторного поля через поверхность. Найти все значения корня. Представить в алгебраической форме.
Декартовыми прямоугольными координатами
точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Геометрические свойства кривых второго порядка
Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
Прямоугольная система координат
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Чтобы определить эти координаты делают следующие построения. Проводят две взаимно перпендикулярные прямые X`X, Y`Y. Они называются — оси координат.
Ленточка из шотландки
«Ле́нточка из шотла́ндки» «Тарта́новая ле́нта» , англ. The Tartan Ribbon) — первое в истории достоверное цветное фотографическое изображение, полученное Джеймсом Клерком Максвеллом методом тройной экспозиции и продемонстрированное им в ходе лекции на тему особенностей цветового зрения в лондонском Королевском институте (англ.)русск. 17 мая 1861 года.
Телескоп Джеймса Кларка Максвелла
находится: Мауна-Кеа, Гавайи, США Телескоп Джеймса Кларка Максвелла (англ. James Clerk Maxwell Telescope или JCMT) — инфракрасный телескоп с диаметром главного зеркала 15 метров. Название дано в честь Джеймса Кларка Максвелла (1831—1879) — создателя электромагнитной теории света и одно из основателей современной физики и техники.
Понятия и Законы электростатики
IV правовой курс Понятия и Законы электростатики. выполнил: Скородумов Денис Сергеевич г. Донецк 2002 г. Понятия и Законы электростатики. Электризация –
Элементы земного магнетизма
Напряженность магнитного поля Земли в каждой точке земной поверхности полностью определяется вектором Т и его составляющими по осям прямоугольной системы координат х, у и z.