МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра КТРС
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ»
ВАРИАНТ № 10
Выполнил:
Проверил:
Студент Иванов И.И.
Преподаватель Синельников А.В.
Группа: РКС10-32
Новосибирск 2009
Общее задание
Разработать систему кодирования/декодирования циклического кода для 
-элементного первичного кода, который обнаруживает 
и исправляет 
ошибок. Оценить вероятность получения необнаруживаемой ошибки на выходе системы, если 
в канале связи меняется от 
до 
.
Исходные данные
Необходимые для решения задачи исходные данные выбираются по таблице 1 в соответствии с полученным вариантом.
Таблица 1
Исходные данные для вариантов расчетно-графической работы.
| Вариант № | Количество элементов в коде | Количество исправляемых ошибок | Вариант № | Количество элементов в коде | Количество исправляемых ошибок |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6 | 1 5 3 2 4 1 2 4 6 1 3 2 3 3 5 4 2 3 4 2 | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 | 7 8 9 5 6 7 8 6 7 5 5 6 7 6 9 8 10 5 5 8 | 4 3 1 5 1 2 5 6 1 3 5 2 4 6 3 4 2 4 5 3 |
Этапы выполнения работы
Определение числа проверочных элементов избыточного кода.
Выбор образующего многочлена для построения кода, указанного в задании.
Расчёт матрицы синдромов для однократной ошибки.
Построение функциональной схемы устройств кодирования-декодирования полученного кода.
Построение графика появления необнаруживаемой ошибки при заданном изменении вероятности ошибки в канале связи.
ЗАДАНИЕ ВАРИАНТА
Разработать систему кодирования/декодирования для k = 8-элементного первичного кода, когда код обнаруживает и исправляет tИ = 1-ошибку. Оценить вероятность обнаружения ошибки на выходе системы передачи, если вероятность ошибки в канале связи РОШ меняется от 
до 
.
РЕШЕНИЕ
Определение количества поверочных элементов r.
Исходя из того, что k = 8 и tИ = 1, решаем систему уравнений:
Откуда следует:
Составляем таблицу:
| | |
| 1 2 3 4 | 1 2 5 12 |
Откуда определяем: r = 4, n = k + r = 8 + 4 = 12.
Выбор образующего полинома
После определения проверочных разрядов r, выбираем образующий полином G(x) (многочлен) степени, равной r.
Образующий полином G(x) должен обладать некоторыми свойствами:
Остатки от деления должны быть все разные, т.е. его нельзя составить из степеней низших порядков, он неприводимый.
Число остатков у этого полинома должно быть равно количеству ошибок в коде, т.е. такие полиномы примитивные.
С помощью таблицы образующих полиномов можно найти необходимый полином. В приводимой таблице указаны некоторые свойства этих многочленов и соотношения между ними. Приводятся примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэффициентов. Многочлены даны в восьмеричном представлении.
Двойственный многочлен неприводимого многочлена также неприводим, а двойственный многочлен примитивного многочлена примитивен. Поэтому каждый раз в таблице приводится либо сам многочлен, либо двойственный многочлен. Каждая запись в таблице, оканчивающаяся некоторой буквой, соответствует некоторому неразложимому многочлену указанной степени. Для степеней от 2 до 16 этими многочленами, а также двойственными к ним исчерпываются все неразложимые многочлены этих степеней.
Буквы, которые приведены после восьмеричного представления многочлена, дают о нем следующую информацию:
A, B, С, D Не примитивный
Е, F, G, Н Примитивный
A, B, Е, F Корни линейно зависимы
С, D, G, Н Корни линейно независимы
A, C, Е, G Корни двойственного многочлена линейно зависимы
B, D, F, Н Корни двойственного многочлена линейно независимы
Выписываем часть таблицы неприводимых полиномов:
Из таблицы выбираем полином (1 23F) и затем переводим из восьмеричного в двоичное представление:
Получили образующий полином:
G(x) = x4 + x + 1.
Проверка образующего полинома
1. Определяем необходимое кодовое расстояние:
2. Вычисляем: f(x) = xk-1 = x7 = 10000000
3. Находим: f(x)xr = x11 = 100000000000
4. Поделим f(x)xr на G(x):
x11 x4 + x + 1
x11 + x8 + x7 x7 + x4 + x3 + x
x8 + x7
x8 + x5 + x4
x7 + x5 + x4
x7 + x4 + x3
x5 + x3
x5 + x2 + x
x3 + x2 + x = r(x) = 1110
Полученный остаток от деления является комбинацией проверочных элементов:
r(x) = 1110
5. Записываем многочлен комбинации:
F(x) = f(z)xr + r(x) = 100000001110
Определяем вес многочлена (количество единиц в комбинации): V = 4.
Сравниваем V с d0, поскольку выполняется условие: V d0, то выбранный полином подходит как образующий.
Построение матрицы синдромов для однократной ошибки
Для определения элементов матрицы синдромов будем вносить ошибку в кодовую комбинацию (F(x) = 100000001110) поочерёдно начиная со старшего разряда, затем делить на образующий полином, полученный остаток и будет одной из строк матрицы синдромов. Пусть ошибка произошла в самом старшем разряде, тогда она имеет вид 000000001110, т.е. деление такого числа на образующий полином и есть это число. Следовательно это синдром для ошибки в разряде а1. Определим синдромы для остальных разрядов.
для а2:
x10 x4 + x + 1
x10 + x7 + x6 x6 + x3 + x2 + 1
x7 + x6
x7 + x4 + x3
x6 + x4 + x3
x6 + x3 + x2
x4 + x2
x4 + x + 1
x2 + x + 1 = s(x) = 0111
для а3:
x9 x4 + x + 1
x9 + x6 + x5 x5 + x2 + x
x6 + x5
x6 + x3 + x2
x5 + x3 + x2
x5 + x2 + x
x3 + x = s(x) = 1010
для а4:
x8 x4 + x + 1
x8 + x5 + x4 x4 + x + 1
x5 + x4
x5 + x2 + x
x4 + x2 + x
x4 + x + 1
x2 + 1 = s(x) = 0101
для а5:
x7 x4 + x + 1
x7 + x4 + x3 x3 + 1
x4 + x3
x4 + x + 1
x3 + x + 1 = s(x) = 1011
для а6:
x6 x4 + x + 1
x6 + x3 + x2 x2
x3 + x2 = s(x) = 1100
для а7:
x5 x4 + x + 1
x5 + x2 + x x
x2 + x = s(x) = 0110
для а8:
x4 x4 + x + 1
x4 + x + 1 1
x + 1 = s(x) = 0011
Таким образом, матрица синдромов имеет вид:
Полученная матрица синдромов используется для алгоритма построения дешифратора ошибок разрабатываемого далее декодера.
Схема кодера циклического кода (12, 8)
Образующий полином G(x) можно представить в виде:
G(x) = g4x4 + g3x3 + g2x2 + g1x + g0, где g4 = 1, g3 = 0, g2 = 0, g1 = 1, g0 = 1.
Тогда устройство кодирования имеет вид:
Рис.1. Схема устройства кодирования циклического кода (12, 8).
Принцип работы устройства:
В исходном состоянии ключ находится в положении 1, на вход устройства поступает первичная кодовая комбинация f(x) (начиная со старшего разряда). Через k-тактов вся первичная кодовая комбинация поступит на выход, а в результате деления (благодаря обратной связи) образуется остаток. Ключ переключается в положение 2. Таким образом, через n-тактов на выходе получим F(x).
Схема декодера циклического кода (12, 8).
Рис.2. Схема устройства декодирования циклического кода (12, 8).
Принцип работы устройства:
Исходная комбинация F(x) подается в буферный регистр и одновременно в декодирующий регистр. Если с приходом последнего символа, зафиксирован нулевой остаток (синдром 0000), то ошибок нет, если же не нулевой, то есть. Принятая комбинация подается через выходной сумматор, и искаженный сигнал исправляется.
Оценка вероятности обнаруживаемой ошибки на выходе системы передачи
Определим вероятность ошибочного приема кодовой комбинации в условиях биномиального распределения ошибок. При помехоустойчивом кодировании различают ошибки двух типов:
Обнаруживаемые или исправляемые кодом.
Необнаруживаемые ошибки.
Вероятности появления необнаруживаемых ошибок (в режиме исправления):
С помощью программы в среде МАТКАД производим расчеты и получаем графическую зависимость вероятности необнаруживаемых ошибок от вероятности ошибки элемента:
Рис.3. График зависимости вероятности не обнаруживаемой ошибки Рно на выходе системы передачи от вероятности ошибки в канале связи Рош.
Из графика видим, что с увеличением вероятности ошибки в канале вероятность обнаружения ошибки на выходе системы передачи также увеличивается.
ЛИТЕРАТУРА
Питерсон У., Уэлдон Э. Коды исправляющие ошибки. – М.: Мир, 1976г.
Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Радио и связь, 1979г.
Основы передачи дискретных сообщений: Учебник для вузов / Ю.П. Куликов, В.М. Пушкин, Г.И. Скворцов и др.: Под ред. В.М. Пушкина. – М.: Радио и связь, 1992.- 288 с., ил.