Завдання 1
В ящику 20 куль: 8 зелених і 12 синіх. З ящика навмання виймають одну
кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:
а) зелена;
б) синя.
Розв’язок:
а) Позначимо за подію А ={вибрана куля - зелена} Тоді за означенням
класичної імовірності імовірність події А дорівнюватиме відношенню кількості
сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих
подій - 8 (тому, що 8 зелених куль в ящику), загальна кількість можливих - 20 (тому,
що загальна кількість кульок - 20).
-
ймовірність того що вийнята куля - зелена
б) Позначимо за подію В ={вибрана куля синя} Тоді за означенням
класичної імовірності імовірність події В дорівнюватиме відношенню кількості
сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих
подій - 12 (тому, що 12 синіх куль в ящику), загальна кількість можливих - 20 (тому,
що загальна кількість кульок - 20).
-
ймовірність того що вийнята куля - синя
Завдання 2
Імовірність несплати податків у кожного з n підприємців становить р. Визначити
ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.
n=500; p=0,1; m1= 40; m2 =250.
Розв’язок:
q=1-p=0,9
За інтегральною теоремою Мавра-Лапласа, маємо:
Завдання 3
Задано ряд розподілу дробового попиту на певний продукт Х. Знайти
числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
а) математичне сподівання М (Х);
б) дисперсію D (X);
в) середнє квадратичне відхилення σХ
Х |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
р |
0,1 |
0,15 |
0,42 |
0,25 |
0,08 |
Розв’язок:
М (Х) = 0,1*10 + 20*0,15 + 30*0,42 + 40*0,25 + 50*0,08
= 1+3+12,6+10+4 = 30,6; - математичне сподівання
М (Х2) =936,36
Х2 |
100 |
400 |
900 |
1600 |
2500 |
р |
0,1 |
0,15 |
0,42 |
0,25 |
0,08 |
М (Х2) =
0,1*100+400*0,15+900*0,42+1600*0,25+2500*0,08=1048
Dx= М (Х2) - М (Х2) =1048-936.36=111.64 - дисперсія
σХ = -
середнє квадратичне відхилення
Завдання 4
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону
розподілу з параметрами n, p записати ряд розподілу цієї величини і знайти
основні числові характеристики:
а) математичне сподівання М (Х);
б) дисперсію D (X);
в) середнє квадратичне відхилення σХ
n=1; p=0,2
Розв’язок:
q=1-p=1-0,2=0,8
М (Х) =np=1*0.2=0.2 - математичне сподівання
D (X) =npq=4*0.2*0.8=0.64- дисперсія
σХ = - середнє квадратичне відхилення
Завдання 5
Побудувати графік щільності розподілу неперервної випадкової величини
Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і
проходить через задані точки
a)
а=3.
x |
1 |
2 |
4 |
5 |
f (x) |
0.05 |
0.24 |
0.24 |
0.05 |
г)
а=1.
X |
-2 |
-1 |
3 |
4 |
f (x) |
0.075 |
0.088 |
0.088 |
0.075 |
Завдання 6
Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тис
грн.):
*Скласти варіаційний ряд вибірки.
*Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на
чотири-шість рівних підінтервалів.
*Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію варіаційного
ряду:
6, 10, 12, 11, 11, 14, 6, 8, 12, 10, 14, 8, 9, 11, 7, 7, 12, 10, 13,6.
Розв’язання:
Скласти варіаційний ряд вибірки.
Оскільки вибірка складається з 20 значень, то обсяг вибірки n=20.
Побудуємо варіаційний ряд вибірки:
6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14.
2. Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на
чотири-шість рівних підінтервалів.
У даній вибірці 9 різних варіант, запишемо їх частоти у вигляді
статистичного розподілу:
Таблиця 1
хі 6 7 8 9 10 11 12 13 14
nі 3 2 2 1 3 3 3 1 2
Рис.1. Полігон розподілу частот.
Для побудови гістограми та полігону побудуємо інтервальний статистичний
розподіл.
Виберемо S= 5 інтервалів, а довжину інтервалу обчислимо за формулою.
Тобто:
Складемо шкалу інтервалів. За початок першого інтервалу візьмемо
Варіанти, які співпадають із межами інтервалів, будемо включати в
наступний інтервал, крім останнього.
Побудуємо гістограму частот. Для цього на осі ОХ нанесемо інтервали, а
на ОУ щільності частот для кожного інтервалу.
Для побудови цього графіка відкладається крапка на висоті, відповідній
частоті кожної варіанти. За варіанту приймемо середини інтервалів. Після цього
крапки сполучаються відрізками прямих.
3. Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес
варіаційного ряду:
Визначимо значення емпіричних показників.
Статистичний розподіл вибірки встановлює зв‘язок між рядом варіант, що
зростає або спадає, і відповідними частотами. Він може бути представлений
таблицею розподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти середини
інтервалів хі.
Для обчислень перейдемо від одержаного інтервального розподілу до
розподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти середини інтервалів
хі. Знайдемо вибіркову середню, дисперсію, вибіркове середньоквадратичне
відхилення за методом добутку.
Запишемо:
варіанти хі* в перший стовпчик;
відповідні варіантам частоти, в другий стовпчик;
за уявний нуль виберемо варіанту, яка має найбільшу частоту, тобто С=
19,4;
одержані умовні варіанти запишемо в третій стовпчик;
добутки niui, niui2 та ni (ui+1) 2 запишемо в наступні стовпчики.
Контроль проведемо за формулою
Маємо: 54+2*22+20=118
118=118
Обчислимо умовні моменти розподілу від першого до четвертого порядків
включно:
Маємо:
Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментів
розподілу
1,1*1,6+19,4=21,2
= =8,3635
Медіанним частинним інтервалом буде третій інтервал, оскільки це перший
інтервал, для якого сума частот усіх попередніх частинних інтервалів з даним
включно перевищує половину обсягу вибірки:
5+5+2=12
Для визначення моди інтервального статистичного розподілу необхідно
знайти модальний інтервал, тобто такий частинний інтервал, що має найбільшу
частоту появи.
Модальним частинним інтервалом буде 2 інтервал.
=20,2 =18,6
= 2 = 5
= 1,6 = 1,6
Ме - 1=1 = 5
= 2
Використовуючи лінійну інтерполяцію, моду обчислимо за формулою:
Відповідь: 21,2; 8,3635;
Завдання 7
Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний
розподіл генеральної сукупності за даними вибірки.
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1
Розв’язання:
Розіб‘ємо інтервал [1; 37] на такі шість частинних інтервалів довжиною
h=6:
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1
[1;
7), [7; 13), [13; 19), [19; 25), [25; 31), [31; 37].
новими варіантами будуть середини інтервалів:
х1= (1+7) /2=4;
х2= (7+13) /2=10;
х3= (13+19) /2=16;
х4= (19+25) /2=22;
х5= (25+31) /2=28;
х6= (31+37) /2=34.
Як частоти ni варіант хі візьмемо суму частот варіант, які потрапили у
відповідний і-тий інтервал. Запишемо такий статистичний розподіл
рівновіддалених варіант:
хі 4 10 16 22 28 34
ni 3 10 36 14 0 2
Спочатку знайдемо вибіркове середнє, дисперсію, вибіркове
середньоквадратичне відхилення. За уявний нуль виберемо варіанту, яка має
найбільшу частоту, тобто С= 16.
Обчислимо умовні моменти розподілу:
Маємо:
Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментів
розподілу
0,061*6+16=16,366
= =29,77
Перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності Х. Для
цього необхідно знайти теоретичні частоти, ураховуючи, що n=65, h=6 за формулою:
Значення диференціальної функції Лапласа.
В перший стовпчик якої запишемо номер інтервалу;
В другий - варіанти, третій обчислимо за формулою. В четвертий стовпчик
запишемо відповідні значення функцій Лапласа, які візьмемо із значень таблиці
φ (u).
В п‘ятий стовпчик запишемо обчислені теоретичні частоти.
Використавши критерій Пірсона зробимо висновок про можливість розподілу
величин Х згідно з нормальним законом.
З таблиці додатку для критичних точок розподілу Х2, числу вільних
степенів і рівнем значущості а, заходимо критичні точки. Значення критичних
точок при різних α менше, ніж спостережене значення.
Так як, то є підстави відкидати гіпотезу про нормальний розподіл
генеральної сукупності ознаки Х, тобто емпіричні і теоретичні частоти
відрізняються суттєво, а це якраз і свідчить, що дані вибірки не співпадають з
гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.
Другие работы по теме:
Теорія економічного аналізу
Сутність та предмет економічного аналізу. Визначення понять "технологія", "фактор", "резерв", "аналіз". Класифікація господарських резервів. Управлінський та оперативний аналіз. Основні джерела інформації у процесі здійснення аналітичного дослідження.
Міжнародна торгівля
Реферат на тему: Міжнародна торгівля 1. Міжнародна торгівля: визначення, основні поняття, рівновага на світовому ринку 2. Товари, що торгуються та товари, що не торгуються
Теорія споживання Мілтона Фрідмена
Концепція поведінки споживача І. Фішера як підґрунтя для теорії споживання Фрідмена. Дві складові поточного доходу: постійний та тимчасовий. Визначення середньої схильності до споживання та її коливань. Статистичний аналіз сімейних бюджетів за Кейнсом.
Концептуальні основи аналізу національної економіки
Економічні теорії та базисні інститути національної економіки. Характеристика економічного потенціалу. Теорія суспільного добробуту та соціально-ринкової економіки. Інституціональні чинники її розвитку. Функціонування інфраструктури національного ринку.
Сутність та характеристика основних теорій фінансів
Теорія фінансів Джона Кейнса. Фіскальна антициклічна теорія фінансів. Сутність теорії мультиплікатора. Теорія функціонування фінансів Лернера. Теорія циклічного балансування та бюджетного стабілізування. Концепція неокласичного синтезу і теорія Лаффера.
Теорія Бора
Реферат на тему: Зміст 1. Постулати Бора 2. Спектр атома водню 3. Критика теорії Бора 4. Мої зауваги і враження 5. Література Постулати Бора Закони класичної механіки описують лише неперервні процеси, тому, коли, досліджуючи енергетичні спектри атомів, отримали дискретні сукупності спектральних ліній, стало зрозумілим, що атом має більш складну структуру, ніж ту, що уявляли раніше, і її так просто не поясниш за допомогою законів Ньютона і рівнянь Максвелла.
Вивчення законів нормального розподілу Релея
Вивчення законів розподілу різних випадкових процесів нормального шуму, гармонійного і трикутного сигналів з випадковими фазами. Перевірка нормалізації розподілу при збільшенні числа взаємно незалежних доданків у випадковому процесі. Вимоги до роботи.
Гуманістична теорія особистості А. Маслоу
Реферат на тему: Гуманістична теорія особистості А. Маслоу А. Маслоу – американський психолог, один з основоположників гуманістичної теорії особистості. Головною характеристикою особистості вважав потяг до самоактуалізації, самовираження, розкриття потенцій до творчості та любові, в основі яких лежить гуманістична потреба приносити людям добро.
Основні теореми теорії ймовірностей
Тема 2. Основні теореми теорії імовірності На фундаменті міцному будем класти поверхи, перегородки та сходинки, що їх з’єднають на віки. План. Теорема додавання імовірностей несумісних подій..
Велика теорема Ферма
Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Поняття і виникнення менеджменту
Термін менеджмент англійського походження (management — організація управління). До нього близькі менеджер (manager від manage — керувати) — професійний керівник і менеджеризм (managerism)—теорія управління виробництвом.
Усипка, Утечка, Усушка й Утруска
Автор: Вишня Остап. (Теорія) Чотири найулюбленіших слова на господарському фронті. Чотири наймодніших слова нашої доби. І всі на «у»... І от ці чотири «у» ростуть і вниз, і вгору, скрізь розростаються, вкорінюються, «як тропічні маки», хочуть покрити все народне господарство. Коли дивишся здалеку на економічні бази, то здається, ніби бачиш не їх, а лише одні «у».
Досвітня експлуатація засобів вимірювання
Ступінь зміни нормованих методологічних характеристик кількісних значень показників надійності експлуатації технічних пристроїв. Форми виявлення характерних поломок та конструктивних недоліків приладів. Визначення особливостей метрологічного дослідження.
Документальні та оповідні історичні джерела
Класифікація письмових джерел по всесвітній історії: документальні матеріали (грамоти, договори, протоколи, циркуляри, стенограми), оповідні пам'ятки (літописи, спогади, щоденники, листи, публіцистичні, літературні твори). Визначення їх вірогідності.
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Метатеорія держави і права
Реферат Теорія держави і права На тему: Метатеорія держави і права ЗМІСТ 1. Предмет теорії держави і права 2. Науковий статус теорії держави і права 3. Методологія теорії держави і права
Основні теорії виникнення теорії держави і права
Тема: . План. Держава – базовий інститут політичної системи. Теорії походження держави і права. Держава – базовий інститут політичної системи. В літературі дається різне пояснення терміну “держава”. Синонімами даного слова є терміни: “країна”, “народ”, “суспільство”, “вітчизна”. Але одним із таких визначень є таке як:
Правоутворення та форми права
Теорія держави та права Правоутворення та форми права содержание Введение. Правотворчество понятие правотворчества; признаки правотворчества; принципы правотворчества;
Теорії аналітичного характеру
Система теоретичних, методичних та практичних аспектів бухгалтерського обліку, сутність понять "мінова і "логічна" теорія: рахунок як дійсна або умовна цінність; єдність причини і наслідку господарських явищ, які відображаються в бухгалтерському обліку.
Природа світла
Заняття Тема: Природа світла Питання: 1. Перші уявлення про природу світла. Теорія Ньютона та Гюйгенса. 2. Електромагнітна теорія природи світла. 3. Квантова теорія природи світла.
Статистичні ігри Статистичні моделі та методи
Реферат на тему: Статистичні ігри. Статистичні моделі та методи” Матрична гра, у якій гравець взаємодіє з навколишнім середовищем, не зацікавленим в його програші, і вирішує задачу визначення найбільш вигідного варіанта поведінки з урахуванням невизначеності стану навколишнього середовища, називається статистичною грою чи «грою з природою».
Підготовка журналістів у Польщі
Реферат з журналістики Період після 1989 року поряд з кількісними та якісними змінами в засобах масової інформації приніс також винятково динамічний розвиток вищих навчальних закладів, що готують журналістів. За цей час значно зросла кількість центрів, які спеціалізуються в навчанні журналістських кадрів, здатних упоратися із завданнями в новій суспільно-політичній та економічній реальності.
Проблема умов міжнародної торгівлі
Мойсейченко Павло Олександрович Домашня робота з МЕВ ІІ МЕВ, 1 група Чому проблема умов міжнародної торгівлі не розглядалась в класичній теорії Щоб відповісти на це питання, треба, на мою думку, спочатку вказати, що взагалі є умовами торгівлі, потім розглянути відмінності між класичною та неокласичною теоріями міжнародної торгівлі(МТ), бо саме ними зумовлена поставлена проблема, а потім, проаналізувавши це, зробити відповідний висновок: чому умови МТ не розглядалися в класичій теорії.
Цивільне право як галузь українського права
Курсова робота на тему: „Цивільне право як галузь українського права” Курсова на 38 сторінок. Була захищена на 5 балів в Київському Національному Економічному Університеті юридичного факультету
Нотаріат 3
Міністерство освіти України Контрольна робота з курсу “Нотаріат” Виконав: Перевірила:Ковальчук Т.І. Київ-2002р. Варіант-1. Нотаріат (лат.notarius-писар, секретар) – система органів і посадових осіб, на яких покладено обов’язок посвідчувати беззаперечні права і факти, що мають юридичне значення, а також інші нотаріальні дії з метою надання їм юридичної вірогідності.
Рольова теорія особистості
Основні положення цієї теорії були сформульовані американськими соціологами Дж. Мидом і Р. Минтоном , а також активно розроблялися Т. Парсонсом . От основні положення цієї теорії .