Современные методы теории функции Зильберта

Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Современные методы
теории функции Зильберта
ТОМ 3
Харьков 2008
Теория функции Зильберта
Издание третье, дополненное и недоделанное
Р е ц е н з е н т ы :
Бюншман, Треугольник, Хвилиппов, Петросян,
Штрассерман, Штольц, Коклюшкин
© 2008 А.А. Тензор, В.В. Невязкин
кафедра теории функции Зильберта
2
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина 4
Лирическое отступление 7
Принцип Максима Понтрягина 8
Обобщение принципа Максима Понтрягина 9
3гономе3ческие функции 10
Определение функции Зильберта 11
Замечательно 12
Задачки 13
Вопросы к экзамену 14
Список использованной макулатуры 15
3
Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина
Интегруй – не интегруй,
Всё равно получишь …!
Народная мудрость
Определение.
C [ a , b , c ' ] – пространство функций, непрерывных в
треугольнике ABC ' .
Определение. Говорят, что, а слышится “што”! Определение. Если
∀ ε ∃ δ , то говорят, что выполнено условие
Коши-Зильберта. Определение. Говорят, что на
C [ a , b , c ' ] задан полином Зажигал-
кина zh(x), если ∀ x , x ∈ C [ a , b , c ' ] ∃ zh ( x ) ∈ C 3 2 ( C [ a , b , c ' ]) :
1 2
1. ∀ ε ∃ δ (выполнено условие Коши-Зильберта);
2. ∀ ξ ∃ ; η
3. для разбиения T многоугольника ATBCEB на треугольники, измеримые по Зильберту, ∀
sup x − x < ξ ≥ [ η ] + 1 .
1 2
T
Тогда полином Зажигалкина имеет вид. Упражнение. Доказать, что пространство
C [ a , b , c ' ] является ба-
наховым пространством.
Определение. На пространстве
C * [ a , b , c ' ] (C со снежинкой) два
функционала называются квазиэквивалентными, если при дейст- вии на них полиномом Зажигалкина получается одно и то же почти всюду на
C [ a , b , c ' ] отрицательное число. Это число называ-
ется константой Мопиталя.
Замечание. На линейные ограниченные функционалы можно подействовать ещё и вектором.
4
Теорема. Полином Зажигалкина всегда и только всегда является квазипо- линомом с выколотой границей, если все его коэффициенты кро- ме, быть может, j-ого представляют собой константы Мопиталя. Единственное свойство полиномов Зажигалкина: Определения полинома Зажигалкина по Коши и по Гейне квазиэ- квивалентны. Теоремка (Зильберта-Зажигалкина)
∀ n-угольник конформным преобразованием можно перевести в
правильный m-угольник так, что граница перейдёт во внутрен- ность, а внутренность – в границу. Утверждение. Полином Зажигалкина n-ой степени сходится к n-угольнику “от- нюдь не сразу”. Леммка.
3 π
Полином Зажигалкина является -периодическим.
7
Доказательство. Полином Зажигалкина определён на простран- стве
C [ a , b , c ' ] и непрерывен в треугольнике ⇒ он 3 π -
периодичен.
3 π
Далее методом мат. дедукции доказывается -периодичность, и
2
3 π
так далее до .
7
Теорема (
признак слаборавномерной полунепрерывности сверху )
Полином P n (x) слаборавномерно полунепрерывен сверху, если он
представим в виде криволинейной комбинации квазиполиномов Зажигалкина. (Доказывается методом усилий)
5
Лемма. Подграфик полинома Зажигалкина монотонно выпуклый чуть- чуть влево. Доказательство. Введём начало координат – точку 0, и конец координат – точку
∞ . Переименуем вершины треугольника так,
∞
конец координат верх
лево начало координат
Картина Шмалевича “круг и треугольник”
чтобы полином Зажигалкина чувствовал себя в нём конформно. Далее методом логических догадок приходим к выводу, что тео- рема верна. Очень важное замечание:
Зажигалкин ЖЖОТ!
Теорема. В силу теоремы Зильберта-Зажигалкина (там что-то про n- и m- угольники ?) теорию полиномов, непрерывных в треугольнике можно обобщить до m-угольников класса гладкости, равного константе Мопиталя.
6
Лирическое отступление
Из чего же, из чего же, из чего же Сделана формула Грина? Из производных, из интегралов, Из градиентов и функционалов Сделана формула Грина!
***
7
Принцип Максима Понтрягина
Потрясающая теорема. Рассмотрим функционал «ШЫ» (от франц. shit)
< ШЫ , zh >= tg ∫∫ b b ( lh τ + c ' ) dc ' ,
a a
где lh (x ) – гиперболический логарифм x.
Этот функционал достигает апогея (неистово стремится к max) тогда и только тогда, когда max стремится к функционалу «ШЫ». Определение. В таком случае говорят, что
ШЫ = XO (max) («хо большое»).
Определение. Условием ГорЭлектроТрансверсальности называется перпенди- кулярность функционала ШЫ железнодорожным путям, т. е. равенство нулю скалярного произведения. Напомним, что в про- странстве
C [ a , b , c ' ] скалярное произведение – это произведение
интеграла и матрицы
? a − λ b c ' ?
( A B C ,' A B C ' ) = − ( b ∫ 1 dc ,' ? ? 2 b c ' − 2 λ a 2 ? ? )
1 1 1 2 2 2 a 1 1 ? ? c 2 2 ' 2 a 2 b 2 − 2 λ ? ?
Теорема (без доказательства). В случае, когда матрица диагонализируется, скалярное произве- дение равно
π .
Теорема (без формулировки). Доказательство. В силу формулировки теоремы, из (1), (2) и (3) следует (4). Значит, в силу непрерывности функции Зильберта З(х) и по условию ГорЭлектроТрансверсальности, выполняется и требуемое условие (5). Теорема доказана.
8
Следствие. Если в предыдущей теореме вместо функции Зильберта З(х) везде подставить полином Зажигалкина zh, теорема останется верной при
∀ t и доказывается точно так же.
Упражнение. Доказать, что тройка векторов
r r r
{ Ш Ы , З ( х ), z h } образует базис в
пространстве C [ a , b , c ' ] (использовать метод ортогонализации
Грамма-Шмидта запрещается).
Обобщение принципа Максима Понтрягина
Рассмотрим замыкание пространства C [ a , b , c ' ] , а именно
пространство C [ a , b , c ' ] непрерывных в криволинейном треуголь-
нике ABC ' функций (примеры криволинейных треугольников
были рассмотрены в томе 1).
r r r
На этом пространстве векторы { Ш Ы , З ( х ), z h } мона интег-
рировать, косинусировать и брать от них невязку с двойным пере- счётом. Вопрос. Почему нельзя тангенцировать? Определение. Зильбертов кирпич – это кирпич в пространстве
C [ a , b , c ' ] со сто-
∞
ронами a, b, .
8
Вопрос. Можно ли из зильбертовых кирпичей построить дачу?
9
3гономе3ческие функции
sinn x
Определение. Функция синнус на пространстве Зильберта определяется сле- дующим образом:
sinn(x)=sin( n ⋅ x )
Эта функция названа так в честь эстонского математика Отто
Синнуса.
Функция синнус похожа на обычный синус, только она гораз-
∞
до медленнее стремится к , потому что ей некуда спешить!
8
narccos x
Определение. Функция нарккосинус выражается через арккосинус так:
narccos(x)= n ⋅ arcos(x)
gensec x
Определение. Функция генсеконс:
? g = 9 . 8 ?
gensec(x)= g ⋅ n e ⋅ ⋅ sec(x) = ? ? e = 2 , 7 ? ? = 26 . 46 ⋅ n ⋅ sec(x).
Основное 3гономе3ческое тождество
Теорема. Функции нарккосинус и генсеконс связаны тождеством:
narccos 2 (x)+ gensec 2 (x)=1991.
***
10
Теперь, когда теоретическая основа положена и все теоремы
доказаны, можно наконец дать определение функции Зильберта З(х).
Определение (функции Зильберта)
Итак, рассмотрим конформное отображение Г матриц из
пространства Зильберта Z n в пространство функций, непрерывных
в треугольнике C [ a , b , c ' ] .
Подействуем полиномом Зажигалкина на вектор нормали к
пространству L C [ a , b , c ' ] . По теореме Зильберта-Лиувилля, полу-
2
чим оператор Ы, умноженный на константу Ц. Эта константа является кусочно-непрерывной на кривоугольном отрезке
[ a , b , c ' ] ,
поэтому её можно, и, более того, желательно разделить на 0, осо- бенно если 0 попадёт в тот кусочек, где она разрывна.
Далее интегрируем оператор Ы от А до Я. Применяя метод
Симпсона к полученному выражению, найдём значение sinn Θ ( η )
в точках излома.
Таким образом, наша задача сводится к полноценной задаче
Гольца с тремя закреплёнными концами и одним ослабленным. Эта задача записывается в виде:
J=sinn ∫ < Ы , Θ ( η ) > ds → minn (1)
Ω
Условия ГорЭлектроТрансверсальности:
? J ( 0 ) = π ,
? ? 2
? J ( π ) = ∞ , (2)
? ? 2 8
? J ( Ц ) = Ц !
Решение этой задачи называется функцией Зильберта З(х).
Это конец!
11
Замечательно. Теория функции Зильберта является фундаментальной. Это озна- чает, что любая последовательность теорем сходится к любой доказанной теореме, значит, и все теоремы из этой последова- тельности также верны. Эта теория такG полная, т. к. любая её подтеория является сходящейся, и очень сепарабельная (хрен его знает, что это такое!).
12
Задачки
1.
Найти максимум минимума супремума инфинума функции
∞
Зильберта в точке , т.е.
8
max{min{su p{inf{ З ( х )}}}} | − ?
x = ∞ 8
Решение. Начнём с конца. Рассмотрим разбиение T пространства Зильберта Z
n . Тогда sup { inf { З ( х )}} = З ( х ) .
T T
Согласно теореме об экстремуме,
max { min { З ( х )}} = min { max { З ( х )}} = З ( х ) .
Z Z Z Z
? ∞ ?
Остаётся посчитать З ? ? . Воспользуемся таблицами мат. стати-
? 8 ?
? ∞ ? π
стики: З ? ? = .
? 8 ? 2
π
Ответ: .
2
2. Доказать очевидное неравенство:
Минус вторая производная функции f не равна минус первой производной от её минус первой производной.
− f " ( x ) ≠ − ( − f ' ( x ))' .
13
Вопросы к экзамену
1. Минус первая и минус вторая производные. Теорема Зиль-
берта-Штольца.
2. Матьожидание и писдерсия.
3. Сходимость “так сказать”, “как надо” и “как не надо”, “да
нет, наверное”, “отнюдь не сразу”, “из ряда вон”.
4. Очень сильная и очень слабая сходимость.
5. Одно-, дву- и треугольники, измеримые по Зильберту.
6. Шестиугольник ATBCEB. Теорема существования и един-
ственности.
7. Определение кривой и очень кривой.
8. Понятие кусочно-гадкой функции. Её свойства.
9. Оператор «Ы». Операторы GSM и SDMA.
10. Условия Коши-Зильберта.
11. Пространство C [ a , b , c ' ] , пространство C [ a , b , c ' ] .
12. Пространство L C [ a , b , c ' ] .
2
13. Пространство Зильберта Z n .
14. Полином Зажигалкина. Теорема Зильберта-Зажигалкина.
15. Признак слаборавномерной полунепрерывности полинома
Зажигалкина сверху.
16. Принцип Максима Понтрягина. Обобщение.
17. Определение функции Зильберта.
14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
МАКУЛАТУРЫ:
1. В методичке по теории функции Зильберта использован кон- спект студентов 4-го курса мех-мата (один по всем предметам), где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно. 2. Немного фантазии на лекции, и не такое можно придумать!
Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых
преподавателей с мех-мата, большой им привет! Тираж 76 экземпляров.
15
Цена – бесплатно, то есть даром!