Короткий курс теорії функції Зільберта

Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Краткий курс теории
функции Зильберта
(на русском и украинском языках)
ТОМ 1
Харьков 2007
Теория функции Зильберта
Издание первое и последнее
© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин
кафедра теории функции Зильберта
2
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Математический анализ 4
Линейная алгебра 5
Дифференциальные уравнения 6
Теоретическая механика 6
Функциональный анализ 7
Теория вероятности 8
Комплексный анализ 9
Дифференциальная геометрия 10
Теория управления 14
Численные методы 15
Задачи 16
Список использованной литературы 18
3
МАТАНАЛІЗ
Теорема (Зільберта-Штольца) Функція Зiльберта З(x) має в околі точки x похідні до (n–1) поряд- ку включно. Доведення (від приємного). Припустимо, що З(x) має похідні до (n+8) порядку включно. Це дурниця. Теорема (Штрассермана) Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю) розкладається в ряд Тейлора з залишковим членом у вигляді функції Зільберта З(x). Доведення. Оскільки Функція Штрассермана досить приємна на вигляд, ми можемо записати нерівність:
ШТР(х, з, ю) ≠ ШТР( μ , − 1 , 5 ), μ = 0,1,...
7
Отримали суперечність. Теорему доведено. Зауваження 1.
Ви спитаєте, при чому у попередній теоремі функ-
ція Зільберта? Відповідаємо – просто так! Зауваження 2.
Значення функції ШТР( π ,з,ю) покладемо рівним
π ˆ (пі з дахом):
ШТР( π , з, ю) ≡ . π ˆ
Якщо це не так, доповнимо інтеграл Пуассона порожніми бруса- ми. Це корисна вправа. Означення.
Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю), що діє на функ-
цію Зільберта З(x), називається оператором блабла ∇ .
4
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Твердження Якщо ранг матриці Якобі J
? ? a 11 6 b 12 7 c 13 8 0 n 1 n n + m + k − 3 ? ?
? a b c 5 0 ?
? ?
? am bm cm 0 11 ?
J = ? ?
? ?
? ?
? − 4 0 18 0 1 ?
? ? ? k k + 1 k + 2 1 0 ? ? ?
дорівнює –1, та у тому випадку, коли власні вектори ортонормо- ваного базису кореневого підпростору Зільберта
< α , β , γ , σ ,..., χ , ω , ψ >
1
не усі нулі, можна записати тотожність:
∑ 800 arcctg ( π − 11 e j ) ≡ lim [ 0 ∞ ] k
j = − 9 k → 1
Доведення. Приймемо цю теорему на віру.
Наслідки
Згідно до цієї теорії можна потрапити до лікарні.
5
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Означення.
Матрицею Петросяна називають матрицю П(x), у
якої елементи, що стоять на головній диагоналі, належать функції Зільберта З(x). Означення.
Детермінант матриці Петросяна – петросяніан
П[З(x)]. Теорема (про замкненість петросяніана) Якщо петросяніан задовольняє умовам теореми Зільберта-Штоль- ца, і виконана достатня умова теореми Штрассермана, то петрося- ніан П[З(x)] – замкнена множина на інтервалі
[ 7 , π - arctg μ ] , де μ – неперервна функція.
8
Доведення. Наш інтервал [ 7 , π - arctg μ ] – компакт ⇒ за теоре-
8
мою Вейєрштраса-Ляпунова, він має скінченне покриття. Спря- муємо
μ на + ∞ { 2 } та підставимо правий кінець інтервала у
петросяніан. Отримали:
7
П[З ( π - arctg μ )] = ,
802
а це означає, що петросяніан – замкнена множина, оскільки
7
∈ З(x). Теорему доведено.
802
ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА
Принцип локалізації в’язей до (n-8) порядку включно
Якщо спочатку подивитися наліво, а потім направо, то, вико- ристовуючи метод віртуальних ітерацій, можемо найкоротшим шляхом прийти на схід.
6
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Неравенство Треугольника* .
*Треугольник И.И. – выдающийся Харьковский математик, один из основателей теории функции Зильберта. Теорема 1
Пусть α , b , ξ – стороны треугольника.
Тогда α + b > ξ . (1)
Замечание.
“ > ” – знак “больше так сказать” – это то же самое,
что знак “>” в пространстве Римана, только в пространстве Штрассермана ШТР
n .
Теорема 2
В принятых обозначениях b + ξ > α . (8)
Теорема 3
В принятых обозначениях α + ξ > b . (9)
Доказательство теоремы 1 (от приятного).
Пусть это не так, то
есть α + b < ξ . (11)
Но это противоречит аксиоматике Зильберта, согласно которой все теоремы верны! Упражнение.
Теоремы 2,3 доказать самостоятельно.
7
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
В теории функции Зильберта существует сходимость “так
сказать”, “как надо” и ”как не надо”, а именно:
∞
Определение. Последовательность { ξ } 8 сходится “так ска-
k k = − 10
зать” к числу ξ ∈ Z (пространство Зильберта) ⇔ выполнены
условия: 1.
положим ξ = , δ
2. ∀ ε > 0 ∃ δ : | ξ − | δ > ε .
k
3. мат. ожидание функции Зильберта M[З(x)] равно константе
Бернулли. Обозначается
ξ ? так ? ? сказать ? ? → ξ .
k
Определение. Последовательность { ξ } ∞ 2 сходится “как надо” к
k k = 1
числу ξ ∈ Z: ξ ? К ? → ? .Н . ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξ
k k
равна интегралу Пуассона от трансцендентной функции.
Определение. Последовательность { ξ } ∞ 2 сходится “как не на-
k k = 1
до” к числу ξ ∈ Z: ξ ? К ? → . Н ? . Н . ξ ⇔ дисперсия случайной вели-
k
чины ξ равна нулю.
k
Определение. Функциональная последовательность f ( ξ ) ? ?→ Λ
k ← ??
коллинеарно сходится к Λ , когда ξ равномерно сходится к ξ → → λ λ с
вероятностью 1 ⇔ f ' ( ξ ) > 0 , ∀ k: λ < k< Λ .
k k
8
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Теорема.
Рассмотрим конформное отображение f из области D в
область G:
D а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f : D → G
G а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тогда на ∀ факультете ∃ пара такая, что отображение f ∃ и не
единственно, более того, таких отображений ∃ минимум два.
Проверить самостоятельно.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
N-угольники в пространстве Зильберта
1. Регулярный одноугольник Определение.
Регулярный одноугольник – геометрическая фигура,
состоящая из вершины (точки A) и дуги ( A( A ):
Теорема (о длине дуги регулярного одноугольника)
Пусть γ – регулярный одноугольник с вершиной в точке A. Возь-
мём точку B ∈ , B γ ≠ A. Тогда длина дуги B A( равна
B
l ( ( A B ) = ∫ d ξ .
A
Замечание. Если A=B, то длина дуги неопределена и условно
∞
считается равной .
8
Упражнение. Доказать эту теорему самостоятельно.
2. Пространство двуугольников, измеримых по Зильберту Определение.
Двуугольник называется измеримым по Зильберту,
если у него 2 угла, причём один угол – первый, а другой – второй.
10
Примеры 1.
Простой двуугольник
2. Прямой равноугольный двуугольник
3. Прямоугольный двуугольник
Замечание. Двуугольники бывают выпуклые и впуклые, напри-
мер
Теорема Впуклые двуугольники измеримыми по Зильберту не являются. Это следует из основной предельной теоремы Зильберта-Остро- градского.
11
Теорема В пространстве Зильберта Z
n двуугольники, измеримые по Зиль-
берту, можно дифференцировать, интегрировать и брать от них невязку
⇔ мат. ожидание косого геликоида, содержащего этот
двуугольник, имеет предел, который сходится к константе Бер- нулли.
Доказательство. Клянусь Демидовичем!
3. Пространство треугольников, измеримых по Зильберту Определение.
Треугольник называется измеримым по Зильберту,
если сумма его углов больше 180 0 .
Примеры 1.
Треугольник Зильберта
2. Треугольник Штрассермана (штреугольник) – имеет 3 прямых
угла
12
3. А этот треугольник не измерим по Зильберту
4. Классификация одноугольников
Одноугольники могут иметь 1, 2 или 3 вершины, если дуга
незамкнута и имеет самопересечения. Примеры
Замечание. Если число вершин >3, одноугольник называется
вырожденным. Точка тоже вырожденный случай. Такие одно- угольники мы рассматривать не будем. Пример
13
5. Шестиугольник ATBCEB Теорема.
Рассмотрим шестиугольник ATBCEB и расположим его
стороны в порядке возрастания. Тогда сумма длин его сторон в пространстве Лобачевского, умноженная на cosec
τ , где
τ ∈ ( − 4 . 7 , 18 ] – дискретная функция, которая принимает 2 значе-
ния: {1, 15} в зависимости от знака cosec τ .
Замечание.
Эта теорема будет доказана на старших курсах.
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Определение 1.
Последовательность { ξ } ∞ 2 очень слабо сходится
k k = 1
к элементу ξ ∈ Z (пространство Зильберта) ⇔ мы этого хотим
слабо. Определение 2.
Последовательность { ξ } ∞ 2 очень сильно сходит-
k k = 1
ся к элементу ξ ∈ Z ⇔ мы этого хотим сильно.
Теорема (Коклюшкина) Определения 1 и 2 неэквивалентны. Доказательство.
Действительно, мы же не можем одновременно
хотеть одного и того же слабо и сильно! Теорема доказана.
14
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рассмотрим сумму с коэффициентами , где
c
k
∏ k − 1 x − x
c = f k − ∑ k − 1 f j i i ≠ = 0 j x n j − x i i
k ∏ k − 1 ( x − x ) j = 0 ∏ k − 1 ( x − x )
k l k i
i = 0 i = 0
и, пожалуй, хватит.
15
ЗАДАЧИ
1.
Как доопределить остаточный член функции Зильберта в вы-
колотой окрестности ∞ , в точке {–6} так, чтобы относительно
винтовой линии (n–3) порядка cos и ? sin были параллельны? ?
(Ответ – молча) 2.
(Прикладная задача мат. статистики) Берём константу Бернул-
∞
ли и устремляем её на . Вопрос: как будет вести себя на беско-
8
нечности трансцендентная функция, умноженная на константу Бернулли? (Ответ – вызывающе) 3.
Доказать, что в пространстве Зильберта Z n числитель и знаме-
натель ортогональны, а их нормы и невязки скрещиваются. 4.
Попробуйте на досуге проаппроксимировать функцию Зиль-
берта З(x) константами Бернулли. 5.
Введём в рассмотрение функцию Бюншмана Б(x)
Б ( x ) = || f − ∑ n c y ||
k k
k = 1
Вопрос: как теперь вывести её из рассмотрения? 6.
Доказать, что у всех девушек волосы одного цвета.
Решение (методом мат. индукции). 1
0 . При n=1 утверждение верно: у одной девушки волосы одного
цвета.
6 7 k 8 6 7 k 8
000 ... 0 0 0 00 ... 00
1 42 4 3 1 42 4 3
k + 1 k + 1
Рис. 1.
16
2 0 . Пусть утверждение верно при n=k. Докажем его для n=k+1.
Внимательно рассмотрим k+1 девушку. У первых k девушек воло- сы одного цвета (по предположению), и у последних k девушек волосы одного цвета, значит, у k+1 девушки волосы одного цвета. Утверждение доказано.
17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ:
1. В учебнике по теории функции Зильберта использованы кон- спекты студентов мех-мата по: - матанализу, - линейной алгебре, - диффурам, - теормеху, - функану, - теорверу, - комплану, - дифф. геометрии, - теории управления, - численным методам, где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно. 2. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математиче- скому анализу”. Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых препода- вателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт. Тираж 600 экземпляров.
18