Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных

Рефераты по математике » Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных

Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет
имени Н.Н. Зильберта
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Нелинейная
теория функции Зильберта
в частных производных
ТОМ 2
Харьков 2007
Теория функции Зильберта
Издание второе
Предназначено для студентов
старших курсов
© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин
кафедра теории функции Зильберта
2
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Дифференциальная геометрия 4
Теория вероятности 5
Теоретическая механика 5
Функциональный анализ 6
Методы оптимизации и теория управления 7 Уравнения математической физики
7
Численные методы 8
Задачи 9
Список использованной литературы 11
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определение. Кривая называется кривой, если она кривая. Определение. Кривая называется очень кривой, если она очень кривая. Теорема Рассмотрим кривую кривую.
∞
Она измерима по Зильберту ⇔ её радиус кривизны → .
8
Следствие. Прямая измерима по Зильберту. Её мера равна её длине. Доказательство (теоремы). Достаточность. Рассмотрим
∞
такую кривую γ , радиус кривизны которой R = . Значит,
8
кривизна γ :
1 8 1
k = = = ⋅ 8 = 0 ⋅ 8 = 0 .
R ∞ ∞
Следовательно, γ – прямая.
Необходимость. Поскольку кривизна прямой равна k=0, мы можем записать:
1 ∞
k = 0 = 0·8 ⇒ R = = .
k 8
Теорема доказана условно.
4
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
В теории функции Зильберта существует сходимость
“да нет, наверное”, а именно:
∞
Определение. Последовательность { ξ } 8 сходится “да нет,
k k = 0
наверное” к числу ξ Z(пространство Зильберта): ∈
ξ ? НЕТ ? → ? ! ξ ⇔ когда она не сходится к этому числу.
k
Определение.
Писдерсией π D [x ] называется величина, матьо-
∞
жидание которой равно .
8
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
В случае, когда все связи идеальные и стационарные,
∂ q
верно, что k = 0 , что значительно упрощает все формулы и
∂ q
j
теоремы из этого курса! Окончательный результат:
Если в формуле вместо y подставить y, то формула останется верной для
∀ y .
Этот факт даётся без доказательства.
5
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Определение.
Если последовательность имеет предел, который
её удовлетворяет, то последовательность остаётся довольной. Теорема.
Если последовательность имеет предел, то и предел
её тоже имеет. (Доказательство было приведено в курсе дифференциальных уравнений) –
А что говорит Хвилиппов?
– Хвилиппов молчит!
Аксиома. Если ты разговаривал с Хвилипповым, то ты – Лит-
рович, а если Хвилиппов тебе отвечал, – это алкоголизм! Теорема.
Если в обеих частях неравенства стоит одно и то же,
то это равенство! Доказательство.
Необходимость. Обозначим через α что-то,
что стоит в обеих частях неравенства:
α > . α
Положим на α и заменим его на неотрицательную константу
Ц:
Ц>Ц ≥ 0.
Константы сокращаются, и мы получаем верное равенство:
0 > 0 ⇒ 0 = 0 .
Что и требовалось доказать. Достаточность. Доказать самостоятельно или при помощи водки
.
почувствуй вкус диffуров.
6
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ и ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Минус первая и минус вторая производные
Определение.
Минус первой производной функции fназывается
такая величина: − f ' .
Определение. Минус вторая производная функции f: − f′′ .
Рассмотрим функционал
ЖЫ ( y ) = ы ∫ ( f ' ( y , y ,' y *) − f ( y , y ,' y *) ) dx → inf (*)
ж
Замечание. Из курса русского языка известно:
«ЖИ–ШИ пишется с И»,
но в данном случае «Ы» – это оператор!
Оператор «Ы»
Определение.
Оператором «Ы» называется дифференциаль-
ный оператор, который функции Ж ставит в соответствие инте- грал (*).
УРАВНЕНИЯ МАТ. ФИЗИКИ
Задача.
Найти функцию Грея для системы:
? ∞
? ? Δ u = 8 , x 5 = 0 ,
?
0 , x = 0 ,
? ? ? u = З ( x , y , z ), x 6 i ≥ 0 .
Подсказка. Если x , y ∈ M решать эту задачу, нужно извлечь
корешок из u, x, y и z. З(x,y,z) – функция Зильберта.
7
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Теорема Если вам лень делать оценку по Рунге, позовите Рунге, и он сам её сделает! Проверить самостоятельно. Определение
. Обратным элементом к бесконечности ∞ явля-
1 ∞ 8
ется конечность , а обратным к является .
∞ 8 ∞
Точные значения этих величин даёт метод подгонки под
ответ с двойным пересчётом.
Лабораторная работа №13
Вычисление сингулярных интегралов
методом подгонки под ответ
Вычислить сингулярный интеграл
I ( z ) = ∫ b f ( x ) dx ; z = a + jh ; j = 1 , n − 1 ; h = b − a .
x − z j 0 0 0 n
a 0
с заданной точностью ε = 10 − 24 на отрезке [1;1.05] с помощью
метода подгонки под ответ с двойным пересчётом. Для этого потребуется методичка с ответами и дискета с готовой про- граммой.
На печать вывести N, π , количество итераций и невязку
в виде таблицы:
количество
N π итераций невязка
R
k
8
ЗАДАЧИ
1. Вычислить ё.
d 2 e
Решение: ё = = 0 , т.к. e ≈ 7 2 , = const и от t не зависит, а
dt 2
производная от константы равна 0. Ответ: ё=0.
2. Вычислить интеграл ∫ dx .
dx
Решение: ∫ dx = 1 ∫ dx = 1 ln | x | + C .
dx d x d
3. Построить треугольник, у которого все углы равны 0
0 .
Решение:
Рис. 1. Треугольник с тремя нулевыми углами
В пространстве Лобачевского (в верхней полуплоскости) такой треугольник имеет 3 угла по 0
0 .
4. Вопрос: метод Зильберта решения СЛАУ точный или при- ближённый? (Ответ – невязка мнимая, так что этот метод даёт результат точнее, чем есть искомая величина) 5. Найти минус третью производную функции
f ( x ) = x 3 .
Решение: Минус третья производная: . − f ′′′ ( x ) = − ( x 3 ) ′′′ = − 6
Ответ: –6.
9
6*. Построить конформное отображение из области «ВАСЯ» на правую полуплоскость (левую полу-ёлку):
10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ:
1.
Хвилиппов А. У. «Сборник задач по диффурам»
2. конспекты студентов мех-мата по:
- дифф. геометрии, - матанализу, - диффурам, - теормеху, - функану, - теорверу, - комплану, - методам оптимизации, - численным методам. Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых препо- давателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт. Тираж 40 экземпляров. Отпечатано на ксероксе в коридоре на 6-м этаже ХНУ им. В. Н. Каразина.
11