Расчёт волновой функции в квантовой яме сложной формы

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
Ðàñ÷¼òíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà
ïî ïðåäìåòó ¾Îïòîýëåêòðîíèêà è êâàíòîâûå ïðèáîðû¿
Àâòîð: Êîðèêîâ Êîíñòàíòèí
Êîíñòàíòèíîâè÷
Ãðóïïà: 3093/2
Ôàêóëüòåò: Ðàäèîôèçè÷åñêèé
Ïðåïîäàâàòåëü:
Êóçüìèí Þðèé Èãîðåâè÷
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2010
Îãëàâëåíèå
1 Òåõíè÷åñêîå çàäàíå 2
2 Àíàëèç 3
3 Ðàñ÷¼ò 6
4 Ëèòåðàòóðà 14
1
1 Òåõíè÷åñêîå çàäàíå
• Íàéòè ýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñî-
ñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñëåäóþùåãî âèäà:
? ? ? ? ? ? ? U (x) = 0, U (x) → ∞, ïðè ïðè |x| ≥ a < |x| < 3a 2 3a
? ? ? ? ? ? U (x) = 4U 0 , ïðè |x| < 2 2 a 2
Çäåñü U o = 2ma π 2 2 2 .
• Ïîñòðîèòü ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé ýòèõ ñîñòîÿíèé. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíî-
ñòè îáíàðóæåíèÿ ýëåêòðîíà â êàæäîì èç ñåêòîðîâ ÿìû äëÿ óêàçàííûõ ñîñòîÿ-
íèé.
Ðèñ. 1: Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå
2
2 Àíàëèç
Êàê èçâåñòíî èç ñëåäñòâèé Ëàãðàíæåâîé ìåõàíèêè [2],äèíàìèêó ëþáîé ìåõàíè-
÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Àíàëîãîì äàííîé
ôóíêöèè â êâàíòîâîé òåîðèè ñëóæèò îïåðàòîð ˆ H (Ãàìèëüòîíèàí) [3].Ïðè ýòîì ñî-
ñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïèñûâàåò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ (r, t)
[3],êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì Øð¼äèíãå-
ðà [4]:
i ∂ Ψ (r, t) = ˆ HΨ (r, t) (1)
∂t
Ãàìèëüòîíèàí âûðàæàåòñÿ ñóììîé îïåðàòîðîâ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå [3]:
H = ˆ ˆ T + ˆ U
mv 2 m (mv) 2 p 2
E = · = = ⇒
2 m 2m 2m
T = ˆ (ˆ p) 2 = {ˆ p = −i } = − 2 2 = − 2 ?
2m 2m 2m
U = U (r) ˆ
2
H = − ˆ ? + U (r)
2m
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå, âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì Ôóðüå:
Ψ (r, t) = f (r)?(t)
∂ 2 1
i f (r) ?(t) = ˆ Hf (r)?(t) = ?(t) − ?f (r) + U (r)f (r) | ·
∂t 2m f (r)?(t)
i ∂ ?(t) = 1 − 2 ?f (r) + U (r)f (r) (2)
?(t) ∂t f (r) 2m
Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2)çàâèñèò òîëüêî îò t, à ïðàâàÿ òîëüêî îò
r , îáå îíè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå êîíñòàíòå ðàçäåëåíèÿ:
? ? i ∂
E = ?(t)
? ? ?(t) ∂t
1 2
? ? ? E = f (r) − 2m ?f (r) + U (r)f (r)
 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû â ñòàöèî-
íàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëèøü ðåøåíèå âòî-
ðîãî óðàâíåíèÿ èç äàííîé ñèñòåìû, ñîäåðæàùåãî ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíîâîé
ôóíêöèè.
2
− ?f (r) + U (r)f (r) = Ef (r)
2m
Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ïîòåíöèàëüíîå ïîëå îäíîìåðíî (r = x è ? = 2 = ∂ 2 ):
∂x 2
− 2 ∂ 2 f (x) + U (x)f (x) = Ef (x) (3)
2m ∂x 2
Hf (x) ˆ
3
íûå çíà÷åíèÿ (â îäíîìåðíîì ñëó÷àå: çàäà÷à Øòóðìà Ëèóâèëëÿ).
2 ∂ 2
− f (x) = E − U (x) f (x)
2m ∂x 2
∂ 2 2m
f (x) = − E − U (x) f (x)
∂x 2 2
∂ 2 f (x) + 2m E − U (x) f (x) = 0 (4)
∂x 2 2
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íà-
êëàäûâàþò äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ [4]:
• Óñëîâèå íîðìèðîâêè
+∞
|Ψ (x, t)| 2 dx = 1 (5)
−∞
Íåïîñðåäñòâåííûì èíòåãðèðîâàíèåì îïðåäåëèì âèä ôóíêöèè ?(t):
i ∂ ∂t
?(t) = E | ·
?(t) ∂t i
∂?(t) E
= ∂t
?(t) i
E
ln(?(t)) = i t + C 1
E iE
?(t) = exp i t exp C 1 = C 2 exp − t
Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôóíêöèÿ Ψ (x, t)
áûëà íîðìèðîâàííàÿ.
+∞ +∞
|Ψ (x, t)| 2 dx = |f (x)?(t)| 2 dx = 1
−∞ −∞
+∞ +∞
iE iE
|f (x)?(t)| 2 dx = |f (x)| 2 exp − t exp t dx = 1
−∞ −∞
+∞
|f (x)| 2 dx = 1 (6)
−∞
• Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè
1. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü áåñêîíå÷íûõ çíà÷åíèé, òàêèõ, ÷òî
èíòåãðàë (6)ñòàíåò ðàñõîäÿùèìñÿ.
4
ìåíè, òàê êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû äîëæíà îïðå-
äåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.
3.  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ è å¼ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò.
 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å ïîòåíöèàëüíîå ïîëå (êâàíòîâàÿ ÿìà) àíàëèòè÷åñêè îïè-
ñûâàåòñÿ ôóíêöèåé U(x), èìåþùåé ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî çàìåíû −x íà x:
U (−x) = U (x)
Ïðè íàëè÷èè èíâåðñèè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ëèáî àâòî-
ìàòè÷åñêè èìåþò îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü, ëèáî ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ôóíê-
öèè, èìåþùèå îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü [3].
Ðåçþìå
1. Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ.
2. Ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f(x) è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ E
(ýíåðãèè) îïðåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ˆ H .
3. Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç
ôîðìû ïîòåíöèàëà.
4. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f(x) îáëàäàþò îïðåäåë¼ííîé ÷¼òíîñòüþ â òîì èëè èíîì
ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå.
5. Ðåøàòü çàäà÷þ ìîæíî íà ïîëîâèíå èíòåðâàëà, ïåðåíîñÿ ðåøåíèÿ íà îñòàâøó-
þñü ÷àñòü ñ ïîìîùüþ ñèììåòðèè.
6. Íà ôóíêöèè f(x) íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè è íåïðåðûâíîñòè â ëþ-
áîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå.
5
3 Ðàñ÷¼ò
• Ïðîàíàëèçèðóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè f(x) â òî÷êàõ ñèíãóëÿðíîñòè x = ± 3a :
2
∂ 2 2m
f (x) + E − U (x) f (x) = 0
∂x 2 2
∂ 2 2m
f (x) − U (x) − E f (x) = 0
∂x 2 2
y def = f (x); U (x) → ∞; æ 2 def = 2m E − U (x)
2
y − æ 2 y = 0
Ðåøåíèå â âèäå y = e kx : k 2 e kx − æ 2 2e kx = 0 ⇒ k 2 − æ 2 = 0 ⇒ k = ±æ
y = C 1 e æx + C 2 e −æx
Èç óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè y : C 1 → 0 ⇒ y = C 2 e −æx
ò.ê. U(x) → ∞ ⇒ æ → ∞ ⇒ y → 0
f ± 3a = 0 (7)
2
• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:
y + α 2 y = 0 | ·2y (8)
2y y + 2α 2 y y = 0
(y ) 2 + α 2 (y 2 ) = 0
(y ) 2 + α 2 y 2 = 0
(y ) 2 + α 2 y 2 = c 2 1
y = ± c 1 2 − α 2 y 2 | ·dx
dy = ± c 1 2 − α 2 y 2 dx
dy
= ± dx
c 2 − α 2 y 2
1
1 dy
= ± dx
c 1 1 − ( α )y) 2
c 1
c 1 1 c α 1 arcsin c α 1 y = ±x + c 2
y = c α 1 sin(±αx + αc 2 ) ⇒ y = A sin(αx + ?)
6
• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:
y − α 2 y = 0 (9)
Ðåøåíèå â âèäå y = e kx : k 2 e kx − α 2 2e kx = 0 ⇒ k 2 − α 2 = 0 ⇒ k = ±α
y = C 1 e αx + C 2 e −αx
e x = sh(x) + ch(x)
y = C 1 sh(αx) + C 1 ch(αx) + C 2 sh(−αx) + C 2 ch(−αx)
y = (C 1 − C 2 ) sh(αx) + (C 1 + C 2 ) ch(αx) = A sh(αx) + B ch(αx)
• Óðàâíåíèå (4)äëÿ ó÷àñòêà 0 < x < a 2 :
∂ 2 2m
f (x) − U (x) − E f (x) = 0
∂x 2 2
y 1 def = f (x); U (x) = 4U 0 ; κ 2 def = 2m 2 4U 0 − E
y 1 − κ 2 y 1 = 0
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (9),îáùåå ðåøåíèå: y 1 = A sh(κx) + B ch(κx)
Åñëè f(x) ÷¼òíàÿ: y 1 (0) = 0; åñëè f(x) íå÷¼òíàÿ: y 1 (0) = 0
f (x) ÷¼òíàÿ:
y = Aκ ch(κx) + Bκ sh(κx)
1
y (0) = Aκ = 0
1
ò.ê. κ = 0 → A = 0
y 1 = B ch(κx) (10)
f (x) íå÷¼òíàÿ:
y 1 (0) = B = 0
y 1 = A sh(κx) (11)
7
• Óðàâíåíèå (4)äëÿ ó÷àñòêà a 2 < x < 3a :
2
∂ 2 2m
f (x) + E − U (x) f (x) = 0
∂x 2 2
y 2 def = f (x); U (x) = 0; γ 2 def = 2m 2 E
y 2 + γ 2 y 2 = 0
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (8),îáùåå ðåøåíèå: y 2 = D sin(γx + ? D )
Èç êðàåâûõ óñëîâèé: y 2 ± 3a 2 = D sin γ ± 3a 2 + ? D = 0
3a
γ 2 + ? D + = πn, n ∈ Z
3a
−γ 2 + ? D − = πn, n ∈ Z
3a
? D + = πn − 2 γ, n ∈ Z
3a
? D − = πn + 2 γ, n ∈ Z
y 2 = D sin γx + πn ± 3a 2 γ , n ∈ Z (12)
• Òàêèì îáðàçîì, Ψ(x) ïðèìåò âèä:
? ? 3a a 3a
? ? ? ? ? y y 2 1 + + = B ch(κx), = D sin γ x − ïðè − 2 + πn , n ∈ Z, ïðè 2 a ≤ x ≤ a 2 2 < x < 2
? ? ? ? ? ? y 2 + = D sin γ x + 3a 2 + πn , n ∈ Z, ïðè − 3a 2 < x < − a 2
? ? 3a a 3a
? ? ? ? ? y y 2 1 − − = D sin γ x − = A sh(κx), ïðè − 2 + πn , n ∈ Z, ïðè a 2 ≤ x ≤ 2 a 2 < x < 2
? ? ? ? ? ? y 2 − = D sin γ x + 3a 2 + πn , n ∈ Z, ïðè − 3a 2 < x < − a 2
• Èç óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè f(x) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
8
+ f (x) ÷¼òíàÿ:
a a
y 1 2 = y 2 2
a a − 3a
B ch κ = D sin γ + πn , n ∈ Z
2 2
a a
y 1 2 = y 2 2
a a − 3a
Bκ sh κ = Dγ cos γ + πn , n ∈ Z
2 2
a a − 3a
κ th κ = γ ctg γ + πn , n ∈ Z | ·a
2 2
a
κa th κ = −γa ctg γa
2
Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:
ξ = κa; η = γa
ξ th ξ = −η ctg(η) (13)
2
− f (x) íå÷¼òíàÿ:
a a
y 1 2 = y 2 2
a a − 3a
A sh κ = D sin γ + πn , n ∈ Z
2 2
a a
y 1 2 = y 2 2
a a − 3a
Aκ ch κ = Dγ cos γ + πn , n ∈ Z
2 2
a a − 3a
κ cth κ = γ ctg γ + πn , n ∈ Z | ·a
2 2
a
κa cth κ = −γa ctg γa
2
Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:
ξ = κa; η = γa
ξ cth ξ = −η ctg(η) (14)
2
9
η 2 + ξ 2 = (γa) 2 + (κa) 2 = a 2 (γ 2 + κ 2 )
2m 2m 8m
γ 2 + κ 2 = 2 E + 2 4U 0 − E = 2 U 0
8m 8m π 2 2 4π 2 2π 2
2 U 0 = 2 2ma 2 = a 2 = a
2π 2
η 2 + ξ 2 = a 2 = (2π) 2
a
ξ = ± (2π) 2 − η 2 (15)
• Ïîäñòàâèì (15)â (13)è (14):
(2π) 2 − η 2 th (2π) 2 − η 2 = −η ctg(η) (÷¼òíûå ðåøåíèÿ)
2
(2π) 2 − η 2 cth (2π) 2 − η 2 = −η ctg(η) (íå÷¼òíûå ðåøåíèÿ)
2
Ðèñ. 2: Ðåøåíèå òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé
• Ðåøàÿ ãðàôè÷åñêè òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå, íàõîäèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
η
η = γa ⇒ γ =
a
η 2 2m
= E
a 2
E = 2 η 2 (16)
2m a 2
ξ = κa = (2π) 2 − η 2
(2π) 2 − η 2
κ =
a
10
öèé f(z):
? ? 3 1 3
? ? ? ? ? y y 2 1 + + = D sin η z − = B ch( (2π) 2 2 − η + πn , n ∈ Z, ïðè 2 z), ïðè − 2 1 ≤ z ≤ 2 < z < 2 1 2
? ? ? ? ? ? y 2 + = D sin η z + 2 3 + πn , n ∈ Z, ïðè − 3 2 < z < − 1 2
? ? 3 1 3
? ? ? ? ? y y 2 1 − − = D sin η z − = A sh( (2π) 2 2 − η + πn , n ∈ Z, ïðè 2 z), ïðè − 2 1 ≤ z ≤ 2 < z < 2 1 2
? ? ? ? ? ? y 2 − = D sin η z + 3 2 + πn , n ∈ Z, ïðè − 3 2 < z < − 1 2
• Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè îïðåäåëèì êîíñòàíòû A, B è D, äëÿ óäîáñòâà âçÿâ
ñèñòåìó ñ n = 0:
− 1 2 1 2 3 2
3 2 2 3 2
D sin η z + dz + B ch( (2π) 2 − η 2 z) dz + D sin η z − dz = 1
2 2
− 3 2 − 1 2 1 2
− 1 2 1 2 3 2
3 2 2 3 2
D sin η z + dz + A sh( (2π) 2 − η 2 z) dz + D sin η z − dz = 1
2 2
− 3 2 − 1 2 1 2
B 2 1
D 2 + sh( (2π) 2 − η 2 ) + = 1
2 (2π) 2 − η 2 2
A 2 1
D 2 + ch( (2π) 2 − η 2 ) − = 1
2 (2π) 2 − η 2 2
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó äëÿ ÷¼òíûõ ðåøåíèé:
? ? B 2 1
? ? ? D 2 + 2 (2π) 2 − η 2 sh( (2π) 2 − η 2 ) + 2 = 1
? ? ? ? B ch (2π) 2 2 − η 2 = −D sin(η)
È äëÿ íå÷¼òíûõ ðåøåíèé:
? ? A 2 1
? ? ? D 2 + 2 (2π) 2 − η 2 ch( (2π) 2 − η 2 ) − 2 = 1
? ? ? ? A sh (2π) 2 2 − η 2 = −D sin(η)
11
×èñëåííîå ðåøåíèå
1. ×¼òíîå ðåøåíèå:
η 3 = 5.261
2. Íå÷¼òíîå ðåøåíèå:
η 4 = 5.308
3. Ýíåðãèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöè-
àëüíîé ÿìå:
2 η 2 η 2
E 3 = 2m a 2 = π 3 2 · U 0 = 2.804 · U 0
E 4 = 2m 2 η a 2 2 = π η 4 2 2 · U 0 = 2.855 · U 0
4. Âîëíîâûå ôóíêöèè:
3 :
? ? ? ? ? ? ? y y 2 1 + + = −0.911 sin 5.261 z − = 0.270 ch(3.435z), ïðè − 2 3 , 1 2 ïðè ≤ z ≤ 1 2 < z < 2 1 2 3
? ? ? ? ? ? y 2 + = 0.911 sin 5.261 z + 2 3 , ïðè − 3 2 < z < − 1 2
4 :
? ? ? ? ? ? ? y y 2 1 − − = 0.290 sh(3.361z), = 0.909 sin 5.308 z − ïðè − 2 3 , ïðè 1 2 ≤ z ≤ 2 1 < z < 1 2 2 3
? ? ? ? ? ? y 2 − = 0.909 sin 5.308 z + 2 3 , ïðè − 3 2 < z < − 1 2
5. Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â ñåêòîðàõ ÿìû:
3 :
− 1 2 3 2
|f (z)| 2 dz = |f (z)| 2 dz = 0.450
− 3 2 1 2
0 1 2
|f (z)| 2 dz = |f (z)| 2 dz = 0.101
− 1 2 0
12
4 :
− 1 2 3 2
|f (z)| 2 dz = |f (z)| 2 dz = 0.449
− 3 2 1 2
0 1 2
|f (z)| 2 dz = |f (z)| 2 dz = 0.069
− 1 2 0
6. Ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé:
Ðèñ. 3: 3 ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå
Ðèñ. 4: 4 ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå
13
4 Ëèòåðàòóðà
[1] Â.Ñ. Âëàäèìèðîâ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1988.
[2] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèâøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà: Ìåõàíèêà: â 10 ò. Ì.: Íàó-
êà, 1988.
[3] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèâøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà: Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íåðåëÿ-
òèâèéñêàÿ òåîðèÿ): â 10 ò. Ì.: Íàóêà, 1989.
[4] Ï.À.Ì. Äèðàê. Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà, 1979.
14