Кристаллографические символы

Рефераты по физике » Кристаллографические символы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ

Цель работы : 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;

2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;

3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.

Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

Символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a ₀ , b ₀ , c ₀ ). Осевыми единицами называют отрезки a ₀ , b ₀ , c ₀ , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x , y , z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).

Таблица 1.

Сингония	Угловые соотношения	Осевые единицы
Кубическая	a = b = g = 90°	a₀ =b₀ =c₀
Тетрагональная	a = b = g = 90°	a₀ =b₀ ¹ c₀
Ромбическая	a = b = g = 90°	a₀ ¹ b₀ ¹ c₀
Моноклинная	a = g = 90°¹b	a₀ ¹ b₀ ¹ c₀
Триклинная	a ¹ b ¹ g ¹ 90°	a₀ ¹ b₀ ¹ c₀
Гексагональная	a = b = 90°, g =120°	a₀ =b₀ ¹ c₀

В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a , b , c , соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a ₀ , b ₀ , c ₀ (рис. 1) a = OA / a ₀ , b = OB / b ₀ , c = OC / c ₀ .

Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a ₀ , b ₀ , c ₀ .

Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.

В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексовh , k , l , представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOYбудет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).

В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.

Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

Символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.

Если осевые единицы единичной грани равны a ₀ , b ₀ , c ₀ , а точки А (x _1, y ₁ , z ₁ ) и В (x _2, y ₂ , z ₂ ) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:

(AB)_x =x₂ -x₁ , (AB)_y =y₂ -y₁ , (AB)_z =z₂ -z₁ .

Тогда символ направления [rst] определится как

Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r , s , t , записываемых в квадратных скобках [rst]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[xyz]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.

Заданное направление может быть определено и с помощью углов a , b , g , которые оно образует с координатными осями x , y , z . Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:

В кубических кристаллах:

Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани ( h k l ) пропорционально отношению индексов:

отсюда:

Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

Основные кристаллографические соотношения

1. Угол между двумя направлениями .

Чтобы найти угол между двумя направлениями [r₁ , s₁ , t₁ ], [r₂ , s₂ , t₂ ] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов .

Если .

(Здесь - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:

Откуда

2) Угол между направлением и плоскостью

Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (hkl) изображаются как [h k l ], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r s t ].

Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как

3) Условие зональности.

Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (hkl) принадлежала зоне, ось которой [rst] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (hkl) и осью зоны [rst] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как

Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r s t ] , образованного двумя гранями (h ₁ k ₁ l ₁ ) и (h ₂ k ₂ l ₂ ) из совместного решения уравнений:

Решение данной системы уравнений можно представить в виде:

Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.

Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l ), в которой лежат два заданных направления [r ₁ s ₁ t ₁ ] и [r ₂ s ₂ t ₂ ]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (h k l ).

4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.

При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния dс индексами (hkl) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:

- для ромбической сингонии;

- для тетрагональной сингонии;

- для кубической сингонии.

План работы

1. Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.

2. Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.

3. Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.

4. Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.

5. Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.

Контрольные вопросы

1. В чем сущность метода индексов?

2. Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?

3. Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?

4. В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?

5. Что физически собой представляет условие зональности?