С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана алгебры выполнено равенство
где - ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); - группа Вейля алгебры , означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами содержится в выпуклой оболочке множества , где Sn - симметрическая группа, действующая на перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.
Таким образом, проекция орбиты - это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть - конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью коприсоединенного представления : , где , . Определим орбиту элемента :
На каждой орбите существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая, что для любой непрерывной функции и для любого
Пусть ортогональная проекция. Определим проекцию меры на - это мера , задаваемая соотношением:
где - финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и , где - плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.
Введем некоторые обозначения: - система корней алгебры , - множество положительных корней, - их полусумма. Пусть - решетка весов алгебры , кроме того, пусть обозначает множество , где - камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если - характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции :
Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть неприводимое представление . Обозначим множество весов как . Если , то обозначает кратность веса в представлении . Известно, что
Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
где - дельта-функция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для функции :
или
Точное выражение для функции в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.
3. Функция
В этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана , s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.
Пусть , где - векторное пространство, порожденное , т.е. линейная оболочка множества , . Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция . Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов таких, что (ei,ej)=0, если и, кроме того, . Пространство V - линейная оболочка векторов , которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:
V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на функцию следующим образом:
где mes - мера Лебега на .
Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество 0-мерно. В этом случае можно считать, что функция имеет следующий вид:
Функция определена всюду в , непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса функция лишь умножается на константу.
Можно рассматривать функцию как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где - решетка корней алгебры; - это число способов представить в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть - решетка в V. Тогда равно числу элементов в множестве , а - это мера или объем . Для примера функция Костанта и функция для алгебры Ли A2 связаны следующим образом: , . Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом такова:
4. Основной результат
Теорема. Пусть . Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку , имеет плотность :
Кроме того, функция является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля функцией, носитель которой содержится в множестве .
НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для . Сечение орбиты , проходящее через точку , имеет размерность r, поэтому . Таким образом, мы получаем:
Для вычисления используется формула Костанта для кратностей весов. Если , то
Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию , интегрируются по и, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:
Так как это верно для любой непрерывной функции , то получаем (*) для всех После этого, используя однородность функции , (*), доказывается для всех , , где , , а затем, используя предельный переход, и для всех . Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции .
Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство . Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и . Далее, если , то
Затем равенство доказывается для всех . Из равенства (*) легко получить, что . Так как функция -инвариантна, то .
Список
литературы
Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.
Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.
Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.
Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.
Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.
Другие работы по теме:
Механический и магнитный моменты атома
Понятие моментов импульса электронов и атомов. Нормальный и аномальный эффекты Зеемана. Цель и идея экспериментов Штерна–Герлаха. Правила отбора квантовых чисел атома. Механический, магнитный и полный моменты импульса атома. Атом в магнитном поле.
Проекция вектора на ось
Содержание: Введение…………………………………………………………………………3 Значение вектора и скаляра………………………………………….4 Определение проекции, оси и координатой точки………………...5
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов В 1978 г. нами была опубликована работа «Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...), см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от резонансного значения nT в %.
Происхождение Плутона и других ледяных планет
За зоной планет-гигантов расположена зона ледяных планет, одной из которых является планета Плутон, пока единственная из обнаруженных. Несомненно, Плутон является далеко не самой большой из семейства ледяных планет.
Происхождение комет
Мелкие кометы происходят преимущественно в Солнечной системе, главным образом на ее периферии, где количество комет, по-видимому, исчисляется многими миллиардами и триллионами.
Происхождение астероидов
Астероиды, как и ледяные планеты, происходят из комет, но их происхождение из комет весьма значительно отличается от происхождения из комет ледяных планет.
Эксцентриситет
Небесные тела Солнечной системы, обращающиеся вокруг Солнца, тормозятся в газово-пылевой среде во время галактических зим неравномерно на протяжении всей своей орбиты.
Эндокринная офтальмопатия
Эндокринная офтальмопатия - аутоимунное заболевание тканей и мышц орбиты, приводящее к развитию экзофтальма и комплексу глазных симптомов.
Менингиома зрительного нерва
Определение и понятие. Характеристика менингиомы зрительного нерва. Диагностика. Лечение менингиомы зрительного нерва.
Тихо Браге
Свою научную деятельность Тихо Браге посвятил наблюдениям неба. На небольшом острове Гвен он построил уникальную обсерваторию "Ураниборг" ("Небесный замок"), а позже "Звездный замок".
Притяжение и движение тел в пространстве
Более точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, дает возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела - массу.
Что такое орбита
Абсолютные и относительные орбиты. Небесная механика. Орбиты Луны и планет. Конические сечения. Орбитальная скорость.
Расстояния до звезд
Еще во времена Коперника было ясно, что если Земля действительно перемещается в пространстве, обращаясь вокруг Солнца, то видимые положения звезд на небе должны меняться. Земля за полгода перемещается на величину диаметра своей орбиты.
Визуально-двойные звезды
Массу — одну из важнейших физических характеристик звезд — можно определить только по ее воздействию на движение других тел. Такими другими телами являются спутники некоторых звезд, обращающихся с ними вокруг общего центра масс.
Переменные звезды
Для наблюдателей на Земле изменения блеска в системах алголей вызваны периодическими затмениями звезд. Из точек пространства, откуда плоскость орбиты данного алголя видна под большим углом, никаких затмений и изменений блеска не видно.
Открытие и движение комет
Кометы представляют собой светила незначительной массы по сравнению с масштабом объектов солнечной системы.
Проблемные вопросы теории образования планетных систем
Очень низкие орбиты «горячих юпитеров» стали вызовом теориям образования планет во многих вопросах. Прежде всего, потому, что образование планет-гигантов в Солнечной системе считалось возможным только вдали от Солнца, там, где происходила конденсация воды и других летучих веществ с образованием льда.
Булевы Функции Функциональная полнота
В алгебре булевых функций P2=<P2;S> S – Операцией является подстановка функции в функцию, суперпозиция. Порождающее множество алгебры P2, принято называть полной системой булевых функций.
Перпендикулярность геометрических элементов
Теорема о проецировании прямого угла, возможные три случая такого проецирования. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямая, перпендикулярная к плоскости и ее проекции. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей.
Солнечная система
Солнечная система состоит из Солнца, девяти планет, шестидесяти шести спутников планет, большого количества малых тел (комет и астероидов) и межпланетной среды. Внутренняя Солнечная система включает в себя Солнце, Меркурий, Венеру, Землю и Марс.
Открытие Нептуна
Нептун - это предпоследняя планета в солнечной системе. Ее орбита пересекается с орбитой Плутона в некоторых местах. Комета Галилея еще пересекает ее орбиту, в отличии от Плутона.
Уран
Седьмая от Солнца большая планета Солнечной системы, открытая Уильямом Гершелем в 1781 г. Уран достаточно ярок, так что при хороших условиях наблюдения его можно увидеть невооруженным глазом.
Законы Кеплера
Три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Это стало возможным благодаря многолетним наблюдениям датского астронома Тихо Браге.
Планетарная модель по Нильсу Бору
Бо́ровская моде́ль а́тома (Моде́ль Бо́ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно, и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро.
Исскуственные спутники Земли
Искусственные спутники Земли — космические летательные аппараты, выведенные на околоземные орбиты. Они предназначаются для решения различных научных и прикладных задач.
Внешняя Солнечная система
Внешняя Солнечная система Внешняя область Солнечной системы является домом газовых гигантов и их спутников. Орбиты многих короткопериодических комет, включая кентавров, также проходят в этой области. Твёрдые объекты этой области из-за их большего расстояния от Солнца, а значит, гораздо более низкой температуры, содержат льды воды, аммиака и метана.
Мадам Лепот
Николь-Рейн Этабль де ла Бриер (по мужу мадам Лепот) - известная французская математик и астроном. Мадам Лепот участвовала в расчете орбиты кометы Галлея, была составительницей эфемерид (траекторий на небе) Солнца, Луны и планет.
Метеоры
В темную безоблачную ночь можно заметить, как вдруг, словно сорвавшись со своего места, пролетит по небу "звезда" и мгновенно исчезнет. Такая падающая звезда называется
Луна
Основные данные. Естественный спутник Земли, Луна, - наиболее изученное небесное светило. Лунная орбита - эллиптическая. Среднее расстояние Луны от земли равно 384400 км, а эксцентриситет орбиты равен 0,055. Во время одного оборота по орбите расстояние Луны от Земли изменяется от 356410 км в перигее до 406740 км в апогее.
Законы Кеплера
Мазуров Алексей, 11 «Б». Важную роль в формировании представления о строении Солнечной системы сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером (1571-1630) и стали первыми естественнонаучными законами в их современном понимании. Работы Кеплера создали возможность для обобщения знаний по механике той эпохи в виде законов динамики и закона всемирного тяготения, сформулированного позднее Ньютоном.
Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания
Движения тел в сферически симметричном гравитационном поле. Решение баллистической задачи, на нахождение начальной скорости и начального угла бросания тела, при которых обеспечивается перелет тела, на заданное расстояние с наименьшими энергозатратами.