Пусть Q – плоский многоугольник в плоскости a и S – точка, не принадлежащая плоскости а. Соединим каждую точку М многоугольника Q с точкой S отрезком МS. Отрезки МS заполняют некоторый многогранник. Этот многогранник называется пирамидой (рис. 1)
Пирамида называется n-угольной, если Q – n-угольник.
Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Многоугольник Q называется основанием пирамиды, а точка S – вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину к плоскости ее основания; концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра; на рисунке 1 SH – высота пирамиды. (Высотой пирамиды называют длину этого отрезка.) Пусть A, B, C, …, K – вершины многоугольника Q, лежащего в основании пирамиды. Тогда треугольники ASB, BCS, …, KSA называются боковыми гранями пирамиды, а отрезки AS, BS, CS, …, KS боковыми ребрами.
Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением пирамиды. Например, треугольник ACS (см. рис.1) – диагональное сечение пирамиды.
Пирамида называется правильной, если основанием ее является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (центром основания). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды (обозначение hбок). Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.
На рисунке 2 изображена правильная треугольная пирамида, где SO – высота, а SD – апофема.
Часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой (рис. 3). Параллельные грани ABC и A1B1C1 называются основаниями, а отрезок перпендикуляра ОО1, опущенного из какой-нибудь точки О1 верхнего основания на нижнее основание, - высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды. Ее ось – прямая, проходящая через центры оснований. Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равные равнобочные трапеции; их высоты называются апофемами.
Пример 1. Определить боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 7 см, а сторона основания равна 8 см.
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4. Из прямоугольного треугольника ADC согласно теореме Пифагора имеем:
AC=√AD² + DC² = √8² + 8² = 8√2
и, значит, AO = 4√2. Наконец из прямоугольного треугольника AOS согласно той же теореме находим:
AS = √AO² + SO² =√32 + 49 =√81 = 9,
т.е. боковое ребро пирамиды равно 9 см.
Пример 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 14 м, а площадь диагонального сечения – 14 м. Найдите боковое ребро пирамиды.
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.
Рассмотрим диагональное сечение ACS, где SO – высота пирамиды. Согласно известной формуле для площади треугольника:
½ AC ∙ SO = 14
В силу теоремы Пифагора AC = 14√2 и, значит, SO = √2.
Теперь из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора находим
AS = √SO² + (AC/2)² = √2 + 49 ∙ 2 = 10
Итак, боковое ребро пирамиды равно 10 м.
Пример 3. По данной стороне основания а и боковому ребру b определите высоту правильной треугольной пирамиды.
Решение. Так как пирамида правильная, то основание ее высоты O совпадает с центром правильного треугольника ABC – основания пирамиды (см. рис. 2). Поэтому отрезок BO равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC, и, значит, BO = а/√3. Теперь из прямоугольного треугольника BOS по теореме Пифагора получаем:
SO = √BS² – BO² = √b² – a²/3
Пример 4. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде (рис.5) площади нижнего и верхнего оснований соответственно равны B и b, а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол в 45º. Определить площадь диагонального сечения.
Решение. Стороны оснований равны √B и √b. Отсюда по теореме Пифагора основания диагонального сечения, которым является равнобочная трапеция, равны √2B и √2b. Далее, так как угол при основании этой трапеции равен 45º, то ее высота равна (√2B – √2b) : 2 и, значит, площадь искомого сечения
(√2B + √2b) ∙ √2B – √2b = 2B – 2b = B – b
2 2 4 2
Задача повышенной сложности
1. В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, диагональ которой l составляет с большим основанием угол а. Площадь боковой поверхности этой пирамиды S. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания ее под равными углами, определить эти углы.
Высота пирамиды [KO] падает в центр вписанной окружности.
│AB │+│CD│=│AD│+│BC│;
2│AB│=2│AM│; │AB│=│AM│;
2r = │CM│;
│CM│= l sina; │AM│=l cosa.
Боковая поверхность пирамиды представляет из себя площади треугольников с равными высотами. Периметр основания:
│AD│+│BC│+│AB│+│CD│=4│AM│;
S = r :2cos x ∙4 │AM│;
cos x = 2r ∙│AM│: S=│CM│∙│AM│: S= l²∙ sin² a : 2S
Другие работы по теме:
Теотиуакан
На стыке мифологии, археологии и астрономии в 60-х годах XX века родилась удивительная наука – палео- или археоастрономия, которая пытается ответить на эти вопросы и пролить свет на многие загадки доисторических времен.
Символы Буддизма
Описание основных символов древнейшей мировой религии со ссылками на литературу и рисунки.
Основные виды многогранников и их свойства
Понятие многогранной поверхности, виды многоугольников. Грани, стороны и вершины многогранников. Свойства пирамиды, призмы и параллелепипеда. Объем многогранника, его измерение с помощью выбранной единицы измерения объемов. Основные свойства объемов.
Геометрическая пирамида и ее проекция
Text Text Graphics Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Объем усеченной пирамиды
Дано: Пирамида SABC, пирамида A1B1C1ABC, Sосн=S, Sсеч=S1 Доказать, что V=1/3h(S + SS1) Доказательство. Объем пирамиды SABC равен: V=1/3Sh1, а пирамиды SA1B1C1 равен: V=1/3S1h2. Vу=Vп – Vм= 1/3(Sh1 – S1h2) (*)
Тела вращения
Цилиндр. Конус. Шар. Пирамида. Правильная пирамида. Многогранники. Призма.
Формулы по математике (11 кл.)
АЛГЕБРА Формулы Формулы сложения Формулы двойного аргумента Формулы половинного аргумента Ф-лы преобразования суммы в произведение Ф-лы преобразования произведения в сумму
Геометрические фигуры
Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - архитектура.
Семь чудес света 2
Text Text Text Text Пепел царственной четы хранился в золотых урнах в усыпальнице в основании здания. Ряд каменных львов сторожил это помещение. Само сооружение напоминало греческий храм, окружённый колоннами и статуями.
Первое чудо света
гипетские пирамиды, которые «отец истории» Геродот назвал «первым чудом света»? до сих пор будоражат наше воображение, хотя, казалось бы, сегодня нас трудно удивить даже самыми современными достижениями науки и техники. Однако пирамиды хранят свои тайны не одну тысячу лет.
Египетские пирамиды
Как только на престол всходил новый фараон, то он сразу начинал готовиться ... к смерти. То есть строить свое заупокойное жилище - пирамиду.
Ступенчатая пирамида фараона Джосера
Эта самая древняя пирамида была воздвигнута около 5000 лет назад для Джосера — фараона III династии. До этой пирамиды, находящейся в Саккара, не было построено ничего, хотя бы отдаленно приближающегося к ней по своим размерам.
Великие пирамиды Гизы
Следует отметить, что к концу правления фараонов III династии завершился переход к новой форме погребения, в которой заложена важная для того времени идея: жрецы и архитекторы нацеливали вершину пирамиды на Полярную звезду.
Великие пирамиды в Гизе
Это единственное чудо света, сохранившееся по сей день и не требующее описания ранними историками и поэтами.
Город-империя Теотиуакан
Это место считалось священным и притягивало к себе людей. Именно здесь, согласно легенде, в начале времен были рождены боги Солнца и Луны, и был запущен основной закон мира.
Кохунлич
, Kohunlich, на современном юкатекском языке — Шлабчеэн , X-lаabch’e’en — крупное археологическое городище цивилизации майя, расположенное на полуострове Юкатан примерно в 25 км к востоку от региона Рио-Бек, примерно в 65 км к западу от Четумаля по шоссе 186, и в 9 км к югу от дороги. Современное испанское название не связано с языком майя, а представляет собой искажённое английское Cohune Ridge (перевал Кохун).
Гуачимонтонес
Деталь круглой пирамиды и другие руины Разрешение на публикацию любезно предоставила Nancy Гуачимонтонес Уачимонтонес исп. Guachimontones, Huachimontones — археологический памятник доколумбовых времён около мексиканского города Теучитлан, штат Халиско. Памятник относится к так называемой Теучитланской традиции[1] — общества или комплекса обществ, существовавшего в период 300—900 гг. н. э.
Семь чудес света 6
Семь чудес света (Древнего мира). В настоящее время в их число включают: Пирамида Хеопса (Хуфу); Висячие сады Семирамиды; Храм Артемиды в Эфесе; Статуя Зевса в Олимпии;
XXVI век до н. э.
План Введение 1 Правители 2 Египет 3 Ближний Восток 4 Другие регионы Введение 1. Правители Фараоны Хуни, Снофру, Хеопс, Джедефра, Хефрен, Микерин, Шепсескаф.
Храм Луны
Восстановленная роспись на потолке храма Луны Не следует путать с Пирамида Луны. Храм Луны , или Уака Луны — сооружение из самана на севере Перу в регионе Ла-Либертад, примерно в 5 км от г. Трухильо. Храм относится к древней культуре Мочика. Недалеко от него находится Храм Солнца, тоже культуры мочика; между двумя храмами находился город.
Финансовая пирамида
План Введение 1 Происхождение термина 2 История 3 Парадоксы финансовых пирамид 4 Российские примеры 5 Украинские примеры 6 Характерные признаки финансовой пирамиды
Тула Мексика
Тула — древняя столица тольтеков, одной из главных доколумбовых культур Месоамерики. Нередко её отождествляют с мифическим городом Толланом. Тула расположена в 65 км к северо-западу от Мехико.
Мемориальный Комплекс Джосера
Если согласится с версией о наличии в комплексе крупнейшего в Древнем Египте зернохранилищного комплекса - то явно прослеживается аналогия между этим комплексом и Библией (Иосиф/Имхотеп и семь лет голода).
История Древнего Египта 2
Text Graphics Предположительно, одомашнивание кошки произошло в Египте в течение III тысячелетия до н. э. До того, как стать домашним любимцем, ценящимся за свою мягкость, грациозность и беззаботность, кошка, прежде всего, стала оберегающим животным.
Алгоритмы обработки данных линейной и нелинейной структуры
Структуры и алгоритмы обработки данных, представленных в виде пирамиды (максимальной или минимальной – по выбору пользователя). Преобразование массива в пирамиду. Включение элемента в пирамиду и удаление элемента из пирамиды. Вывод пирамиды на экран.
Природа экологической пирамиды
Характеристика продуцентов, консументов и редуцентов как организмов, синтезирующих и потребляющих вещества в пищевой цепи. Исследование экологической пирамиды как графического изображения соотношения между продуцентами и консументами уровней в экосистеме.
Леонов Л.М.
Леонов Леонид Максимович (1899-1994), прозаик, драматург. Родился 19 мая (31 н.с.) в Москве в семье поэта крестьянского направления, известного в свое время. Его издательская деятельность не раз навлекала на него полицейские репрессии.