Московский Государственный Технический Университет
имени Н.Э. Баумана.
Курсовая работа
По предмету
“Дифференциальные уравнения.”
Тема: Математическая модель всплытия подводной лодки
Выполнила:
студентка группы
ФН 2-31, Иванова А.
Научный руководитель:
профессор В.И. Ванько.
Москва 2001 г.
Введение.
Под словами математическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описание физического процесса, происходящего при её всплытии с некоторой глубины.Естественно, математическая модель существенно отличается от реально происходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, при котором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.
В данном случае, вместо лодки, идущей на какой-то глубине, рассматривается материальная точка с переменной массой, первоначально движущаяся горизонтально. Мы будем пренебрегать гидродинамикой этого процесса рассматривая только три основных силы действующих на эту точку.
Рассматривая, таким образом, действия сил на объект, используя основные законы механики и соотношения между силами мы можем составить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить её частное или общее решение (в зависимости от вида системы).
Получив решение, мы можем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, как нахождение значений параметров при которых время всплытия лодки будет минимальным, и ряд других.
На идее моделирования, по существу, базируется любой метод исследования – как теоретический(при котором используются абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).
Построение математической модели процесса позволяет понять его суть и его физический смысл.
Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по горизонтали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.
По горизонтали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:
Где степень и коффициент пропорциональности это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность
Рис. 1 воды, её температура, и величины скорости.
Сила Архимеда, действущая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.
В этой формуле – это плотность жидкости, –объем тела, погруженного в жидкость, = 9.81 м / c2 – ускорение свободного падения.
Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2).
Проведем радиус вектор из начала координат:
Вектор скорости также можно разложить на составляющие по осям x и y:
Рис. 2
Тогда силу сопротивления мы можем записать так:
,
так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.
По второму закону Ньютона:
,
где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. - некоторая функция зависящая от времени.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.
В проекции на ось :
В проекции на ось :
В результате получим систему дифференциальных уравнений:
,
где масса - функция зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.
Пусть масса лодки изменяется по линейному закону , где - масса корпуса, - это скорость вытеснения воды из цистерн, которую будем считать постоянной, а - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент времени произведение будет равняться 0, и мы
Рис. 3 получим , то – есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.
Решим эту систему для частного случая.
Пусть = 1. В начальный момент времени лодка находится в начале координат, а вектор её скорости направлен по горизонтали и равен .
Тогда начальные условия будут такими:
.
В рассматриваемом частном случае, система уравнений принимает следующий вид:
.
Первое уравнение этой системы зависит только от ,второе только от ,поэтому их можно разделить. Решим сначала первое уравнение системы.
Так как в это уравнение не входит , можно сделать замену . Решая таким образом полученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получим:
.
.
Решим второе уравнение системы.
Делая аналогичную замену, получим линейное неоднородное уравнение, решая которое, получим:
В итоге получается траектория движения лодки заданная параметрически:
Траектория движения подводной лодки для заданных начальных условий и =1 изображена на рис. 4.
Решим исходную систему для произвольного значения параметра .
На накладывается ограничение: ,
так как только при выполнении этого условия, сила сопротивления оказывается прямо
Рис 4. пропорциональна скорости.
Систему
приведем к нормальной форме Коши, вводя новые переменные.
.
В результате получим систему состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:
.
Начальные условия для которой имеют вид:
.
Решения этой системы для нескольких значений параметра представлены на рис. 5.
Рис. 5 а.
Так как при близких значениях траектория почти не изменяется и графики сливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде.
Рис.5 б.
На рис.5 а,б изображены решения исходной системы для
Найдем значение для которого время всплытия будет наименьшим и уравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если то , и система принимает следующий вид:
,
где - функция, зависящая от времени.
График решения этой системы представлен на рис.6.
Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другим значением . А это значит, что, при данном значении параметра, она всплывет с определенной глубины за минимальное время.
Рис. 6 При отрицательном значении праметра траектория будет практически совпадать с траекторией , но, в этом случае, задача теряет физический смысл.
Заключение.
Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи. Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.
Но, уже по частным случаям решений, можно увидеть некоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-то выводы.
Сам процесс всплытия подводной лодки – достаточно сложный физический процесс. На всплытие лодки влияют не только несколько сил действующие на неё. Большое значение имеют гидродинамические параметры, которые в построении данной модели не учитывались. Для численных решений системы и построения графиков были взяты реальные размеры и начальная скорость подводной лодки, что позволило как можно больше приблизить рассмотренный процесс к реальному.
Список литературы.
Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения
М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000. - 347 с.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений
М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 467 с.
Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомная подводная эпопея
М.: “Боргес”, 1994. - 350 c.
Другие работы по теме:
Гребля
Самые древние на земле лодки — байдарки и каноэ. Люди, жившие по берегам рек, озер и морей, научились передвигаться по воде очень давно. Сначала плавали на бревнах, гребли руками. Прошли столетия, прежде чем появились настоящие лодки и весла.
Устройство Подводных лодок
Лунин Александр Сергеевич 7 класс «Б» 05.04.2000 Подводные лодки. По закону Архимеда на любое тело, погружённое в жидкость действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, которую это тело вытесняет.
Дизель-электрическая подводная лодка
Р Е Ф Е Р А Т по истории кораблестроения на тему:”Дизель-электрическая подводная лодка пр.641” студента ЯШЕНКОВА Виталия, гр.811 Санкт-Петербург
Первая в мире подводная лодка
Энтузиасты из Массачусетса под руководством скульпторов Рика и Лауры Браун восстановили по чертежам действующую копию «Черепахи» — первую в мировой истории подводную лодку, созданную в 18 веке изобретателем Дэвидом Бушнеллом.
Подводная лодка К.А. Шильдера
Работы Шильдера в ракетной и минной технике, мостостроении, бурового инструмента для подземной проходки, создании подводных мин и подводной лодки для обороны крепостей - таков далеко не полный перечень его изобретений и идей.
Подводная лодка В. Бауэра
В 1854 году баварский уроженец Вильгельм Бауэр (Bauer, Sebastian Wilhelm Valentin, р. 23 дек. 1822, Диллинген, Германия - ум. 20 июня 1875, Мюнхен, Германия) обратился к русскому правительству с предложением построить подводную лодку.
Подводная лодка "Акула"
Первоначальный проект подводной лодки "Акула" водоизмещением 400 тонн, первой "большой" подводной лодки, был представлен в Главный морской штаб в январе 1905 года.
Подводная лодка "Форель"
Построена в 1902-1903 гг. на верфи Ф.Круппа "Германия" в Киле по собственной инициативе в качестве "живой" рекламы для привлечения внимания германского правительства к подводным лодкам, как новому средству борьбы на море.
Подводная лодка "Аллигатор"
С началом первой мировой войны приняла активное участие в боевых операциях флота. В 1914 году совершила 4 кратковременных боевых выхода. 10 октября 1914 г. совместно с ПЛ "Акула" лодка была направлена в район Дагерорта.
Подводная лодка И.Ф. Александровского
1 мая 1862 года художник-фотограф И.Ф.Александровский представил на рассмотрение Морского министерства "проект устройства подводной лодки для действий против неприятельских кораблей".
Подводная лодка "Дельфин"
Первая и до осени 1904 года единственная русская подводная лодка "Дельфин" стала школьным классом, через который проходили офицеры и матросы, выразившие желание служить на подводных лодках.
Подводнаяч лодка "Сом" (б. "Fulton")
Подводная лодка "Fulton" спущена на воду 2 июня 1901 г. на верфи Льюиса Никсона (США). 28 апреля 1902 г. "Fulton" вышла из Нью-Йорка в Вашингтон в сопровождении парохода "Норфолк". В самом начале этого перехода на лодке произошел взрыв.
Подводные лодки типа "Карп"
24 мая 1904 г. с фирмой Ф. Круппа был подписан контракт на постройку 3-х подводных лодок типа "Е". Учитывая новизну конструкции в контракте не предусматривались санкции за невыполнение условий договора.
Подводная лодка "Минога"
Опыт использования подводных лодок в русско-японской войне показал, что подводные лодки небольшого водоизмещения могут быть использованы только в прибрежных районах.
Подводные лодки типа "Касатка"
Удачные испытания подводной лодки "Дельфин" доказали готовность отечественной промышленности к самостоятельной постройке подводных лодок. При осмотре "Дельфина" император Николай II пожелал "... успеха при дальнейших постройках".
Подводная лодка "Краб"
Подводная лодка "Краб", первый в мире подводный минный заградитель, спроектирован Михаилом Петровичем Налетовым, по образованию техником путей сообщения, талантливым изобретателем, энергичным и инициативным конструктором.
Подводные лодки О.Б. Герна
Двадцатью годами позже К.А. Шильдера, осуществляя мероприятия по обороне Ревеля, ввиду ожидавшегося нападения англо-французской эскадры, идею активной подводной мины-лодки начал разрабатывать военный инженер-фортификатор Оттомар Борисович Герн.
Подводная лодка "Святой Георгий"
Индекс Итальянской фирмой "FIAT" на судостроительной верфи Сан-Джорджио в г. Специи строились небольшие подводные лодки, конструктором которых был Чезаре Лауренти.
Подводные лодки типа "Морж"
После окончания испытаний подводной лодки "Акула" в 1911 году Морской главный штаб предполагал построить 25 подводных лодок водоизмещением 600-650 тонн. О предстоящем строительстве были извещены Балтийский и Невский заводы.
Подводная лодка "Почтовый"
В 1903 году инженер С.К. Джевецкий предложил построить подводную лодку с "единым" двигателем для надводного и подводного хода. В качестве единого двигателя предполагались два четырехтактных бензиновых двигателя фирмы "Панар и Левассор"
Полуподводные лодки
Еще И.Ф. Александровский, убедившись в малой мощности пневматического двигателя своей подводной лодки и малой подводной скорости, решил выступить с идеей полуподводной лодки - малозаметного надводного судна, большая часть которого находится под водой.
HMS Avenger 1940
HMS Avenger (D14, «Эвенджер») — британский эскортный авианосец периода Второй мировой войны. Головной в серии кораблей типа «Эвенджер». Заложен 28 ноября 1939 года на американской верфи Sun Shipbuilding & Drydock Company как торговое судно Rio-Hudson (тип C-3), однако в процессе постройки переоборудован в эскортный авианосец и обозначен BAVG-2.
Список кораблей и судов ВМС США
Введение 1 Авианосцы 2 Десантные корабли 3 Плавающие транспортные доки 4 Корабли береговой высадки 5 Судна для спец операций 6 Вспомогательные 6.1 Судня обеспечения
Глобус летчиков и исследователей
Глобус лётчиков и исследователей (AGS Fliers' and Explorers' Globe). Глобус подарен Американскому географическому обществу президентом Общества Джоном Финли (John H. Finley) в 1929 году. Будучи одновременно главным редактором газеты «Нью-Йорк Таймс» (New York Times), Финли предложил схематично обозначить на глобусе маршруты полётов и экспедиций, предпринятых великими лётчиками и исследователями в разное время, снабдив маршруты этих полётов и экспедиций автографами их участников.
Бразилия в Первой мировой войне
. Бразилия вступила в Первую мировую войну 26 октября 1917 года, на стороне Антанты. Первоначально Бразилия провозгласила нейтралитет (4 августа 1914 года). Но, после провозглашения Германией неограниченной подводной войны, в результате какой было потоплено несколько бразильских кораблей, Бразилия объявила войну Германии.
Подводная лодка Касатка
Подводная лодка "Касатка" Заложена на Балтийском заводе 18 марта 1904 года, спущена на воду 24 июня того же года. До 11 марта 1906 года все эти подводные лодки числились в классе миноносцев. Испытания подводной лодки "Касатка" в сентябре - октябре 1904 года были выполнены лишь частично, так как было принято решение об отправке подводных лодок во Владивосток, для чего были заказаны Путиловскому заводу специальные транспортеры.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Расчет в программах Mathcad и Matlab связи между глубиной залегания подводной лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали. При условии, что пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой.
Бегемоты
Древние греки, увидев в Африке, в устье Нила, толстых, неповоротливых животных, назвали их гиппопотамами или бегемотами — это значит «лошади в реке», «речные лошади».
Михаил Михайлович Тьедер
После проигранной войны в стране и в морской среде разгорелась дискуссия о роли и задачах флота, особенно о месте и значении в боевом строю подводных лодок и линкоров-дредноутов.
Джевецкий Степан Карлович
Степан Карлович Джевецкий, один из выдающихся изобретателей подводного кораблестроения XIX века, родился в 1843 году в богатой и знатной дворянской семье. Образование получил в Париже в Центральном инженерном училище.