Изучение прямолинейного движения тела на машине Атвуда

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 645-1

___________ /____________. / __________ / ____________ /

___________20__ г. __________ 20__ г.

20__

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

С
хема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузомпути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σсл(t) = t(, n)  S(t) ; (3.4)

где t(, n) - коэффициент Стьюдента

Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

ti - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t2) = 2 <t> σ(t) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 22 (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: сл(β):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 ()  (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты измерений

Таблица 4.1

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S1 = 36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt1= t1−< t>1 = 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt12 = (-0,179)2 = 0,032 с2;

Δt2= t2−< t>1 = 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt22 = (-0,045)2 = 0,002 с2;

Δt3= t3−< t>1 = 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt32 = (0,148)2 = 0,022 с2;

Δt4= t4−< t>1 = 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt42 = (0,030)2 = 0,001 с2;

Δt5= t5−< t>1 = 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt52 = (0,048)2 = 0,002 с2;

№ измерения	№ опыта	t, с	Δt, с	Δt2, с2	<t>, с	S(t), с	σ(t),с	σ(t2), с2
1	1	4,857	-0,179	0,032	5,036	0,055	0,118	1,189
	2	4,991	-0,045	0,002
	3	5,184	0,148	0,022
	4	5,066	0,030	0,001
	5	5,084	0,048	0,002
	t1 = 5,036 ± 0,118, с
2	6	4,534	-0,080	0,006	4,614	0,063	0,130	1,200
	7	4,793	0,179	0,032
	8	4,734	0,120	0,014
	9	4,485	-0,129	0,017
	10	4,520	-0,094	0,009
	t2 = 4,614 ± 0,130, с
3	11	4,396	0,108	0,012	4,288	0,063	0,130	1,120
	12	4,384	0,096	0,009
	13	4,089	-0,199	0,040
	14	4,208	-0,080	0,006
	15	4,364	0,076	0,006
	t3 = 4,288 ± 0,130, с
4	16	3,756	-0,112	0,013	3,868	0,071	0,148	1,145
	17	3,958	0,090	0,008
	18	3,661	-0,207	0,043
	19	3,985	0,117	0,014
	20	3,975	0,107	0,012
	t4 = 3,868 ± 0,148, с
5	21	3,348	0,070	0,005	3,278	0,032	0,071	0,466
	22	3,350	0,072	0,005
	23	3,185	-0,093	0,009
	24	3,246	-0,032	0,001
	25	3,260	-0,018	0,0003
	t5 = 3,278 ± 0,071, с

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σсл(t)1 = 2,1*0,055 = 0,116 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σсис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

Так как величина σсис(t) много меньше величины σсл(t)1 (σсис(t) = 0,0005 с << σсл(t)1 = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)1 ≈ σсис(t)1 .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t2)1 = 2Ч5,036Ч0,116 = 1,168 с2 ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ±  σ(t) :

t1= 5,036±0,116 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f1(t) ( рис. 4.1.) и S = f2(t2) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t2.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f3(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

граф = 5 / 8,3 = 1,19 см0,5/с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

aграф = 2Ч(1,19)2 = 2,83 см/с2 ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика =  t и случайную абсолютную погрешность параметра сл( ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S1 − S6 для расчета по МНК (число точек n =5):

S1 = 21,08 c; S4 = 90,75 c2 ;

S2 = 25,25 см1/2 ; S6 = 130 см ;

S3 = 108,6 cсм1/2 ; S5 = 5Ч90,75 − (21,08)2 = 9,4 c  см1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:

 = (5Ч108,6 − 21,08 Ч25,25) / 9,4 = 1,14 см1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 1,14 см1/2/c.

Значение вспомогательной величины S0 по формуле 3.13:

S0 = 130/ 3 – (25,252 + 1,14 2Ч9,4 ) / 15 = 0,01 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5Ч0,012 /9,4) 0,5 = 0,01 см1/2/c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2Ч1,142 = 2,6 см/с2.

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4Ч1,14Ч0,01 = 0,046 см/с2 .

Получаем:

a = (2,6 ±  0,046) см/с2 = (2,6 ±  0,046)Ч10-2 м/с2 .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at2/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (2,46 ±  0,23)  10-2 м/с2 .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения?
Сила тяжести и сила натяжения нити.

6.2.Запишите уравнения движения для  каждого из грузов.
Уравнения движения грузов имеют вид: 
(M+m)g –T1=(M+m)a1 
Mg –T2 =Ma2. 
А так как нить не растяжима, то а1=;-а2; если блок невесом, то Т1=Т2. 
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов.
6.3.Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений.
Погрешности измерений физических величин  (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента

6.4.Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени.
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность.
6.5.Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов.
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.