Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
ОТЧЕТ
Лабораторная работа по курсу "Общая физика"
ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МАШИНЕ АТВУДА
Преподаватель Студент группы 220201
___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич
___________2011 г. 2011 г.
2011
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА
С
хема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.
На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.
Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.
Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Средние значения времени < t > и квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузомпути S:
(3.1)
(3.2)
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:
(3.3)
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:
σсл(t) = t(, n) S(t) ; (3.4)
где t(, n) - коэффициент Стьюдента
стандартная абсолютная погрешность измерения времени:
(3.5)
где
ti - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n),
n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:
σ(t2) = 2 <t> σ(t) (3.6)
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:
(3.7)
Угловой коэффициент экспериментальной прямой:
=
(3.8)
Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:
a = 22 (3.9)
А
бсолютную случайную погрешность ускорения сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.
Рассчитываем параметры линеаризованного графика
(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.
Расчет производится по формулам: (3.10)
к
уда входят следующие величины:
(3.11)
где n – число экспериментальных точек.
Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: сл(β):
(3.12)
где вспомогательная величина:
(3.13)
Абсолютная случайная погрешность ускорения:
(a) = 4 () (3.14)
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Макет № 82
Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1
| S1 = 10, см | S2 = 20, см | S3 = 30, см | S4 = 35, см | S5 =42, см | ||||||
| Номер измерения |
|
|
|
|
| |||||
| t, c | t2, c2 | t, c | t2, c2 | t, c | t2, c2 | t, c | t2, c2 | t, c | t2, c2 | |
| 1 | 1,558 | 2,427 | 2,425 | 5,881 | 3,186 | 10,150 | 3,297 | 10,870 | 3,627 | 13,155 |
| 2 | 1,423 | 2,025 | 2,178 | 4,744 | 2,964 | 8,785 | 3,017 | 9,102 | 3,538 | 12,517 |
| 3 | 1,446 | 2,091 | 1,856 | 3,445 | 2,585 | 6,682 | 3,015 | 9,090 | 3,145 | 9,891 |
| 4 | 1,341 | 1,798 | 1,554 | 2,415 | 2,662 | 7,086 | 2,783 | 7,745 | 2,775 | 7,701 |
| 5 | 1,376 | 1,893 | 1,396 | 1,949 | 2,505 | 6,275 | 2,694 | 7,257 | 2,530 | 6,401 |
| < t >, c | 1,43 | 1,88 | 2,78 | 2,96 | 3,12 | |||||
| < t2 >, c2 | 2,05 | 3,69 | 7,79 | 8,81 | 11,33 | |||||
=3,16 см1/2
= 4,47 см1/2
= 5,48 см1/2
= 5,92 см1/2
=6,48 см1/2Средние значения времени < t > и квадрата времени < t2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).
Для первой точки измерения (S1 = 10 см):
Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:
Δt1= t1−< t>1 = 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt12 = ( 0,13)2 = 0,0169 с2;
Δt2= t2−< t>1 = 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt12 = (-0,007)2 = 0,000049 с2;
Δt3= t3−< t>1 = 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt12 = (0,016)2 = 0,000256 с2;
Δt4= t4−< t>1 = 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt12 = (-0,089)2 = 0,00792 с2;
Δt5= t5−< t>1 = 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt12 = (-0,0584)2 = 0,002916 с2;
0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916
S(t)1 = 5x(5-1) = 0,001 с;
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:
σсл(t)1 = 2,1Ч0,001 = 0,0021 c ;
Результаты расчетов погрешностей
прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.
Таблица 4.2
| № измерения | № опыта | t, с | Δt, с | Δt2, с2 | <t>, с | S(t), с | σ(t),с | σ(t2), с2 |
| 1 | 1 | 1,558 | 0,13 | 0,0169 | 1,43 | 0,001 | 0,0021 | 0,006 |
| 2 | 1,423 | -0,007 | 0,000049 | |||||
| 3 | 1,446 | 0,016 | 0,000256 | |||||
| 4 | 1,341 | -0,089 | 0,00792 | |||||
| 5 | 1,376 | -0,054 | 0,002916 | |||||
| t1 = 1,43 ± 0,0021, с | ||||||||
| 2 | 6 | 2,425 | 0,545 | 0,297025 | 1,88 | 0,036 | 0,076 | 0,286 |
| 7 | 2,178 | 0,298 | 0,088804 | |||||
| 8 | 1,856 | -0,024 | 0,000576 | |||||
| 9 | 1,554 | -0,326 | 0,106276 | |||||
| 10 | 1,396 | -0,484 | 0,234256 | |||||
| t2 = 1,88± 0,076 с | ||||||||
| 3 | 11 | 3,186 | 0,406 | 0,164836 | 2,78 | 0,012 | 0,0252 | 0,14 |
| 12 | 2,964 | 0,184 | 0,033856 | |||||
| 13 | 2,585 | -0,195 | 0,038025 | |||||
| 14 | 2,662 | -0,118 | 0,013924 | |||||
| 15 | 2,505 | -0,275 | 0,075625 | |||||
| t3 = 2,78 ± 0,0252, с | ||||||||
| 4 | 16 | 3,297 | 0,337 | 0,113569 | 2,96 | 0,011 | 0,0231 | 0,14 |
| 17 | 3,017 | 0,057 | 0,003249 | |||||
| 18 | 3,015 | 0,055 | 0,003025 | |||||
| 19 | 2,783 | -0,177 | 0,031329 | |||||
| 20 | 2,694 | -0,266 | 0,070756 | |||||
| t4 = 2,96± 0,0231, с | ||||||||
| 5 | 21 | 3,627 | 0,507 | 0,257049 | 3,12 | 0,045 | 0,0945 | 0,56 |
| 22 | 3,538 | 0,418 | 0,174724 | |||||
| 23 | 3,145 | 0,025 | 0,000625 | |||||
| 24 | 2,775 | -0,345 | 0,119025 | |||||
| 25 | 2,530 | -0,59 | 0,3481 | |||||
| t5 = 3,12 ± 0,0945, с | ||||||||
Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :
σсис(t) = 0,0005 с ;
А
бсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :
σ(t)1 = 0,0005І+0,0021І = 0,0021 с;
Так как величина σсис(t) много меньше величины σсл(t)1 (σсис(t) = 0,0005 с << σсл(t)1 = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)1 ≈ σсис(t)1 .
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :
σ(t2)1 = 2Ч1,43Ч0,0021 = 0,006 с2 ;
Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :
t1= 1,43±0,0021 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.
Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:
σ(S) = 0,05 см ;
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :
Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.
Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.
Таблица 4.3.
| n/n | S , см | σ(S), см |
| σ( | <t>, c | (<t>)2, c2 | (<t>) |
| 1 | 10 | 0,5 | 3,16 | 0,01 | 1,43 | 2,05 | 4,519 |
| 2 | 20 | 0,5 | 4,47 | 0,01 | 1,88 | 3,69 | 8,404 |
| 3 | 30 | 0,5 | 5,48 | 0,01 | 2,78 | 7,79 | 15,234 |
| 4 | 35 | 0,5 | 5,92 | 0,01 | 2,96 | 8,81 | 17,523 |
| 5 | 42 | 0,5 | 6,48 | 0,01 | 3,12 | 11,31 | 20,218 |
| | 137 | 25,51 | 12,17 | 33,65 | 65,90 | ||
| МНК | S6 | S2 | S1 | S4 | S3 |
, см0,5На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f1(t) ( рис. 4.1.) и S = f2(t2) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.
Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.
Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t2.
На рис.4.3. представлен линеаризованный график 
= f3(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.
Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.
На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.
Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:
граф = 4 / 2,3 = 1,73 см0,5/с ;
Величину ускорения определим по формуле 3.9:
aграф = 2Ч1,732 =5,98 см/с2 ;
По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр линеаризованного графика 
= t и случайную абсолютную погрешность параметра сл( ).
По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S1 − S6 для расчета по МНК (число точек n =5):
S1 = 12,17 c; S4 = 33,65 c2 ;
S2 = 25,51см1/2 ; S6 = 137 см ;
S3 = 65,90 cсм1/2 ; S5 = 5Ч33,65 − 12,17 2 = 20,14 c см1/2 .
По формуле 3.10 определим параметр линеаризованного графика:
= (5Ч65,90 − 12,17 Ч25,51) / 20,14 = 0,94 см1/2/c.
Угловой коэффициент прямой = 0,94 см1/2/c.
Значение вспомогательной величины S0 по формуле 3.13:
S0 = 137/ 3 – (25,512 + 0,94 2Ч20,14 ) / 15 = 1,03 см.
По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:
() = (5Ч1,032 /20,14) 0,5 = 0,513 см1/2/c .
Величина ускорения по формуле 3.9 :
a = 2Ч0,942 = 1,76 см/с2.
Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :
(a) = 4Ч0,94Ч0,513 = 1,93 см/с2 .
Получаем:
a = (1,76 ± 1,93) см/с2 = (1,76 ± 1,93)Ч10-2 м/с2 .
5. ВЫВОДЫ
В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.
Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:
при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at2/2 ,
где S – путь пройденный телом за время движения t,
a – ускорение движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:
a = (1,76 ± 1,93) 10-2 м/с2 .
6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?
Н
а груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести Fтяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T2.
Сила тяжести Fтяж2 = (M + m)g, где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.
2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.
Уравнение движения грузов имеют вид:
(M + m)g– T1= (M + m)a1 - груз с перегрузом (справа)
Mg – T2 = Ma2 -груз (слева)
В силу не растяжимости нити a2= - a1; при невесомом блоке T1 = T2 имеем следующие уравнения движения:
(M + m)g – T = (M + m)a
Mg – T = - Ma
3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.
- физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;
- точность вычислений.
4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?
Систематическая погрешность измерения времени σсис(t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σсис(t).
5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.
Идеализация движения грузов на машине Атвуда:
- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.