Реферат
На тему «Вынужденные колебания»
Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
.
(1.1)
Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обусловлен тем, что сила F
и скорость v
направлены в противоположные стороны.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид
.
(1.2)
Применим следующие обозначения
,
(1.3)
Тогда
(1.4)
Где ω0
— собственная частота колебательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
(1.5)
Найдём первую и вторую производные
Подставим выражения в уравнение (1.5)
Сократим на
(1.6)
Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэффициента, стоящего при и.
Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b<ω0
— трение мало). Введя обозначение ,придем к уравнению
Решением этого уравнения будет функция
Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем
(1.7)
Здесь A0
и α — постоянные, значения которых зависят от начальных условий, ω — величина, определяемая формулой
.
Скорость затухания колебаний определяется величиной ,
которую называют коэффициентом затухания
.
Для характеристики колебательной системы употребляется также величина
называемая добротностью
колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний Ne
, совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e
раз.
Вынужденные колебания.
Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:
(2.1)
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:
(2.2)
Здесь b — коэффициент затухания, ω0
— собственная частота колебательной системы, ω — частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид
(2.3)
Где .
Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4)
где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.
(2.5)
(2.6)
Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :
Сгруппируем члены уравнения:
(2.7)
Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωtв обеих частях уравнения будут одинаковыми.
(2.8)
(2.9)
Найдём значения A
и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравнению (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом
(2.10)
Из (2.9) следует, что
(2.11)
Подставим значения A
и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):
(2.12)
Общее решение имеет вид
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранив в решении только второе.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при данной частоте. Это явление называется резонансом
, а соответствующая частота — резонансной частотой
.
Для того чтобы определить резонансную частоту ωрез
, нужно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:
Решения этого уравнения ω=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя, а не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).
(2.13). Следовательно (2.14)
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что b2
> ω0
) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<ω0
) амплитуда при резонансе
Если разделить это выражение на смещение x
0
из положения равновесия под действием постоянной силы F0
, равное .
В результате получим, что
где - логарифмический декремент затухания.
Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Лит-ра:
И. В Савельев “Курс общей физики”.
P.S.
Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».
Другие работы по теме:
Меджународная миграция
Международная миграция рабочей силы - перемещение трудоспособного населения из одной страны в другую в поисках работы. Как процесс представляет собой единство эмиграции, иммиграции. реэмиграции.
Изучение физического маятника
Изучение законов колебательного движения на примере физического маятника. Определение механических, электромагнитных и электромеханических колебательных процессов. Уравнение классического гармонического осциллятора и длины математического маятника.
Явление резонанса
Демонстрация затухающих и вынужденных механических колебаний. При изучении механического резонанса в курсе общей физики используются демонстрационные опыты, суть которых состоит, как правило, в наблюдении вынужденных колебаний пружинного маят-ника. Однако, получить устойчивые колебания такого маятника в ин-тересующем интервале частот довольно трудно.
Колебания
называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени. Колебания бывают: Вынужденные Гармони ёеские
Электромагнитные волны
Реферат по физике на тему: Электромагнитные Волны. Выполнил Николай Кинжибаев. 2000г. План: Джеймс Клерк Максвелл. а) Понятие волны. б) Гипотеза Максвелла. Процесс образования электромагнитной волны.
Примерные экзаменационные билеты по физике (11 класс)
Примерные экзаменационные билеты по физике Билет №1 Механическое движение. Относительность движения. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение.
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с течением времени. В случае электромагнитных колебаний такой внешней силой является периодически изменяющаяся э.д.с. источника тока.
Все формулы школьной физики
Механика кинематика движение по окружности закон всемирного тяготения закон Гука сила трения сила и импульс закон сохранения импульса закон сохранения энергии
Переменный ток
Переменный ток Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью С, индуктивностью L и активным сопротивлением R, переменного тока. Под действием внешнего напряжения
Примерные экзаменационные билеты по физике 11 класс
Примерные экзаменационные билеты по физике Билет №1 Механическое движение. Относительность движения. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение.
Показатели динамического качества станка
Основные условия механической обработки материалов, показатели динамического качества металлорежущих станков и резцов при изготовлении деталей. Физические величины рабочих процессов, оказывающих силовое внешнее воздействие на упругую систему верстата.
Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.
Мини-сочинение Обломов и его окружение
Мини-сочинение "Обломов и его окружение" Автор: Гончаров И.А. Обломов – это отсталость, мешающая историческому прогрессу. Обломов – чистосердечен, мягок, у него не потеряна совесть; субъективно он не способен сотворить зло. Сюжетная линия рисует духовное запустение героя, в нем есть барство и рабство – он раб своего дивана, лени.
Определение спектра амплитудно-модулированного колебания
Аналитическая запись колебания UW(t). Определение коэффициентов аn. Определение коэффициентов bn. Определение постоянной составляющей А0. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn. Аналитическая запись АМ колебания. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ.
Цеховик
— подпольный предприниматель в СССР в период до конца 1980-х годов. Феномен подпольности заключался в том, что официально было невозможно ни организовать предприятие, ни продавать произведённую продукцию. Поэтому цеховики нашли выход — официальной государственной структурой производилась подпольная продукция и неофициальной теневой структурой эта продукция продавалась.
Циклы Жюгляра
Циклы Жюгляра — среднесрочные экономические циклы с характерным периодом в 7-11 лет. Названы по имени французского экономиста Клемана Жюгляра, одним из первых описавшего эти циклы[1]. В отличие от циклов Китчина в рамках циклов Жюгляра мы наблюдаем колебания не просто в уровне загрузки существующих производственных мощностей (и, соответственно, в объеме товарных запасов), но и колебания в объемах инвестиций в основной капитал.
Возникновение украинского казачества. Хозяйственная деятельность казаков
Возникновение украинского казачества. Хозяйственная деятельность казаков Украинское казачество — значительное явление в европейской истории. Слово “казак” — тюркского происхождения. В переводе оно означает “свободный человек”. Главное историческое условие возникновения украинского казачества как общественного сословия и вооружённой силы — подневольное положение Украины, находившейся под властью соседних государств, отсутствие собственной этнической государственности, социальное угнетение, а также национальные и религиозные притеснения, которые претерпевал украинский народ от чужеземных властителей.
Остготы
Остготы (остроготы, грейтунги), восточная ветвь готов, германских племен, населявших в 3 в. северное Причерноморье. В 375 их племенной союз был разгромлен гуннами, пришедшими из Средней Азии.
Колебания с несколькими степенями свободы. Краткие сведения из теории
Глава 9. Колебания с несколькими степенями свободы. Краткие сведения из теории. Системами с п степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать п параметров, например положение (прогибы) п точек.
Жак Лёб
Основные работы Лёба посвящены изучению физиологии головного мозга и поведения животных. Сравнивая реакцию растений и животных на различные стимулы, он перенес понятие тропизма из ботаники в зоологию.