Введение
1Законы распределения случайных величин
Обработка информации о надежности буровых машин
Анализ статистического материала
В таблице 1 представлено распределение наработок до отказа бура.
Таблица 1 Частота наработки турбобура до отказа
| ti | Частота ni | ti | Частота ni | ti | Частота ni | ti | Частота ni | ti | Частота ni | ti | Частота ni |
| 1 | 1 | 24 | 1 | 47 | 1 | 70 | 2 | 93 | 2 | 116 | 0 |
| 2 | 3 | 25 | 6 | 48 | 1 | 71 | 1 | 94 | 2 | 117 | 0 |
| 3 | 1 | 26 | 2 | 49 | 2 | 72 | 1 | 95 | 1 | 118 | 0 |
| 4 | 1 | 27 | 1 | 50 | 5 | 73 | 4 | 96 | 0 | 119 | 0 |
| 5 | 0 | 28 | 3 | 51 | 0 | 74 | 2 | 97 | 3 | 120 | 0 |
| 6 | 2 | 29 | 1 | 52 | 2 | 75 | 1 | 98 | 2 | 121 | 0 |
| 7 | 2 | 30 | 1 | 53 | 1 | 76 | 3 | 99 | 1 | 122 | 0 |
| 8 | 0 | 31 | 2 | 54 | 3 | 77 | 1 | 100 | 0 | 123 | 0 |
| 9 | 2 | 32 | 0 | 55 | 0 | 78 | 1 | 101 | 0 | 124 | 0 |
| 10 | 1 | 33 | 1 | 56 | 1 | 79 | 1 | 102 | 1 | 125 | 0 |
| 11 | 3 | 34 | 4 | 57 | 5 | 80 | 2 | 103 | 1 | 126 | 0 |
| 12 | 1 | 35 | 1 | 58 | 4 | 81 | 0 | 104 | 1 | 127 | 0 |
| 13 | 2 | 36 | 3 | 59 | 3 | 82 | 3 | 105 | 0 | 128 | 0 |
| 14 | 3 | 37 | 1 | 60 | 1 | 83 | 2 | 106 | 0 | 129 | 0 |
| 15 | 2 | 38 | 0 | 61 | 0 | 84 | 2 | 107 | 0 | 130 | 0 |
| 16 | 0 | 39 | 4 | 62 | 2 | 85 | 1 | 108 | 0 | 131 | 0 |
| 17 | 2 | 40 | 1 | 63 | 4 | 86 | 0 | 109 | 1 | 132 | 0 |
| 18 | 2 | 41 | 1 | 64 | 2 | 87 | 1 | 110 | 1 | 133 | 1 |
| 19 | 3 | 42 | 2 | 65 | 2 | 88 | 3 | 111 | 0 | 134 | 0 |
| 20 | 1 | 43 | 0 | 66 | 2 | 89 | 1 | 112 | 0 | 135 | 0 |
| 21 | 2 | 44 | 10 | 67 | 2 | 90 | 1 | 113 | 0 | 136 | 1 |
| 22 | 1 | 45 | 1 | 68 | 0 | 91 | 2 | 114 | 0 | ||
| 23 | 0 | 46 | 1 | 69 | 1 | 92 | 3 | 115 | 1 |
ti –наработка турбобура до отказа
ni-частота
∑ni=183
Построение вариационного ряда
Строим путем ранжирования
Вариационный ряд: 1,2,2,2,3,4,6,6,7,7,9,9,10,11,11,11,12,13,13,14,14,14, 15,15,17,17,18,18,19,19,19,20,21,21,22,24,25,25,25,25,25,25,26,26,27,28,28,28,29, 30,31,31,33,34,34,34,34,35,36,36,36,37,39,39,39,39,40,41,42,42,44,44,44,44,44,44,44,44,44,44,45,46,36,47,48,49,49,50,50,50,50,50,52,52,53,54,54,54,56,57,57,57,57,57,58,58,58,58,59,59,59,49,60,62,62,63,63,63,63,64,64,65,65,66,66,67,67,69,70,70,71,72,73,73,73,73,74,74,75,76,76,76,77,78,79,80,80,82,82,82,83,83,84,84,85,87,88,88,88,89,90,91,91,92,92,92,93,93,94,94,95,97,97,97,98,98,99,102,103,104,109,110,115,133,136.
Построение статистического ряда
Для облегчения расчетов при числе информации n > 25 статистический материал обычно представляется в виде статистического ряда.
Число интервалов ряда принимается равным
Рекомендуется принимать от 6 до 20 интервалов. Интервалы ряда принимает равными, но допускается объединять интервалы и принимать их равной величины, если количество наблюдений в интервале меньше пяти. Примем k=14
Величину одного интервала определяем по выражению:
где 
- наибольшее значение случайной величины;
- наименьшее значение случайной величины;
- ширина интервала.
Принимаем 
При составлении статистического ряда для каждого интервала подсчитывают:
ni - количество значений случайной величины в в i – ом интервале (частость)
- частость в i – ом интервале
- накопленная частость ;
- эмпирическая плотность вероятности , где - ширина интервала.
По данным таблицы (1) был построен статистический интервальный ряд – таблица 2.
Таблица 2 Статистический интервальный ряд
| № | Интервал, ч | ∆t | Середина | n*i | p*i |
| 1 | 0-10 | 10 | 5 | 16 | 0,0804 |
| 2 | 10-20 | 10 | 15 | 26 | 0,1307 |
| 3 | 20-30 | 10 | 25 | 24 | 0,1206 |
| 4 | 30-40 | 10 | 35 | 23 | 0,1156 |
| 5 | 40-50 | 10 | 45 | 23 | 0,1156 |
| 6 | 50-60 | 10 | 55 | 29 | 0,1457 |
| 7 | 60-70 | 10 | 65 | 12 | 0,0603 |
| 8 | 70-80 | 10 | 75 | 22 | 0,1106 |
| 9 | 80-90 | 10 | 85 | 5 | 0,0251 |
| 10 | 90-100 | 10 | 95 | 10 | 0,0503 |
| 11 | 100-110 | 10 | 105 | 4 | 0,0201 |
| 12 | 110-120 | 10 | 115 | 2 | 0,0101 |
| 13 | 120-130 | 10 | 125 | 2 | 0,0101 |
| 14 | 130-140 | 10 | 135 | 1 | 0,0050 |
Так как частота в интервалах 11-14 меньше пяти, то объединяем их в один интервал:
n11=8 [100-140]
Итоговый интервальный ряд представлен в таблице 3.
Таблица 3 Итоговый статистический интервальный ряд
| № | Интервал, ч | ∆t | Середина | n*i | p*i |
| 1 | 0-10 | 10 | 5 | 16 | 0,0804 |
| 2 | 10-20 | 10 | 15 | 26 | 0,1307 |
| 3 | 20-30 | 10 | 25 | 24 | 0,1206 |
| 4 | 30-40 | 10 | 35 | 23 | 0,1156 |
| 5 | 40-50 | 10 | 45 | 23 | 0,1156 |
| 6 | 50-60 | 10 | 55 | 29 | 0,1457 |
| 7 | 60-70 | 10 | 65 | 12 | 0,0603 |
| 8 | 70-80 | 10 | 75 | 22 | 0,1106 |
| 9 | 80-90 | 10 | 85 | 5 | 0,0251 |
| 10 | 90-100 | 10 | 95 | 10 | 0,0503 |
| 11 | 100-140 | 40 | 120 | 9 | 0,0452 |
1.1Расчет параметров статистического распределения
Функция распределения случайной величины может быть достачно строго определена о помощью статистических характеристик, называемых параметрами распределения.
Распределение случайных величин, изучаемых в теории надёжности характеризуют с помощью математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициентов вариации.
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих величин [ 2 ]
На практике для оценки математического ожидания используют среднее, арифметическое значение случайной величины.
Если п<25; , то среднее значение определяет по формуле
где п - количество; информации;
ti - значение i - гo показателя надежности.
Для статистического ряда
где k - количество интервалов в статистическом раду;
- значение середины i -го интервала;
- опытная вероятность i -го интервала.
Важным параметром распределения является дисперсия. Дисперсия характеризует разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, потому часто, пользуются среднеквадратическим отклонением случайной
где 
- среднее квадратическое отклонение;
- дисперсия случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение определяют по уравнению (при n<25)
Если используется статистический ряд , то среднее квадратическое отклонение равно
Используя данные таблицы 2 определим математическое ожидание и дисперсию для этого построим таблицу 4.
Таблица 4 Вспомогательные данные для расчета статистических показателей
| интервал |
|
|
|
|
| 1 | 0,340314 | -40,1571 | 1612,59 | 109,75744 |
| 2 | 2,041885 | -30,1571 | 909,4488 | 123,79931 |
| 3 | 4,581152 | -20,1571 | 406,3074 | 74,454234 |
| 4 | 4,947644 | -10,1571 | 103,166 | 14,58368 |
| 5 | 6,125654 | -0,15707 | 0,02467 | 0,0033583 |
| 6 | 4,319372 | 9,842932 | 96,88331 | 7,6086368 |
| 7 | 3,403141 | 19,84293 | 393,7419 | 20,614762 |
| 8 | 3,926702 | 29,84293 | 890,6006 | 46,628303 |
| 9 | 4,005236 | 39,84293 | 1587,459 | 74,801744 |
| 10 | 3,481675 | 49,84293 | 2484,318 | 91,048299 |
| 11 | 2,748691 | 59,84293 | 3581,177 | 93,748076 |
| Сумма | 45,15707 | - | - | 924,0591 |
Определим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
Статистическая информация может содержать резко выделяющиеся значения, которые оказывают существенное влияние на оценку показателей надёжности, поэтому все резко выделяющиеся значения случайной величины должны быть проанализированы и исключены из рассмотрения, если они является следствием грубых ошибок при наблюдении. Однако известны случаи, когда необоснованно отбрасываются результаты наблюдений, которые якобы нарушает вид исследуемого процесса, что может привести к неверным выводам, особенно при малой выборке. В связи с этим при исключении из рассмотрения отдельных результатов нужно тщательно проанализировать условия проведения наблюдений, физическую картину процесса. Большой разброс значений может быть и следствием резко меняющихся условий эксплуатации, некачественной технологией изготовления изделия. Приближенно оценку информации на выпадающие точки проверят по правилу 
. Если значения случайной величины не выходят за пределы , все точки информации считает действительными.
Произведем оценку информации на выпадении
Все точки действительны, поскольку все значения работы на отказ турбобура меньше 150,05
Расчет по критерию Романовского. Рассматриваем 
и 
без учета сомнительных членов ряда распределения 
. Если 
,то с выбранной вероятностью 
данные члены можно исключить из рассмотрения. Сомнительные члены: 133, 136.
Рассчитаем параметры статистического распределения без сомнительных членов.
Примем k=13,тогда 
. Принимаем ∆t=9. В таблицах 5, 6 представлены статистические интервальные ряды без сомнительных членов, исходный и преобразованный.
Таблица 5 – статистический интервальный ряд без сомнительных членов совокупности
| № | Интервал, ч | ∆t | Середина | n*i | p*i |
| 1 | 0-9 | 9 | 4,5 | 12 | 0,0663 |
| 2 | 9-18 | 9 | 13,5 | 16 | 0,0884 |
| 3 | 18-27 | 9 | 22,5 | 17 | 0,0939 |
| 4 | 27-36 | 9 | 31,5 | 16 | 0,0884 |
| 5 | 36-45 | 9 | 40,5 | 20 | 0,1105 |
| 6 | 45-54 | 9 | 49,5 | 16 | 0,0884 |
| 7 | 54-63 | 9 | 58,5 | 20 | 0,1105 |
| 8 | 63-72 | 9 | 67,5 | 13 | 0,0718 |
| 9 | 72-81 | 9 | 76,5 | 15 | 0,0829 |
| 10 | 81-90 | 9 | 85,5 | 14 | 0,0773 |
| 11 | 90-99 | 9 | 94,5 | 16 | 0,0884 |
| 12 | 99-108 | 9 | 103,5 | 3 | 0,0166 |
| 13 | 108-117 | 9 | 112,5 | 3 | 0,0166 |
| 14 | 117-126 | 6 | 121,5 | 12 | 0,0663 |
Таблица 6 – Преобразованный статистический интервальный ряд без сомнительных членов совокупности
| № | Интервал, ч | ∆t | Середина | n*i | p*i |
| 1 | 0-9 | 9 | 4,5 | 11 | 0,0582 |
| 2 | 9-18 | 9 | 13,5 | 25 | 0,1323 |
| 3 | 18-27 | 9 | 22,5 | 25 | 0,1323 |
| 4 | 27-36 | 9 | 31,5 | 28 | 0,1481 |
| 5 | 36-45 | 9 | 40,5 | 31 | 0,1640 |
| 6 | 45-54 | 9 | 49,5 | 9 | 0,0476 |
| 7 | 54-63 | 9 | 58,5 | 15 | 0,0794 |
| 8 | 63-72 | 9 | 67,5 | 9 | 0,0476 |
| 9 | 72-81 | 9 | 76,5 | 9 | 0,0476 |
| 10 | 81-90 | 9 | 85,5 | 9 | 0,0476 |
| 11 | 90-99 | 9 | 94,5 | 6 | 0,0317 |
| 12 | 99-108 | 9 | 103,5 | 6 | 0,0317 |
| 13 | 108-126 | 9 | 117 | 6 | 0,0317 |
Среднее значение:
Среднеквадратическое отклонение:
Проверяем t=133:
Проверяем t=136:
Следовательно, член 133 и 136 по критерию Романовского можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
Критерий Ирвина.
Рассчитаем критерий Ирвина для сомнительных членов совокупности:
Следовательно, анализируемые величины оставляем при дальнейшем рассмотрении.
Критерий Груббса:
Для наименьшей точки информации:
Для наибольшей точки информации:
Так как для обеих точек при n=191 заведомо 
(таблица 5 приложения), то оставляем крайние точки в рассматриваемой совокупности.
Сомнительные члены удовлетворяют 3 из 4 критериев. Кроме того, известно, что турбобур работает в резко меняющихся условиях эксплуатации и исключение крайних точек искажает картину отказов двигателя, поэтому сомнительные члены включаем в общую совокупность.
Таким образом, для дальнейших расчетов используем статистический интервальный ряд, представленный в таблице 3.
1.3Выбор теоретического закона распределенияВероятность безотказной работы в первом приближении дают представление о распределении показателя надежности.Однако в статистическом материале из – за ограниченного числа наблюдений всегда присутствуют элементы случайности. При обработке статистического материала важной задачей является подбор теоретического закона распределения наилучшим образом описывающим статистическое распределение [ 2 ] , выражающим его существенные черты без элемента случайности.
Теоретический закон подбирают , принимая во внимание :
физическую природу явления отказов;
опыт отработки деталей и изделий аналогичного назначения;
форму кривой плотности распределения;
совпадение опытных точек с теоретической кривой интегральной функции или функции безотказности;
коэффициент вариации.
Значение коэффициента вариации, характеризующего расслаивание показателя надежности:
уже позволяет судить об условиях эксплуатации машин и их технологии изготовления [8, 10] . Разработаны таблицы [10] , позволяющие ориентировочно судить о виде закона распределения в зависимости от величины коэффициента вариации ( тал. 7 и 8 приложения).
Авторы [ 8 ] рекомендуют для машин в первом приближении принимать нормальный закон приближения , если 
, и распределение Вейбулла, если 
. Когда коэффициент вариации изменяется в пределах 0,30 – 0,50 , то выбирают тот закон , который дает лучшее совпадение по критериям согласия.
Выберем теоретический закон распределения, определим доверительные границы среднего значения показателя надежности.
Анализ причин отказов турбобуров показывает, что они связаны как с приработочными , усталостными , так и с износовыми отказами. Режим работы турбобура меняется в широких пределах , на что указывает и значение коэффициента вариации, поэтому можно сделать предположение, что наработка турбобура до отказа описывается распределением Вейбулла.
По табл.2 приложения определяем параметры распределения Вейбулла . Для коэффициента вариации
Параметр а подсчитываем по выражению (13)
Теоретическая функция плотности распределения f(t) и вероятность безотказной работы p(t) будут иметь вид
В таблице 7 приведены теоретические параметры статистического ряда, рассчитанные по вышеприведенным формулам.
Таблица 7 – Теоретические параметры распределения
| t | f(t) | F(t) | P(t) |
|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 0,0093 | 0,0315 | 0,9685 | 0,0096 |
| 15 | 0,0141 | 0,1533 | 0,8467 | 0,0166 |
| 25 | 0,0150 | 0,3009 | 0,6991 | 0,0215 |
| 35 | 0,0140 | 0,4473 | 0,5527 | 0,0254 |
| 45 | 0,0121 | 0,5787 | 0,4213 | 0,0288 |
| 55 | 0,0099 | 0,6890 | 0,3110 | 0,0319 |
| 65 | 0,0077 | 0,7770 | 0,2230 | 0,0346 |
| 75 | 0,0058 | 0,8443 | 0,1557 | 0,0372 |
| 85 | 0,0042 | 0,8940 | 0,1060 | 0,0396 |
| 95 | 0,0030 | 0,9295 | 0,0705 | 0,0419 |
| 105 | 0,0020 | 0,9541 | 0,0459 | 0,0440 |
| 125 | 0,0009 | 0,9817 | 0,0183 | 0,0480 |
1.1Построение графиков теоретических и статистических функций
Статистический ряд позволяет построить интегральную функцию распределений и обратную интегральную функцию распределения функцию распределения и обратную интегральную функцию распределения функции “ отказности “ и “ безотказности “.
По данным статистического ряда и теоретического распределения строим графики статистических и теоретических функций показателя надежности. Дифференциальная функция f(t) наиболее наглядно отражает специфические черты закона распределения.
Рисунок 1 - Функция плотности распределения вероятности f(t),наработки турбобура
Рисунок 2 - Интегральная функция распределения вероятности F(t), наработки турбобура
Рисунок 3 – Вероятность безотказной работы
Рисунок 4 - Функция интенсивности распределения вероятностей показателей надежности
1.2Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределенияКритерии согласия применяются для оценки близости статистического и теоретического распределений.
Критерий согласия Пирсона или “критерий 
“ определяют по следующей формуле [ 2 ] .
где k - число интервалов статистического ряда ;
ni - частота в i - ом интервале ;
n - общее число значений случайной величины ;
pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины
в i - й интервал .
Вероятность попадания в i - й интервал равна приращению функции вероятности в этом интервале:
pi=pin-pik
где pin и pik - функция вероятности в конце и начале i- го интервала.
Рассчитав значение , по табл.9 приложения в зависимости от числа степеней свободы определяют вероятность совпадения эмпирического и теоретического распределения. Если найденная вероятность p>0,05, то считают, что статистические данные не противоречат принятому теоретическому распределению. При вероятности совпадения меньше, чем 0,05 считается, что следует подыскать более подходящий закон распределения.
Число степеней свободы равно
r=k-s
где k - число интервалов;
s - число обязательных связей .
Для нормального закона распределения Вейбулла s = 3 , поэтому число интервалов статистического ряда при применении критерия К.Пирсона применяют при числе наблюдений 
. В каждом интервале рекомендуется иметь не менее 5-10 значений случайной величины.
Число степеней свободы равно r=k-s=11-3=8 при r=8 
и (табл.9 приложения) вероятность совпадения теоретического и статистического распределения P=0,1, что не отвергает принятую нами гипотезу о распределении наработки турбобура до отказа по закону Вейбулла.
Доверительные границы указывают, в каких пределах с заданной доверительной вероятностью может изменяться одиночный показатель надежности. Различают двустороннюю и одностороннюю доверительную вероятность.
По ГОСТ 17510 -72 [ 12] рекомендуется применять следующие значения доверительных вероятностей : 0,80 ; 0,90 ; 0,95 ; 0,99 .
Рассеивание показателей надежности определяют при постановке машин в ремонт, оценка остаточного ресурса и т.д.
Доверительные границы рассеивания среднего значения при распределении Вейбулла равны
и 
где 
и 
коэффициенты, определяемые по табл. 12 и 13 приложения в зависимости от объема информации и доверительной вероятности.
Значения коэффициентов и взяты из табл. 12 и 13 приложения при n=193 и 
Относительно небольшой доверительный интервал показателя надежности 
объясняется большим объемом информации (n=193).
Заключение
