МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний
університет “Львівська політехніка”
Інститут
Комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра
автоматизованих систем управління
Лабораторна
робота № 5-6
з дисципліни
“Математичні методи представлення
знань”
на тему:
«Обчислення означених інтегралів»
Виконав:
студент групи КН-29
Коцуба О.
Прийняв:
Биненко Б. І.
Львів
– 2011
Обчислення означених
інтегралів
Мета роботи: вивчити
методи наближених обчислень і запрограмувати алгоритми обчислення означених
інтегралів .
Порядок роботи:
1. Попереднє опрацювання
теоретичного матеріалу.
2. Отримання допуску до
виконання лабораторної роботи.
3. Опрацювання типового
навчального завдання (прикладів).
4. Створення проекту для
виконання індивідуального завдання.
5. Оформити звіт для захисту
лабораторної роботи за зразком:
·
назва
роботи;
·
мета
роботи;
·
порядок
роботи;
·
короткі
теоретичні відомості;
·
алгоритм
розв’язування задачі;
·
тексти відповідних
модулів проекту;
·
аналіз
отриманих результатів та висновки.
6. Захист
лабораторної роботи.
Короткі
теоретичні відомості
1.
Формули прямокутників.
Нехай
на відрізку
задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл
Розіб’ємо
відрізок на
n рівних частин точками , i=0,1,…n-1, довжина кожної з
яких дорівнює . Через позначимо значення функції в точках і складемо
суми
або
Кожна
з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено
виражають означений інтеграл:
(1)
(1/)
Ці
формули називаються формулами прямокутників. Із рис. 1 видно, що якщо додатна і
зростаюча функція, то формула (1) відображає площу ступінчатої фігури, що
складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (1/) – площу фігури, що
складена із “зовнішніх” прямокутників.
Похибка
методу прямокутників дається формулою (2):
(2)
формула прямокутник лагранж функція
Похибка
при цьому буде тим меншою, чим більше число n (тобто чим менший крок поділу). Зауважимо,
що формули прямокутників дають точні результати для багаточленів першого
степеня.
2.
Формула трапецій.
Очевидно,
що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву замінити не
ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ламаною
(рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями і заміниться площами
трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа
Рис.1
Рис.2
першої
трапеції дорівнює другої – і т.д.,
то
або
(3)
Формула (3)
називається формулою трапецій. Число n вибирається довільним, але чим більшим
це число буде, а значить, крок меншим, тим з більшою точністю
сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтегралу.
3.
Формула парабол (Сімпсона).
Метод
Сімпсона найпоширеніший і простіше застосовний для програмування. Його суть
полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.
Отже,
розглянемо спочатку інтеграл , де – парабола; ,, – деякі параметри (або
числа).
Тоді
Нехай тепер маємо
інтеграл ,
де - неперервна
на інтервалі
функція. Якщо інтервал розбити на п рівних частинок , i=0,1,…n-1,, то заданий інтеграл
І можна записати так:
Якщо
на кожному з інтегралів для проміжків функцію замінимо параболами , що проходять
через точки ,то одержимо
Через
те, що, формула матиме вигляд:
або
(4)
Формула
(4) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень за формулою
Сімпсона є такою:
(5)
Проте,
цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо є хоча б чотири рази диференційовною.
Але, якщо навіть
чотири рази диференційовна, то часто оцінка четвертої похідної може виявитись досить складною.
Тому на практиці переважно користуються таким методом: обчислюють інтеграл,
розділяючи інтервал, заданий границями інтегрування, один раз на n рівних
частин, а другий раз на т частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало
відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна
оцінити і точність обчислень.
Приклад.
Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл
Р о з
в ’ я з у в а н н я. За формулою (4) маємо:
при при
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
0,0000 |
|
-0,5 |
0,00000 |
|
0,05 |
0,0371 |
|
-0,4 |
-0,1203 |
|
-0,45 |
-0,0946 |
|
0,10 |
0,0772 |
|
-0,3 |
-0,1303 |
|
-0,40 |
-0,1203 |
|
0,15 |
0,1200 |
|
-0,2 |
-0,1081 |
|
-0,35 |
-0,1304 |
|
0,20 |
0,1652 |
|
-0,1 |
-0,630 |
|
-0,30 |
-0,1303 |
|
0,25 |
0,2122 |
|
0 |
0,0000 |
|
-0,25 |
-0,1204 |
|
0,30 |
0,2607 |
|
0,1 |
0,0772 |
|
-0,20 |
-0,1081 |
|
0,35 |
0,3103 |
|
0,2 |
0,1652 |
|
-0,15 |
-0,0881 |
|
0,40 |
0,3610 |
|
0,3 |
0,2607 |
|
-0,10 |
-0,0630 |
|
0,45 |
0,4121 |
|
0,4 |
0,36098 |
|
-0,05 |
-0,0335 |
|
0,50 |
0,4637 |
|
0,5 |
0,46365 |
|
0,00 |
0,0000 |
|
|
|
Отже,
.
Нехай деяка
функція f(x) задана в вузлах
інтерполяції:
(i=1,2,3.,n) на
відрізку [а,b] таблицею значень: .
Потрібно знайти
значення інтегралу .
Спершу складемо
інтерполяційний багаточлен Лагранжа:
Для
рівновіддалених вузлів інтерполяційний багаточлен має вигляд:
де q=(x-x0) /h –
крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним багаточленом
Лагранжа:
Поміняємо знак
підсумовування і інтеграл і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:
Оскільки dp=dx/h,
то, замінивши межі інтеграції, маємо:
Для
рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок
визначається як h=(b-a)/n. Представивши цей вираз для h у формулу (4) і
виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:
Покладемо, що
де i=0,1,2.,n;
Числа називають
коефіцієнтами Ньютона-Kотеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є
функцією тільки по n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Остаточна формула
виглядає так:
Формула трьох
восьмих:
Якщо в формулі
Ньютона-Котеса взяти n = 3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним багаточленом
третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h,
x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратурну формулу:
де
Ця квадратурна
формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи
цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.
Завдання
Обчислити інтеграл методом
прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну
та відносну похибку обчислення :
А) заданий
інтеграл обчислити наближено та точно.
B) заданий
інтеграл обчислити наближено.
Варіант 1
1.
2.
3.
Варіант 2
1.
2.
3.
Варіант 3
1.
2.
3.
Варіант 4
1.
2.
3.
Варіант 5
1.
2.
3.
Варіант 6
1.
2.
3.
Варіант 7
1.
2.
3.
Варіант 8
1.
2.
3.
Варіант 9
1.
2.
3.
Варіант 10
1.
2.
3.
Рекомендована
література:
1.
Цегелик
Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка,
2004. – 408 с.
2.
Коссак
О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів:
Бак, 2003. – 168 с.
3.
Анджейчак
І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики.
Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська
політехніка», 2000. – 100 с.
4.
Дудикевич
А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування
нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім..
І.Франка, 2007. – 78 с.
5.
Паранчук
Я.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення в
пакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р.
Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.
Другие работы по теме:
Загальні принципи побудови моделей в економетриці
Предмет, об'єкт, метод та основні завдання економетрики. Розробка і дослідження эконометричних методів (методів прикладної статистики) з урахуванням специфіки економічних даних. Поняття економетричної моделі і її вибір. Типи економетричних моделей.
Наука політологія
Тема. Виникнення та розвиток політології. Предмет, об‘єкт, методи, функції політології. Основні парадигми політології. 1. Політика займає особливе місце в діяльності людей з того часу, коли людство виходить з варварства до цивілізації, коли з‘являється держава. Суспільне життя вивчають різні гуманітарні науки, у кожної з них свій предмет дослідження.
Розрахунково-аналітичні методичні прийоми
Коломийський економіко-правовий коледж РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Розрахунково-аналітичні методичні прийоми Використання у контрольно-аудиторському процесі розрахунково-аналітичних методичних прийомів дає змогу встановити загальний стан об'єктів контролю: невиконання державного замовлення випуску продукції народного споживання, зниження продуктивності праці проти запланованої, нерит-мічність виробництва продукції, збільшення браку, збитковість окремих видів продукції, перевитрати металу проти норм, неоптимальні маршрути перевезення продукції тощо.
Соціологія наука про суспільство
РЕФЕРАТ на тему: Соціологія – наука про суспільство План Уміння мислити соціально – ознаки зрілості громадян, спільної, суспільства. Предмие6т та об’єкт соціологічної науки.
Методи і засоби навчання
Реферат на тему: Методи і засоби навчання Поняття про методи навчання і їх класифікації. Методи організації і здійснення навчально-пізнавальної діяльності.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Місце та роль приватних загальноосвітніх закладів у сучасних умовах
РЕФЕРАТ на тему: Місце та роль приватних загальноосвітніх закладів у сучасних умовах” У своїй роботі мені б хотілося проаналізувати деякі переваги і недоліки різних, у тому числі і нових методах утворення на прикладі приватних шкіл, де в силу визначених причин такі методи застосовуються більш активно.
Абсолютна та відносна похибка
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа. Визначення кількості точних знаків. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел. Похибки арифметичних операцій різниці, добутку, частки та степеня.
Системи автоматизованого проектування
Організаційні основи розробки систем автоматизованого проектування на виробництві, їх впровадження і експлуатація. Загальні відомості про мікропроцесорні пристрої і системи. Основні поняття, визначення, постановка й розв’язок простих оптимізаційних задач.
Математичні функції в Excel. Запис макросів
Основні математичні функції табличного процесора Excel, особливості та правила їх використання. Основи мови макросів, порядок їх запису та виконання. Поняття та характерні риси макрофункцій, їх призначення та правила використання в програмі Excel.
Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа
Вираз інтерполяційного многочлена Лагранжа. Методи математичного пакету MathCad. Графічне зображення лінійної інтерполяції. Схема алгоритму прикладної програми lagr.pas. Лістинг модуля користувача та програмного модуля. Результат роботи програми lagr.pas.
Тренд-аналіз геологічних даних
В складних умовах геологічної будови об’єктів при мозаїчному характері розподілу локальних аномалій ознаки, яка вивчається, виділення напрямків регіональної тенденції його ззміни часто представляє важку задачу при традиційному графічному зображенні, оскільки при цьому звичайно вносяться суб’єктивні представлення априорних геологічних концепцій.
Речення Види речень за метою висловлювання
Автор Кушнір Надія Віталіївна, учитель української мови Донецької ЗОШ № 61 Вступ Тема уроку Речення Види речень за метою висловлювання Мета уроку : забезпечити засвоєння учнями поняття про види речень за метою висловлювання та інтонацією, їх комунікативну функцію, продовжити роботу над формуванням комунікативної компетентності учнів, збагачувати їх словниковий запас, продовжити формування вмінь працювати в групі, колективі, формувати соціальну компетентність учнів, сприяти вихованню любові до природи.
шпора по РПС
Формалізація – представлення простих для сприйняття або дослідження форми найзначніших індивідуальних рис об'єкту або явища, що вивчається. В просторових дослідженнях моделювання застосовується переважно в тих випадках, коли метою дослідження є з'ясування загальних закономірностей або детальне вивчення конкретного явища, процесу, що протікає в системі з певними просторовими або часовими властивостями.
Бухгалтерський облік 5
Київська Державна Академія Водного Транспорту КОНТРОЛЬНА РОБОТА з дисципліни ОХОРОНА ПРАЦІ Студентки МО - 4 Питання контрольної роботи Підприємницький пил
Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування. Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
Критерії оцінювання навчальних досягнень у системі загальної середньої освіти
МАТЕМАТИКА Складовими запровадження тематичного обліку знань, що потребують розробки нових форм і методів контролю та сучасної системи оцінювання навчальних досягнень учнів з курсу математики, є засвоєння ними теоретичного матеріалу та сформованість умінь і навичок застосовувати набуті знання до розв’язування задач і повсякденному житті.
1998-09-29 - Методи дослiдження Основнi напрямки
База лекций и рефератов института КИМО www.kimo.non Методи педагогічних досліджень поділяються на 3 великі групи: 1) соціографічні методи (у нас вони називаються статистичні або соціологічні методи)
Мислення 6
Мислення Мислення — процес опосередкованого й узагальненого пізнання предметів і явищ об'єктивної дійсності в їх істотних властивостях, зв'язках і відносинах.
Предмет і завдання екології Методи екологічних досліджень
Предмет і завдання екології. Екологія, подібно до генетики, відносно молода біологічна наука. Вона сформувалася лише всередині ХІХ століття, коли остаточно стало зрозумілим, що неможливо вивчати живі організми окремо від їхнього середовища існування. Саму назву “екологія” у 1866 році запропонував видатний німецький біолог Ернст Геккель.
Розвиток пізнавальних здібностей та інтересів учнів у процесі вивчення географії
ТЕМА ДОСВІДУ: РОЗВИТОК ПІЗНАВАЛЬНИХ ЗДІБНОСТЕЙ ТА ІНТЕРЕСІВ УЧНІВ У ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ ГЕОГРАФІЇ” Проблемне навчання, суть якого - самостійне одержання знань учнями, стає все більш цікавим для учителя і учня. Саме цей вид процесу навчання може забезпечити найбільшу активізацію навчально-пізнавальної діяльності учнів, яку супроводжує один з постійних стимулів навчання задоволення від процесу роботи та результату.
Критерії оцінювання знань студентів Методичні рекомендації
КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ Результати успішності, будучи важливим показником навчальної роботи не лише студента, а й усього вузу в цілому, нерідко залежать зід суб'єктивного підходу до цінки знань студентів окремими зикдадачими. Відхилення в оцінці результатів пізнавальної діяльності студентів, іноді досягають великих значень, так, експериментально показано, шо 276 викладачів вузів одну і ту ж студентську роботу оцінили таким чином: 31% - поставили оцінку "незадозільно", 65% - "задовільно", 4% - "добре".
Мовне забезпечення САПР
: Мовне (лінгвістичне) забезпечення САПР. Призначення, структура та вимоги до мовного забезпечення. Мовне проектування. Мови програмування. 1. Мови забезпечення САПР включають в себе мови проектування та мови програмування і охоплює терміни, визначення, правила формалізації звичайної мов, методи стиснення та розширення.
Системний підхід до складання логічної структури теми
Приступивши до складання тематичних планів викладач стикається з проблемою побудови навчального матеріалу таким чином, щоб із хаотичних уявлень про предмет в студента створилась певна система знань. Виходячи із цих міркувань, інформація підлягає структуруванню в тому числі при розробці плана-конспекта лекцій чи тактичного заняття, алгоритму семінару, чи опорної схеми.
Роль активних та інтерактивних форм і методів навчання в удосконаленні педагогічного процесу та
РОЛЬ АКТИВНИХ ТА ІНТЕРАКТИВНИХ ФОРМ І МЕТОДІВ НАВЧАННЯ В УДОСКОНАЛЕННІ ПЕДАГОГІЧНОГО ПРОЦЕСУ ТА РОЗВИТКУ ТВОРЧИХ ЗДІБНОСТЕЙ ШКОЛЯРІВ В умовах розбудови незалежної демократичної правової держави все більшого значення набуває правова освіта молоді. Водночас духовне відродження суспільства вимагає конкретних змін у діяльності загальноосвітніх шкіл, які викликані необхідністю формування суспільно активної, творчої особистості, що на відміну від людини – вихованця, здатна самостійно мислити, генерувати нові ідеї, приймати сміливі, нестандартні рішення.
Вибір методів навчання
Реферат на тему: ВИБІР МЕТОДІВ НАВЧАННЯ Методи навчання в школі відповідають освітній і виховній меті, змістові освіти. Вони ставлять перед кожним учителем завдання виховувати людей всебічно розвинених, які б мали широку освіту й свідомо використовували свої знання і здібності на користь держави, суспільства.
Рівні і форми контролю якості викладання
Реферат на тему: РІВНІ І ФОРМИ КОНТРОЛЮ ЯКОСТІ ВИКЛАДАННЯ. Ті,у кого ми вчимося, правильно називаються нашими вчителями, але не всякий, хто вчить нас, заслуговує це ім'я.