Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування.
Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
∫sin udu=- cos +С
Заданий невизначений інтеграл ∫f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних інтегралів.
Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.
Ознайомимось з основними методами інтегрування.
Метод безпосереднього інтегрування
Цей метод базується на рівності сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.
Приклад. Знайти інтеграли
а) b) с)
Розв’язування.
а)
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;
b)
У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник Ѕ
с)
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (– 7).
Метод підстановки (заміни змінної)
Цей метод містить два прийоми.
a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).
Приклад. Знайти інтеграл
Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді
Отже, одержимо
Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);
Отже,
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце
рівність
Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).
Приклад. Знайти
Розв’язування. Нехай тоді
Тому
Метод інтегрування частинами
Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).
Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).
Розглянемо диференціал добутку цих функцій.
d(uv) = udv + vdu
Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо
Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо
Отже, одержали формулу
яку називають формулою інтегрування частинами.
Ця формула дозволяє знаходження інтеграла звести до знаходження інтеграла . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл
Приклад. Знайти
Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x
За формулою інтегрування частинами (4) одержимо
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів – Київ: ЦУЛ, 2002 – 400 с. Серія: Математичні науки.
Другие работы по теме:
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Інтегрування раціональних функцій
Пошукова робота на тему: Інтегрування раціональних функцій. План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Обчислення матричних задач
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ Бердичівський політехнічний коледж Контрольна робота з дисципліни “Числові методи” Виконав: студент групи Пзс-503 Лифар Сергій Олександрович
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Обчислення матричних задач
Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
Інтегруючі кола фільтр низьких частот
Курс: Комп’ютерна Електроніка Тема: Інтегруючі кола (Фільтр низьких частот) 1. Визначення інтегруючого кола і його призначення Інтегруючим колом (інтегратором) називають ланцюг (чи пристрій), призначений для виконання операції інтегрування, тобто для одержання вихідної напруги
Алгоритми розрахунку періодичного режиму в нелінійній схемі
Часові та спектральні методи розрахунку довільних нелінійних кіл. Чисельні методи інтегрування звичайних диференційних рівнянь, їх класифікація та властивості. Математичний зміст спектральних методів та алгоритм розрахунку періодичного режиму схеми.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Аналіз методу чисельного інтегрування, з використанням методу Гауса при обчисленні інтегралу третього, четвертого та п’ятого порядків. Алгоритм та лістинг програми, що розв’язує інтеграл методом Гауса, знаходить похибку, виводить і порівнює результати.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Характеристика основних методів чисельного інтегрування та розв’язання інтегралу методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків. Оцінка похибок та порівняння їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.
Дослідження чисельних методів інтегрування
Дослідження методів чисельного інтегрування Чебишева та Трапеції, порівняння їх точності. Способи розробки програми на компіляторі Turbo C++, яка знаходить чисельне значення вказаного інтегралу. Обґрунтування вибору інструментальних засобів програми.
1998-09-29 - Методи дослiдження Основнi напрямки
База лекций и рефератов института КИМО www.kimo.non Методи педагогічних досліджень поділяються на 3 великі групи: 1) соціографічні методи (у нас вони називаються статистичні або соціологічні методи)
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Паскаль 14
Зміст 1. Завдання 2. Постановка задач. 2.1. Аналіз структури вхідних (початкових) даних задач. 2.2. Визначення порядку підготовки і ввожу вхідних даних.
Про систему задач для вивчення інтеграла
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер.
Боголюбов Микола Миколайович - український математик механік фізик
Реферат На тему: Боголюбов Микола Миколайович - український математик, механік, фізик Народився у 1909 р. в Нижньому Новгороді. Після завершення семирічки самостійно займався математикою і фізикою. У віці 17 років закінчив аспірантуру при Академії наук України. В 1934—1958 рр. працював у Київському університеті (з 1936 р. — професор).
Інтегрування ірраціональних виразів
Пошукова робота на тему: Інтегрування ірраціональних виразів. План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева