Задача 1. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра; отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется его бимедианой. Докажите:
а) что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины;
б) все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
в) точка пересечения бимедиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан.
Решение.
а) Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН1 тетраэдра РАВС в отношении РМ : МН1 = 3 : 1( рис. 1).
Рис. 1
Тогда РМ : РН1 = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани АВС выполняется равенство:
Тогда
Аналогично можно доказать, что для точек М1, М2 и М3, делящих медианы соответственно СН2, АН3, ВН4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть
Это означает, что точки М, М1, М2 и М3 совпадают, то есть все четыре медианы РН1, СН2, АН3 и ВН4 тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.
Точка пересечения медиан тетраэдра называется центроидом этого тетраэдра.
б) Пусть точки K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР (см. рис. 1), то есть отрезок KЕ — бимедиана тетраэдра РАВС. Если точка Q — середина бимедианы KЕ, то для любой точки О пространства выполняется:
Так как K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР, то справедливы равенства:
Тогда получаем:
Аналогично можно доказать, что для середины Q1 бимедианы ТF (см. рис.1) имеет место: Можно убедиться, что такое же равенство выполняется и для середины Q2 третьей бимедианы данного тетраэдра. Это означает: откуда следует, что точки Q, Q1 и Q2 совпадают, то есть все три бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке Q и делятся этой точкой пополам.
в) Таким образом, для точек М и Q справедливы соответственно равенства:
и
из которых следует, что откуда: точка Q пересечения бимедиан тетраэдра РАВС совпадает с его центроидом М, что и требовалось доказать.
Условие компланарности трех векторов
В качестве базиса в пространстве можно выбрать любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов Тогда любой вектор пространства единственным образом можно разложить по векторам этого базиса:
В общем виде критерий компланарности трех ненулевых векторов выражает равенство: (при условии, что не все коэффициенты одновременно равны нулю). Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор и, используя признак компланарности трех векторов, доказать, что выбранные векторы компланарны.
Задача 2.В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка М — середина диагонали А1С1 грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Рис. 2
Решение. Введем векторы: (рис.2).
Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса. Разложим векторы по векторам этого базиса.
Имеем:
Тогда
Это означает, что векторы компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1, для которых векторы являются направляющими.
Задача 3. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.
Решение. Введем векторы: (рис.3).
Рис. 3
Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:
Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы коллинеарны, поэтому существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что
По правилу ломаной находим:
По условию MН A1C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:
Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1 – х – t = 0, t – у = 0, х – у – t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН : СА1 = 1 : 3.
Ответ: 1 : 3.
Другие работы по теме:
Многокритериальные задачи. Паретовские решения
Особенности формирования математической модели принятия решений, постановка задачи выбора. Понятие оптимальности по Парето и его роль в математической экономике. Составление алгоритма поиска парето-оптимальных решений, реализация программного средства.
Методы психологии труда
Метод наблюдения. Метод опроса. Лабораторный эксперимент. Методы построения простых и сложных теоретических объектов. Преобразующие или конструктивные методы психологии труда.
Эвристические методы решения творческих задач
Эвристические методы как различные процедуры, направленные на сокращение перебора вариантов. Построение моделей процессов решения какой-либо новой задачи как основное назначение эвристических методов, разнообразие данных моделей и их особенности.
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Матроид
В алгоритмике играют важную роль жадные алгоритмы. Они просты для понимания и реализации, работают сравнительно быстро, известно много разнообразных задач, которые можно решить с помощью жадных алгоритмов.
Теория вектора
Содержание: 1. Что такое вектор? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.
Метод конечных разностей или метод сеток
ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Теория вектора
Понятие вектора. Сложение векторов. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Свойства операций над векторами.
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
Методы решения текстовых задач
Text Graphics Методы решения текстовых задач Слушатель ОП «Математическое образование в основной и средней школе» Шаронова Мария Викторовна Graphics
Полиморфные Вектора
У вас есть другая возможность - определить ваш векторный и другие вмещающие классы через указатели на объекты некоторого класса.
Действия с векторами
Проведение урока по теме: "Действия с векторами". Повторение правил действий над векторами и применение знаний предмета информатики для решения геометрических задач по готовым чертежам. Закрепление приобретенных навыков выполнения действий над векторами.
Нахождение интегралов в среде Pascal
Методика и основные этапы нахождения интеграла функции sin (x+10)+x4=0 с помощью двух подходов: метод прямоугольников и метод трапеций. Составление соответствующей программы в среде Pascal. Оценка возможностей пользователя при решении данного задания.
Многокритериальные задачи. Метод альтернативных решений
Разработка программного средства для поиска альтернативных решений многокритериальных задач. Проектирование программного средства с помощью объектно-ориентированного подхода. Пример листинга программного кода. Особенности работы программы на примере.
Графический метод решения задач линейного программирования
Расчет производства необходимого количества продукции для получения максимальной прибыли предприятия. Математическая модель для решения задач линейного программирования. Построение ограничений и целевых функций. Исследование чувствительности модели.
Создание логотипа в 3D
Основные способы создания в Adobe Photoshop трехмерных объектов. Использование стороннего фильтра 3D Transform. Трансформация выделенной области или слоя. Шаги создания логотип 3D. Векторные инструменты Photoshop. Инструмент создания многоугольников.
Векторная и растровая графика 2
Московский государственный университет культуры и искусств Факультет: менеджмент и социально информационные технологии Реферат На тему: Векторная и растровая графика
Информатика - Обработка информации
Обработка информации состоит в получении одних «информационных объектов» из других «информационных объектов» путем выполнения некоторых алгоритмов и является одной из основных операций, осуществляемых над информацией, и главным средством увеличения ее объема и разнообразия.
Форматы векторной графики
Как получить векторный файл в формате EPS? EPS-файл готов. Что дальше? Помещаем EPS в верстку. Векторный EPS в Фотошопе. Другие способы получения EPS-файла.
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения
Ценообразование 6
Ценообразование — установление цен, процесс выбора окончательной цены в зависимости от себестоимости продукции, цен конкурентов, соотношения спроса и предложения и других факторов.