Упорядоченную совокупность ( x1
, x2
, ... , xn
) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа xi
( i = ) - компонентами, или координатами, вектора.
Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.
Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ≠ (2, 3, 5, 0, 1).
Произведением вектора x = (x1
, x2
, ... ,xn
) на действительное число λ называется вектор x = ( λx1
, λx2
, ... , λxn
).
Суммой векторов x = (x1
, x2
, ... ,xn
) и y = (y1
, y2
, ... ,yn
) называется вектор
x + y = (x1
+ y1
, x2
+ y2
, ... , xn
+ yn
).
N-мерное векторное пространство Rn
определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров
x = (x1
, x2
, ..., xn
),
где через xi
обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров
C = { x = (x1
, x2
, ... , xn
)| xi
≥ 0, i = }.
Система e1
, e2
, ... , em
n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа λ1
, λ2
, ... , λm
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ1
e1
+ λ2
e2
+ ... + λm
em
= 0;
в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все λ1
= λ2
= ... = λm
= 0. Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R3
, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Тройка e1
, e2
, e3
некомпланарных векторов в R3
называется базисом, а сами векторы e1
, e2
, e3
- базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
а = x1
e1
+ x2
e2
+ x3
e3
, (1.1)
числа x1
, x2
, x3
в разложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e1
, e2
, e3
и обозначаются a(x1
, x2
, x3
). Если векторы e1
, e2
, e3
попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1
, x2
, x3
- прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R3
выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. |c| = |a||b| sin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или c = a x b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1
, a2
, a3
), b(b1
, b2
, b3
), то
Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами a(a1
, a2
, a3
),
b(b1
, b2
, b3
), c(c1
, c2
, c3
), то
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то abc < 0 и V = - abc, следовательно V = |abc| .
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а0
. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , |АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.
Другие работы по теме:
Теория электромагнитных полей
325111-1 =29мм U=100B B=11мм С=9мм ε=2 Цилиндрический некоаксиальный конденсатор Задание. 1) Рассчитать ёмкость системы на единицу длины. Найти фиктивный заряд и его геометрическое расположение.
Расчет электрических цепей синусоидального тока
Задачи на расчет электрической цепи синусоидального тока с последовательным и смешанным соединением приемников. Определение токов в линейных и нейтральных проводах; полная, активная и реактивная мощность каждой фазы и всей цепи. Векторная диаграмма.
Электрические трехфазные цепи
Электрические трехфазные цепи. Получение трехфазной системы Э.Д.С. Трехфазная система электрических цепей представляет собой совокупность электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные Э.Д.С. одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником питания.
Геометрия
Шпаргалка по геометрии: виды и свойства углов, треугольников, многоугольников; векторы, пространственные фигуры.
Численное решение алгебраических проблем собственных значений
Выбор эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи. Степенной метод вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы A и его модификациями. Умножение матрицы на вектор.
Геометрические векторы
Основные определения геометрических векторов. Понятие коллинеарных и равных векторов. Простейшие операции над векторами, их проекция на ось. Понятие угла между векторами. Отсчет угла против часовой стрелки, положительная и отрицательная проекция.
Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников
Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта.
Система уравнений по формулам Крамера
Задание № 1 Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера 2) с помощью обратной матрицы 3) методом Гаусса Решение найдем определитель матрицы методом Крамера
Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Формулы по математике (11 кл.)
АЛГЕБРА Формулы Формулы сложения Формулы двойного аргумента Формулы половинного аргумента Ф-лы преобразования суммы в произведение Ф-лы преобразования произведения в сумму
Формула Шлетца
КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. §1. Пространство R(p - аффинная прямая. Отнесем прямую А
Математика
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а АІ+а А+а А Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х)
Теория вектора
Понятие вектора. Сложение векторов. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Свойства операций над векторами.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
Векторный метод решения стереометрических задач
Задача 1. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра; отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется его бимедианой. Докажите:
Векторы 2
ВЕКТОРЫ Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Речь и идет о векторных величинах или просто векторах.
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
РЕФЕРАТ "Собственные вектора и собственные значения линейного оператора" Понятие собственные векторы и собственные значения Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.
Численное решение алгебраических проблем собственных значений
: степенной метод. Екатеринбург 2006 Введение Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {λ, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v.
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
Двойное векторное произведение
Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие вектор, равный a×(b×c). Этот вектор называют двойным векторным произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике.
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Действия с векторами
Проведение урока по теме: "Действия с векторами". Повторение правил действий над векторами и применение знаний предмета информатики для решения геометрических задач по готовым чертежам. Закрепление приобретенных навыков выполнения действий над векторами.
Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Реферат по исследованию операций на тему
Действия с векторами
Интегрированный урок геометрия-информатика. Тема: «Действия с векторами» Цели урока: Более прочное усвоение знаний. Развитие самостоятельности и умения планировать свою деятельность.
ГИА геометрия 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по ГЕОМЕТРИИ Кодификатор элементов содержания по геометрии
Полевые измерений в TopconTools
Создаем новый проект рис 1 В созданном проекте подгружаем схему опорной геодезической сети рис 2 Далее импортируем необработанные данные полевых измерений рис 3
Теория пары снимков
Формулы связи координат точек местности и координат их изображений на стереопаре снимков идеального случая съемки. Условие, уравнения и элементы взаимного ориентирования снимков. Построение фотограмметрической модели и ее внешнее ориентирование.