Геннадий Неверов
Из всех услуг, которые могут быть оказаны науке, введение новых идей самая важная.
Дж. Дж. Томсон
Наука о числах начала формироваться за 2...3 тысячелетия до нашей эры. Изложение арифметики в более или менее современном виде появилось в ХVIII веке.
Одними из самых краеугольных и устойчивых правил математики являются правила действий с категориями, знаками бесконечности и нуля. Правила утверждают, что не имеют смысла складывание и вычитание бесконечностей и то же самое нулей, запрещается делить на нуль. Эти правила ни у кого не вызывают возражений, они легко воспринимаются здравым смыслом школьников и академиков.
Эти утверждения включены во все учебники и справочники по арифметике и математике. Они крепко вбиты в головы современных людей и, можно сказать, уже закреплены в генетической памяти.
Однако, на мой взгляд, это ошибочная точка зрения. Ниже я покажу, что арифметические операции с названными числами возможны.
Например, при разработке эвристического алгоритма (одного из многих) решения задачи коммивояжера (The Traveling Salesman Problem) возможны соответствующие ситуации.
Напомню, что эта задача с несерьезным названием имеет многочисленные практические приложения, является самой известной задачей класса NP-complete problems (их количество свыше трех тысяч), особенность которого составляет сводимость задач класса друг к другу. Эти задачи не имеют эффективного (полиномиального) алгоритма решения и решаются приближенными и эвристическими алгоритмами. Если же когда-нибудь будет найден полиномиальный алгоритм решения хотя бы одной задачи класса, то весь их сонм будет решаться эффективно.
В журнале Scientific American (1984, 7) отмечалось, что решение таких задач современной математике не по силам.
Суть The Traveling Salesman Problem в следующем. Имеется сеть городов, коммивояжеру необходимо посетить каждый, заходя в города по одному разу – так, чтобы общая длина пути была минимальной. В терминах теории графов имеется матрица расстояний между вершинами графа, расстояния (дуги) могут быть натуральными положительными числами, бесконечностью или нулем. Появление в искомом пути хотя бы одной дуги, равной бесконечности, делает весь путь бесконечным, а дуги, равные нулю, сокращают путь.
Идея алгоритма: выбирать дуги, начиная с первой и аналогично дальше, так, чтобы в строках и столбцах вычеркивались самые плохие дуги, то есть в первую очередь равные бесконечности. При этом в матрице останутся более или менее короткие дуги, которые будут использоваться на дальнейших шагах алгоритма. Последний не находит оптимальный путь, но гарантирует отсутствие провала, если такой шанс есть: в нем не будет дуг, равных бесконечности, или других самых длинных (если такой путь в данной матрице существует). На практике надежные, приближенные к оптимуму решения могут иметь спрос. (Этот алгоритм и другие, упоминаемые в статье, разработаны мною).
Так вот, решая задачу шаг за шагом, мы вынуждены подсчитывать на каждом шаге количество бесконечностей в каждой строке и столбце – и выбирать ту дугу, которая уничтожает их максимальное количество, то есть складывать и вычитать бесконечности.
Хотя по многовековой теории сумма, например, трех бесконечностей равняется одной бесконечности, у меня эта сумма равна трем бесконечностям. И сумма пяти бесконечностей у меня больше, чем, например, четырех.
Возьмем другой эвристический алгоритм. Будем шаг за шагом выбирать дуги так, чтобы в уничтожаемых строках и столбцах было минимум нулей, а в оставляемых – максимум. Замысел состоит в том, чтобы сохранить самые лучшие, нулевые, дуги для последующего использования. В этом алгоритме я складываю и вычитаю нули.
Если читатель полагает, что наглость автора исчерпана, то он ошибся. Коль скоро мы убедились, что складывать и вычитать как бесконечности, так и нули можно и нужно, то надо быть последовательными. Я уверен, что имеет смысл выражение: бесконечность плюс нуль. Читатель мог бы встрепенуться и придумать, вспомнить, свой пример, когда это выражение имеет смысл. Я же снова обращаюсь к конструированию алгоритма решения The Traveling Salesman Problem.
Если соединить названные первый и второй алгоритм в один – третий, то мы будем вынуждены складывать и сравнивать (вычитать) бесконечности и нули. В существующей теории бесконечность плюс нуль раняется одной бесконечности; или бесконечность плюс два нуля тоже равняется одной бесконечности. У меня же эти суммы разные и приводят к разным последствиям.
О нуле
Это число по определению не меняет любое другое, к которому может быть прибавлено, или от которого вычитается. На него нельзя делить. Значит, я не имею права именовать нулем то число, которым оперирую. Выход один: назвать модифицированный нуль каким-нибудь новым именем, например, нев (первые три буквы моей фамилии) и жить дальше человечеству с расширенным перечнем категорий математики. Характеристика нев будет такой: это бесконечно малое число, – нуль, с которым совершаются арифметические операции. В отличие от нуля нев можно будет прибавлять и отнимать, на него можно делить натуральное число, получая в итоге бесконечность.
Какими знаками обозначить предлагаемые новые цифры? Целесообразно сохранить существующие знаки, так как новые категории являются более общим случаем. Старые же понятия этих цифр, если их существование будет иметь смысл, можно обозначать подчеркиванием.
Но я согласен с теми, кто рекомендует не увеличивать количество сущностей без острой необходимости. Может все же лучше изменить определение нуля? Назовем его бесконечно малым числом тогда нев не будет нужен. В любом случае правила арифметики существенно меняются пора думать над последствиями.
О бесконечности
Герман Вейль (Weyl), которого называли тонким знатоком проблем математики и точного естествознания, по-видимому, перегибал палку, когда определял математику как науку о бесконечном (ВейльГ. О философии математики. 1934г., стр.9 и 90). По моему мнению, сфера математики значительно шире. Однако, введение арифметических операций с бесконечностью безусловно потрясает здание математики. Здесь та же проблема: изменять определение бесконечности, или учредить новый термин. Для второго варианта я предлагаю название нелли : первые две буквы – из моей фамилии, а в целом имя моей жены, чьи положительные качества неистощимы. Дефиниция будет такой: нелли – бесконечность, с которой совершаются арифметические операции.
Таким образом я ставлю международной математической общественности ультиматум: или меняются характеристики бесконечности и нуля, или я этой статьей ввожу новые, определенные выше, числа нелли (nelly) и нев (nev).
Другие работы по теме:
Программируемые логические контроллеры
SIMATIC S7- Описание Программируемые логические контроллеры SIMATIC S7-200 предназначены для построения относительно простых систем автоматического управления, отличающихся минимальными затратами на приобретение аппаратуры и разработку системы. Контроллеры способны работать в реальном масштабе времени и могут быть использованы как для построения узлов локальной автоматики, так и узлов, поддерживающих интенсивный коммуникационный обмен данными через сети Industrial Ethernet, PROFIBUS-DP, MPI, AS-Interface, MPI, PPI, а также через модемы.
Подготовка больного к операции 2
Ярославский медицинский колледж Реферат: по теме: « Подготовка больного к операции » Выполнила: Студентка 3 АК « А » Проверила: Соловьева Т. Н Содержание:
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Числовая последовательность
Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Операции над последовательностями 4 Подпоследовательности 4.1 Примеры 4.2 Свойства 5 Предельная точка последовательности
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Н.М. Козий, 2008, [UA] Свидетельство Украины № 25256 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
О том, как Ленин перехитрил жандармов
Автор: Зощенко М.М. О том, как Ленин перехитрил жандармов Когда Ленину было двадцать шесть лет, он уже был всем известный революционер, и царское правительство боялось его как огня.
Рейнская операция
Рейнская операция (кодовое название — «Пландер» ) — стратегическая военная операция вооружённых сил союзников против немецких войск в ходе Второй мировой войны с целью форсирования Рейна, часть Центрально-Европейской операции.
Операция Peninsula Strike
«Peninsula Strike» (в переводе — «Удар по полуострову»)— название первой крупной военной операции США после свержения режима Саддама Хусейна в Ираке в период Иракской войны.
Арифметические операции с BCD числами
Двоично-десятичный формат (BCD - Binary Coded Decimal). Преобразование ASCII формата в двоичный формат. Арифметические инструкции и флаги. Форматы арифметических данных. Выполнение арифметических операции. Сложение. Вычитание. Умножение. Деление.
Ошибки при выполнении программы. Опции компилятора
Умея пользоваться массивами, условными операторами и операторами цикла, вы мо-жете писать довольно серьезные программы. При выполнении этих программ неизбежно будут возникать критические ошибки, приводящие к аварийному завершению программы.
Основные понятия языка программирования Турбо Паскаль
Основные сведения о системе программирования Турбо Паскаль. Структура программы на Паскале и ее компоненты. Особенности и элементы языка Турбо Паскаль. Порядок выполнения операций в арифметическом выражении, стандартные функции и оператор присваивания.
Логический тип данных. Операции сравнения
Логические, или булевские, данные предназначены для хранения логических значений "истина" или "ложь". Логические переменные и константы имеют тип Boolean и занимают в памяти 1 байт. Существует всего две логические константы - TRUE и FALSE.
Микроконтроллеры семейства MCS51 Intel
Инструкции MCS51 Intel Инструкции, модифицирующие флаги (1) Инструкция C OV AC Инструкция C OV AC CLR C ADDC CPL C SUBB ANL C,bit ANL C,/bit ORL C,bit ORL C, bit
Microsoft Exel
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ИНФОРМАТИКЕ 2 семестр Табличные процессоры. Классификация. Табличный процессор Excel. Назначение. Основные приемы работы в Excel: ведение рабочей книги.
Программное определение математических функций
Программное вычисление по формулам, определение площади правильного многоугольника для любых возможных исходных данных, использование потоков ввода-вывода. Использование операторов при вычислении математических функций, алгоритмы накопления суммы.
Операции языка Cи
Кафедра: Автоматика и информационные технологии ОПЕРАЦИИ ЯЗЫКА СИ Содержание ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАЦИЙ Таблица приоритетов операций Комментарии к операциям
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Трансляция распознающих конечных автоматов
Лабораторная работа №7 Трансляция распознающих конечных автоматов Цель работы: исследование методов эффективной трансляции распознающих автоматов конечных автоматов и R-графов для синтаксического разбора регулярных грамматик.
Операции ввода вывода Арифметические операции
Лабораторная Работа На тему: "Операции ввода-вывода. Арифметические операции" Введение Удобная компьютерная программа – это всегда программа, корректно взаимодействующая с пользователем, даже если пользователем является сам программист. Такая программа запрашивает все необходимые для ее работы данные, используя операции ввода, и выдает результаты работы с помощью операций вывода.
Выполнение арифметических действий и строковых операций
АННОТАЦИЯ Сердце персонального компьютера - микропроцессор, выполняющий арифметические, логические и вспомогательные операции, необходимые для решения задач. Первые микропроцессоры появились в конце 1960-х годов, когда исследователи и разработчики создали интегральную схему (ИС), содержащую различные электронные компоненты на едином кристалле полупроводника.
История развития ЭВМ 2 2
Text Text Graphics Устройства компьютера. Прежде всего, компьютер должен иметь следующие устройства: •арифметическо - логическое устройство, выполняющее арифметические логические операции; Устройства компьютера.
Позиционные системы счисления
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
ГИА алгебра 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Кодификатор элементов содержания по алгебре
Нарсисо Йепес
Испанский гитарист Нарсисо Йепес, наряду с Андресом Сеговией, принадлежит к наиболее выдающимся современным исполнителям на гитаре.
Барроуз Уильям Сьюард
Барроуз Уильям Сьюард (Burroughs William Seward) (28 января 1855, Оберн, шт. Нью-Йорк - 15 сентября 1898, Ситронель, шт. Алабама), американский изобретатель, создатель первой самопишущей счетной машины, основатель фирмы Burroughs.