Спросите
своего коллегу,
или знакомого,
или ученика:
«Какая древняя
книга оказала
наибольшее
влияние на
развитие европейской
цивилизации?».
Не думаю, что
ответы будут
отличаться
большим разнообразием,
но вряд ли кто-нибудь
вспомнит о
«Началах»
Евклида. А ведь
именно по этой
книге ( или по
её обработкам
) учились все
творцы современной
математики:
Декарт и Ферма,
Ньютон и Лейбниц,
Колмогоров
и Понтрягин…
Всех не перечислишь.
Нельзя
сказать, что
в течение многих
веков не появлялись
другие своды
математических
знаний, но все
они забывались
и вновь вытеснялись
«Началами»
Евклида. С 1482 г.
она издавалась
более 500 раз на
самых различных
языках.
Можно
с уверенностью
утверждать,
что все современные
так называемые
точные науки
выросли из
древнегреческой
науки, т.е. из
«Началах»
Евклида – самого
древнего свода
математических
знаний, дошедшего
до нашего времени.
Так
кто же был Евклид?
Исследователь,
энциклопедист,
методист? Увы,
о жизни этого
знаменитого
учёного сохранилось
крайне мало
сведений. Годы
его жизни относят
к промежутку
времени приблизительно
между 365 и 300 гг.
до н.э.
Известно,
что Евклид был
приглашён в
Александрию
царём Птолемеем I
Сотером для
организации
математической
школы и преподавал
там математику.
Известно, что
он учился в
платоновской
Академии в
Афинах.
Итак,
какие же труды
Евклида нам
известны?
Кроме
«Начал» до нас
дошли, хотя и
в сильно искажённом
виде, трактаты
«Оптика» и
«Катоптрика».
В «Оптике»
Евклид формулирует
и доказывает
правило «угол
падения равен
углу отражения»,
а в «Катоптрике»
он выводит,
опираясь на
это правило,
законы отражения
от выпуклых
и вогнутых
зеркал. В этих
трактатах
содержится
первое в истории
изложение
геометрической
оптики. Кроме
того, Евклиду
принадлежит
сочинение по
математической
астрономии
«Явления», ему
также приписывается
сочинение
«Сечение канона»
по теории музыки.
Во
всех этих
произведениях
Евклид сначала
постулирует
некоторые
свойства исследуемых
объектов ( например,
то, что свет
распространяется
по прямой ) и
необходимые
математические
сведения, а
затем на этой
основе дедуктивно
строит излагаемую
теорию.
Евклиду
принадлежат
сочинения о
конических
сечениях ( т.е.
эллипсе, гиперболе,
параболе ) и «О
поверхностных
местах», которые
до нас дошли.
В
арабском переводе
нам известно
сочинение
Евклида «О
делении фигур»
Но
главным трудом
Евклида, несомненно,
являются «Начала»
( в 13 книгах ). Он
собрал и систематизировал
современную
ему математику,
строго дедуктивно
изложив её в
этом объёмном
труде.
Ниже
описаны наиболее
интересные,
с точки зрения
современной
математики,
достижения
Евклида и его
предшественников,
изложенные
в «Началах».
Теорема
Евклида.
Предложение,
о котором идёт
речь, изложено
в IX
книге «Начал».
Оно формулируется
так:
множество
простых чисел
бесконечно.
Доказательство
очень просто:
если бы множество
всех простых
чисел было
конечным, то,
перемножив
их все и добавив
единицу, мы
получили бы
новое число,
которое не
делится ни на
одно из известных
простых чисел
и, следовательно,
простое.
Алгоритм
Евклида.
Всем известен
алгоритм Евклида
нахождения
общей меры
отрезков. Он
состоит в следующем.
Пусть
есть два отрезка
неравной длины
A и
В, причём, например,
А больше В. Отложим
отрезок В на
отрезке А столько
раз, сколько
получится( рис.
1 ).
Тогда
А=n0B
+ C1,
где C1
< В.
Теперь
берём отрезки
В и C1
и повторяем
с ними ту же
операцию: В=n1C1
+ C2,
где C2
< C1
( рис. 2 ).
А
С1
В В
В
n0
раз
( рис. 1 )
В
С1
С1 С2
n1
раз.
(
рис. 2 )
Повторяя
эту операцию
много раз, мы
либо когда-нибудь
получим нулевой
отрезок-остаток
Cm=
nm+1Cm+1
+ 0 отрезок Cm+1
окажется общей
мерой отрезков
А и В, либо процесс
откладывания
отрезков никогда
не закончится.
В
последнем
случае говорят,
что отрезки
А и В несоизмеримы
( т.е. не имеют
общей меры ).
Числа n0,
n1,
… называются
«неполными
частными».
Если
обнаружена
общая мера
величин А и В
и она равна
некоторой
величине D,
то А= λD,
B=μD
и отношение
А и В есть отношение
λ
к μ.
Интересно,
что Евклид
построил алгоритм
отдельно для
чисел ( т.е. натуральных
чисел ) и отдельно
для отрезков
( величин ).
Итак,
алгоритм Евклида
позволяет не
только находить
общую меру (
НОД ) двух чисел,
сокращать на
НОД дроби, но
и «округлять»
рациональные
числа.
Теория
отношений
Евдокса.
В
«Началах»
изложена другая
теория отношений,
созданная
Евдоксом. Она
отвечала на
вопрос: как
можно сравнивать
отношения чисел
и что происходит
с ними в результате
арифметических
операций?
Два
отношения a/b
и c/d
считаются
равными, если
для любых натуральных
чисел М, N
выполняются
условия:
aM
> bN cM >
dN,
aM
= bN cM = dN,
aM
< bN cM < dN.
Такой
подход к сравнению
отношений был
революционным
прорывом в
построении
теории действительного
числа ( пока
только для
рациональных
положительных
чисел ).
Теория
иррациональностей.
Видимо, именно
алгоритм Евклида
привёл пифагорейца
к установлению
несоизмеримости
стороны и диагонали
квадрата ( т.е.
иррациональности
числа √2 ). Это
открытие существенно
повлияло на
дальнейшее
развитие и
математики,
и философии.
Оно показало,
что ложен основной
принцип пифагорейцев
«всё есть число».
Они считали,
что всякую
величину можно
выразить числом
( натуральным
) или отношением
чисел, но оказалось,
что диагональ
квадрата со
стороной 1 не
выражалась
отношением
чисел.
Теэтет
Афинский развил
этот подход
и доказал, что
квадратные
корни из квадратных
чисел рациональны,
а из неквадратных
– иррациональны.
Кроме того,
кубические
корни из кубических
чисел рациональны,
а из некубических
– иррациональны.
Более
того, он классифицировал
некоторые типы
иррациональностей,
которые можно
построить с
помощью циркуля
и линейки.
Геометрическая
алгебра.
Важным
достижением
античной математики
стало создание
так называемой
геометрической
алгебры, зачатки
которой имелись
ещё у вавилонян.
Мы
знаем, что в
Древней Греции
не было возможности
записывать
буквами алгебраические
формулы и уравнения.
Кроме того,
большие проблемы
возникали при
операциях с
натуральными
числами. Античные
математики
обошли эту
проблему, переведя
все алгебраические
выражения
первой и второй
степени на
геометрический
язык. Все построения
были планиметрическими.
Видимо,
именно алгебраическими
потребностями
объясняется
столь бурное
развитие планиметрии
в античности.
Платоновы
тела.
В
последней, XIII
книге «Начал»
описываются
построение
и свойства
правильных
многогранников
– тетраэдра,
гексаэдра,
октаэдра, додекаэдра,
икосаэдра.
И
Евклид не просто
описал правильные
многогранники,
но и исследовал
их свойства.
Он нашёл отношения
длин рёбер всех
правильных
многогранников
к диаметру
описанной около
многогранника
сферы.
Более
того, он предложил
способы построения
правильных
многогранников,
вписанных в
сферу данного
диаметра.
Учение
о гармонии.
Ещё
пифагорейцы
знали, что если
высоты звука
относятся как
небольшие целые
числа, то сочетание
звуков будет
приятным,
гармоничным.
Так, отношение
высот 1:2 даёт
музыкальный
интервал, называемый
октавой, отношение
2:3 – даёт квинту,
3:4 кварту. Для
того чтобы
повысить на
квинту звук,
например,
колеблющейся
струны, надо
уменьшить её
длину на 1/3, заставив
звучать оставшиеся
2/3 струны, при
этом частота
колебаний
струны увеличится
в 1/(2/3) раза. А для
повышения звука
на кварту надо
извлечь звук
из 3/4 струны, т.е.
частота колебаний
будет в 4/3 раза
выше частоты
колебаний
основного тона.
Исходя из этого,
можно построить
музыкальную
шкалу.
Первым
точными расчётами
музыкальной
шкалы стал
Архит Тарентский.
Евклид продолжил
его традицию
и изложил учение
о гармонии в
«Сечении канона»
и – частично –
в «Началах».
Список
используемой
литературы.
Научно-теоретический
и методический
журнал «Математика
в школе» №4 2001.
Издательство
«Школа-Пресс».
Другие работы по теме:
Йост, Мишель
Введение 1 Биография 2 Сочинения Йоста 3 Источники Введение Мише́ль Йост (Йос) (фр. Michel Yost; 1754, Париж — 5 июля 1786, там же) — французский кларнетист, композитор и педагог, основоположник французской школы исполнительства на кларнете.
Происхождение геометрии
Text Text Graphics Происхождение геометрии Работа ученицы 7 «Б» класса Нурмиевой Людмилы Graphics Содержание Почему возникла геометрия? Евклид – основатель геометрии
Галерея великих математиков Евклид
Text Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая,падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.
Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М -1 , где - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как
Евклид и его Начала
Реферат На тему: Евклид и его “начала” Выполнил: Гордиенко Павел. СШ №31 2002. План. Евклид и его начало. Евклида алгоритм. 1. Евклид и его “Начала”
Евклид
Реферат по математике ученицы 7 «Б» класса ВЮ лицея Берестовской Дарьи Евклид Евклид – древнегреческий математик (III века до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.
Для чего нужно изучать сочинения устного народного творчества
На уроках украинской литературы мы изучаем сочинения устного народного творчества. Сказки и легенды, поговорки и пословицы, загадки и песни. Но нужны они современному школьнику? Думаю, нужны. Потому что фольклор отображает взгляды народа, его мораль и этику, показывает взаимоотношения с людьми и природой, знакомит с обычаями, традициями, обрядами народа.
Легко или тяжело быть молодым
Автор: Сочинения на свободную тему Я сейчас нахожусь в том возрасте, когда мне еще трудно назвать себя взрослым, но я уже и не ребенок. Меня еще не затронули взрослые проблемы, хотя я часто задумываюсь, кем буду, как сложится моя жизнь, но и в футбол и баскетбол я с детским удовольствием поиграю, забывая, что ростом почти догнал отца.
Делу время, потехе час
Автор: Сочинения на свободную тему Устное народное творчество — самый древний вид искусства. Большое место в нем занимают пословицы и поговорки. Это мудрость народа, прошедшая через века. Наши предки хотели передать свои знания, опыт, навыки нам, пришедшим в этот мир, чтобы мы стали добрыми и умными, справедливыми и хорошими.
День Победы
Автор: Сочинения на свободную тему Вместе с весной пришла на многострадальную землю долгожданная Победа. Слезами радости встретили ее бойцы Великой Отечественной, так же встречаем этот день и мы, их потомки. Страшно представить, сколько пришлось пережить каждому воевавшему. Сейчас все чаще и чаще звучат слова, что надо считать героями всех воевавших.
Мой дедушка - защитник отечества
Автор: Сочинения на свободную тему Передо мной фотография. На ней не высокий, статный мужчина в парадном костюме, которого украшает многочисленные награды. Это мой дедушка – Котов Виктор Сергеевич. Он смотрит на меня своими добрыми глазами. Дедушка прожил долгую, но трудную жизнь. Его юность была опалена войной.
В чем заключается счастье сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему Наверное, нельзя дать однозначного определения счастью, так же, как и любви. Самое короткое из них прозвучало в кинофильме "Доживем до понедельника": "счастье — это когда тебя понимают".
Последний звонок сочинение-этюд
Автор: Сочинения на свободную тему Легкий аромат весенних цветов закрался в мое сознание и заставил проснуться. Сквозь прикрытые глаза вижу залитую солнцем комнату. Солнечный зайчик застыл на выпуклом животе вазы с сочными желтыми цветами. Радость запела у меня в груди: последний день занятий в школе, а дальше — лето, насыщенное приключениями, бездельем, жарой и фруктами.
Первый снег художественное описание
Автор: Сочинения на свободную тему Осень постепенно отдает свои права зиме. Утром уже очень холодно, кое-где появляется первый иней. Днем солнце старается прогреть воздух, но, наверное, ему уже не хватает сил. Во всем ощущается морозное дыхание зимы.
Мой любимый учитель сочинение-миниатюра
Автор: Сочинения на свободную тему Профессия учителя во все времена оставалась наиболее почетной, но в то же время наиболее тяжелой. Умение передать свой опыт молодым, только вступающим в самостоятельную жизнь людям, - это талант.
Стихотворение Книги-наши друзья
Стихотворение "Книги-наши друзья" Автор: Сочинения на свободную тему Все задают себе вопрос, Кто просто шутит, кто всерьез: “Зачем нам книги на Земле?
Моя любимая песня сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему В нашей семье очень любят петь песни и с удовольствием слушают как современную, так и классическую музыку. Просто невозможно представить себе нашу жизнь без песен. Каждый день мы слышим их по радио, телевизору, из окон домов и на концертах. Я долго думал, какую из песен назвать самой любимой? Наверное, это песни "Ты слышишь, море?" на стихи замечательного поэта Михаила Пляцковского.
Моя любимая игрушка
Автор: Сочинения на свободную тему Когда мне было пять лет, в день рождения мне подарили фарфорового тигренка. Он был очень маленький, мог поместиться на ладошке. я захотел взять его и поиграть, но мама сказала, что это не игрушка. Его поставили в шкаф на верхнюю полку рядом с хрустальной вазой. я заплакал, но и это делу не помогло.
Выбор жизненного пути мини-сочинение
Автор: Сочинения на свободную тему Среди десятков и сотен принимаемых человеком решений самую важную роль и влияние играет выбор жизненного пути.Потребность этого выбора возникает тогда, когда человек начинает осознавать себя в обществе и размышлять о своих потребностях.
Как я писала свое первое сочинение
Автор: Сочинения на свободную тему Все люди в своей жизни что-либо делают впервые и запоминают этот момент на всю жизнь. Эх! Помню свой первый класс, как я впервые переступила порог школы и впервые села за парту.Первый класс- самый сложный период в жизни ребенка, он привыкает к новой жизни,начинает делать уроки и становится более самостоятельным человеком.
Волшебная сила искусства
Автор: Сочинения на свободную тему Искусство обогащает нашу жизнь. А один из его видов – литература - встречает нас в самом начале жизненного пути и остается навсегда. Книга, подобно заботливым родителям, воспитывает и учит нас. Читая в детстве сказки, мы начинаем отличать добро от зла, правду от лжи, добродетель от подлости.
Государство будущего и его граждане
Автор: Сочинения на свободную тему В будущем я представляю государство единым на всей планете. Будет одно правительство, которое будет назначаться президентом или иным руководителем. Президент или правитель будет избираться путем голосования всех граждан планеты. Я думаю, что в будущем государстве будет демократия.
Трудовые традиции моей семьи
Автор: Сочинения на свободную тему Тема сочинения подтолкнула меня к размышлениям о нашей семье. Может быть, я впервые задумалась о том, что нас объединяет , какие семейные традиции выработались з амноги годы, кто в главный в семье.
Горе-мечтатель
Автор: Сочинения на свободную тему Есть у меня знакомый Фома, уж такой ленивый, хотя и умный парень. Все мечтает Фома, что кто-нибудь за него будет решать задачи и учить уроки, а он только оценки будет получать. Как-то Фома замечтался, “улетел” в своей фантазии в заоблачные дали... Видится “герою”, что пришел к нему робот, и жизнь Фомы сразу улучшилась.
Что сказала мама
Автор: Сочинения на свободную тему Однажды во время каникул, перед уходом на работу, мама попросила нас с братом убраться в квартире. Мы позавтракали, посмотрели телевизор. Мне позвонили друзья, и мы пошли гулять на улицу. Я катался на велосипеде, потом мы играли в футбол. После обеда гонял на роликах.
Стоит ли читать книги
Автор: Сочинения на свободную тему Книга. Жила-была Книга. Очень умная и мудрая вещь, но многими позабытая. И вот однажды встретился я с Нею: - Здравствуй!
Описание комнаты
Автор: Сочинения на свободную тему Вхожу в светлую теплую небольшую комнату: стол, кровать, шкафы с книгами и игрушками. Это моя комната. Я здесь провожу большую часть времени — делаю уроки, читаю, играю. Моя комната имеет свое лицо: здесь стоят книги, которые необходимы мне в учебе, развивающие меня как личность.
Мой любимый предмет - математика сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему Я часто думаю, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение.
Строцци, Барбара
Введение 1 Биография и творчество 2 Сочинения Введение Барбара Строцци (итал. Barbara Strozzi, иначе итал. Barbara Valle, крещ. 6 августа 1619, Венеция — 11 ноября 1677, Падуя) — итальянская певица (сопрано), прозванная «Виртуознейшей» (итал. Virtuosissima), композитор эпохи барокко.
Иоганн Рюйсбрук
Введение 1 Биография 2 Учение 3 Сочинения 4 Наследие 5 Публикации на русском языке 6 Библиография Введение Иоганн Рюйсбрук или Ян ван Рёйсбрук, прозв. Удивительный или Восхитительный (нидерл. Jan van Ruysbroek; 1293—1381) — фламандский мистик.
Прокопий Газский
(греч. Προκόπιος ο Γαζαίος; ок. 475 — ок. 528) — христианский ритор, богослов и экзегет, глава Газской школы риторики[1]. Сочинения Прокопия Газского включены в 87-й том Patrologia Graeca.
Саккери, Джироламо
Джироламо Саккери (итал. Giovanni Girolamo Saccheri; 1667—1733) — итальянский математик, иезуит, создатель первого наброска неевклидовой геометрии.
Славин, Морис
Введение 1 Биография 2 Сочинения 3 Эссе 4 Публикации Введение Морис Славин (1913, Киев — 2006) — американский историк. 1. Биография Родился в Киеве, на Украине. Жил и преподавал в Огайо, США. Ученый Национального университета Янгстауна, специалист в области истории Франции, работы по истории Французской революции.
Нарбони, Моше
Моше́ бен Иеошу́а Нарбо́ни , известный также как Видаль Биасом , (год рождения неизвестен, Перпиньян, Франция — 1362?) — средневековый еврейский философ, раввин, врач, комментатор Аристотеля, Александра Афродисийского, Аверроэса, Маймонида. Главным местом обитания была Нарбонна, отсюда прозвание Нарбони.