Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)Мр
= 2р
-1 , где р
- простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2
=3, М3
=7, М5
=31, М7
=127
, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11
=2047=23 .
89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2
, М3
, М5
, М7
, М13
, М17
, М19
, М31
. То, что М31
- простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка
установил, что число
3)М127
=170141183460469231731687303715884105727
- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61
=2305843009213693951
является простым. Позднее было установлено, что числа М89
и М107
- простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521
, М607
, М1279
, М2203
, М2281
, М3217
, М4253
, М4423
, М2689
, М9941
, М11213
- простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М216091
имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.
Натуральное число Р
называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р
.
Евклид доказал, что если р
и 2р
-1
- простые числа, то число 4)Рр
=2р-1
(2р
-1)=2р-1
Мр
является совершенным.
Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2р-1
,Мр
,2Мр
, ... ,2р-1
Мр
.
Их сумма Sp
=(1+2+
... +2р-1
)(Мр
+1)
=(2
р
-1) .
2
р
=
2 .
2р-1
Мр
.
Вычитая из S
само число Рр
, убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр
равна этому числу, следовательно Рр
- совершенное число.
Числа Р2
=6
и Р3
=28
были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5
=496
и Р7
=8128
нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:
6)Р13
=33550336, Р17
=8589869056, Р19
=137438691328,Р31
=2305843008139952128.
Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр
имеют очень много цифр.
До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17,
Р19,
Р31
являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17,
Р19
нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.
Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны.Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Рр
начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:
7)Р2
=
110, Р3
=
11100, Р5
=
111110000, Р7
=1111111000000 и т.д.
Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.
Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1 .
Мр
, где Мр
-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.
Другие работы по теме:
Билеты по химии
и частичные ответы на некоторые из них Билет №1 Простые вещества . Количество вещества. Число Авогадро. Качественный анализ анионов и катионов. Билет №2
Квантовые числа
Квантовые числа - энергетические параметры состояния электрона и тип атомной орбитали. Главное квантовое число - n. Орбитальное квантовое число - l. Магнитное квантовое число - ml. Спиновое квантовое число - ms.
Билеты по химии
и частичные ответы на некоторые из них Билет №1 Простые вещества . Количество вещества. Число Авогадро. Качественный анализ анионов и катионов. Билет №2
Счетчики
Это устройства предназначенные для подсчета числа сигналов, поступающих на его вход и фиксация этого числа в виде кода хранящегося в триггерах.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Свойства чисел Периодическая система чисел
© Автор Бутарева Людмила 29 декабря 2006 г. СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЧИСЕЛ. Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Пафнутий Львович Чебышев
Корнет казачьего полка Лев Павлович Чебышев и его супруга дали своему первому сыну, родившемуся 26 мая 1821 года в селе Окатово Калужской губернии, редкое имя Пафнутия. О детстве Пафнутия Львовича – великого русского математика мы знаем очень мало. Грамоте его обучала мама, а французкому и арифметике – двоюродная сестра.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Н.М. Козий, 2008, [UA] Свидетельство Украины № 25256 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Удивительные числа
Этапы развития натуральных чисел. Сущность метода "решето Эратосфена" и проблемы Гольдбаха. Свойства, законы и закономерности фигурных, многоугольных, совершенных, дружественных, компанейских цифр. Мистические представления о значениях 666 и 1001.
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.
Множества
Понятие множества в Паскале очень близко к математическому определению: множество - это совокупность однотипных неиндексированных объектов.
Основы программирования и алгоритмизации
Методика создания программы, которая выбирает лучшей результат и выводит его на экран с сообщением, что это лучшей результат. Анализ процедуры распознавания простых чисел. Алгоритм и текст программы, переписывающей компоненты файла в обратном порядке.
Основы информатики
Общее представление о системах счисления. Перевод чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Разбивка чисел на тройки и четверки цифр. Разряды символов числа. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.
Операции сложения и вычитания
Алгоритм выполнения операции сложения, вычитания. Сложение чисел в столбик. Проверка получившихся результатов, переведение их в другую систему счисления. Перевод числа 128 из 8-й в 10-ую систему счисления и числа 11011101 из 2-й в 10-ую систему счисления.
Коды и системы записи чисел
Запись прямого и обратного кода для числа 10010 и -10010. Получение дополнительного кода числа для 16-разрядной ячейки. Перевод в двоичную систему счисления десятичных чисел: 10, 45, 7, 33. Запись в обратном и дополнительном кодах числа -67, -43, -89.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Численные методы Программа-калькулятор на Pascal
Задание Разработать программу-калькулятор CalcKurs на языке программирования Pascal, реализующую следующие функции: 1. формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;
ГИА алгебра 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Кодификатор элементов содержания по алгебре
Криминалистическое значение следов пальцев рук
Подразделение папиллярных узоров на концевых фалангах ладонной поверхности пальцев рук в зависимости от рисунка, образуемого папиллярными линиями центральной части узора. Типы и схематическая зарисовка папиллярных узоров: дуговые, петлевые, завитковые.