2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение электрической цепи имеет вид
,
где - противо ЭДС, - угловая скорость вала двигателя, - единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
,
где , J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1
=i, x2
=w, x3
=j.
Получим
,
.
Запишем эти уравнения относительно переменных , ,
,
,
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где
, , .
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил
,
где - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения, - сила сопротивления демпфера, - сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и - перемещение и скорость перемещения соответственно.
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
.
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
,
.
Запишем это уравнение в другом виде
,
,
где , , , , .
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.
Рис. 2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи
Рис. 2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при t³t0
, если известны начальные значения: i(t0
), ec
(t0
) и входное напряжение e(t) при t³t0
, следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec
(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec
(t) имеем следующие уравнения
где , .
Введем следующие обозначения
В соответствии с этими обозначениями получаем
причем .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-матричном виде
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где , , , .
Другие работы по теме:
Системы массового обслуживания
Понятие и критерии оценивания системы массового обслуживания, определение ее типа, всех возможных состояний. Построение размеченного графа состояний. Параметры, характеризующие ее работу, интерпретация полученных характеристик, эффективность работы.
О последствиях трансурбанизма и парадигмах геоэтологии
На протяжении 200 лет народонаселение земного шара испытывает вызовы прессинга трансурбанизма. Последствия, свойственные трансурбанизму, обнаруживаются в экономико-географическом пространстве регионов, уровень урбанизации в которых превышает 10 процентов
Система управления подвижным составом
Лабораторная работа № I. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ И СХЕМ ИСПЫТАНИЙ ТЯГОВЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН Цель работы: Изучить и сравнить между собой различные методы и схемы испытаний ТЭМ, получить практические навыки управления испытательными стендами, ознакомиться с принципами их анализа и расчета.
Система управления подвижным составом
Изучение и сравнение различных методов и схем испытаний тяговых электрических машин. Управление испытательными стендами, их анализ и расчет. Экспериментальное измерение и теоретический расчет электромеханических характеристик тягового электродвигателя.
Трансакционный анализ (Э.Берн)
Личность в концепции Берна рассматривается как совокупность особых состояний Эго, проявляющихся в специфических состояниях сознания и образцах поведения. С помощью структур, анализа автор выделяет три основные Эго-состояния.
Анализ САУ с помощью MATLAB и SIMULINK
Построение временных характеристик с помощью пакета Control System В качестве примера выберем апериодическое звено первого порядка Для построения временных характеристик с помощью пакета Control System используются функции step и impulse.
Бытовые приборы
В быту используют разнообразные электрические приборы и машины. По способу преобразования электрической энергии делят на электронагревательные, электромеханические и комбинированные. В электронагревательных приборах электрическая энергия источника питания преобразуется в тепловую энергию, которая используется для полезной работы.
Упорядочить хаос
Исходная точка работы с явлениями - классификация. Классификация двойственна: есть внешняя классификация (как разделение множеств) и внутренняя (как описание структуры элементов - типопредставителей множеств).
Фермионы
Интерференция тождественных частиц. Фермионы.
Оптимальная комбинация ресурсов
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» на тему «Оптимальная комбинация ресурсов» Выполнила: студентка гр. О-060500-31
Общее представление о математическом моделировании экономических задач
1. Общее представление о математическом моделировании экономических задач 1.1. Определение экономико-математической модели Математические модели экономических задач – это совокупность средств: уравнений, комплексов математических зависимостей, знаковые логические выражения, отображающие выделенные для изучения характеристики объекта, реальные взаимосвязи и зависимости экономических показателей.
Математическая модель распределения информации
1 Математическая модель распределения информации Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.
Дискретно-темпоральная модель вселенной
Физические концепции окружающего материального мира весьма условно можно разделить на два класса: эмпирико-феноменолоические и теоретико-математические. Первые не всегда позволяют распространить их на достаточно широкий круг явлений.
Мой любимый предмет - математика сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему Я часто думаю, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение.
ENIAC
Недолгий век электромеханических машин еще продолжался, но новое время уже стучалось в дверь: в середине 1943 года началась работа над созданием первой электронной вычислительной машины. Руководили этой работой американские ученые Моучли и Эккерт.
Информатика
История развития информатики. История компьютера.
Стибиц (Stibitz) Джордж
Стибиц (Stibitz) Джордж, американский математик, создатель одного из первых электромеханических вычислительных устройств - двоичного сумматора.
Эйкен Говард
Эйкен Говард Хатауэй (Aiken Howard Hathaway) (9 марта 1900, Хоубокен, шт. Нью-Джерси - 14 марта 1973, Сент-Луис, шт. Миссури), американский математик, создатель одной из первых электромеханических вычислительных машин "Марк-1".