Пошукова робота на тему:
Наближене обчислення означених інтегралів: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.
План
Наближене обчислення означених інтегралів
Формула прямокутників
Формула трапецій
Формула парабол (Сімпсона)
Наближені методи обчислення інтегралів
В усіх випадках, коли розглянуті раніше методи знаходження первісних, не приводять до мети внаслідок того, що інтеграл не виражається через елементарні функції, і особливо тоді, коли підінтегральна функція задана таблицею (або графіком), доводиться повертатися до означення інтеграла як границі інтегральної суми. На основі цього існує ряд методів наближеного обчислення визначених інтегралів. Тут будуть розглянуті деякі з методів – метод прямокутників, трапецій і Сімпсона як найпоширеніші і широко застосовуваний для програмування обчислень на ПК.
1. Формули прямокутників
Нехай на відрізку задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл
Розіб’ємо відрізок на рівних частин точками довжина кожної з яких дорівнює Через позначимо значення функції в точках і складемо суми
або
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл:
(9.8)
(9.8/)
Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.9.3 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (9.8) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (9.8/) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число (тобто чим менший крок поділу ).
2. Формула трапецій
Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.9.4). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями і заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа
Рис.9.3 Рис.9.4
першої трапеції дорівнює другої - і т.д.,
то
або
(9.9)
Формула (9.9) називається формулою трапецій. Число вибирається довільним, але чим більшим це число буде, а значить, крок меншим, тим з більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (9.9) буде давати значення інтеграла.
3. Формула парабол (Сімпсона)
Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.
Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де - парабола; - деякі параметри (або числа).
Тоді
Нехай тепер маємо інтеграл , де - неперервана на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками , то заданий інтеграл можна записати так:
Якщо на кожному з інтегралів для проміжків функцію замінимо параболами , що проходять через точки ,то одержимо
Через те, що , формула матиме вигляд:
або
(9.10)
Формула (9.10) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень за формулою Сімпсона є такою:
(9.11)
Проте цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо є хоча б чотири рази диференційованою. Але якщо навіть чотири рази диференційована, то часто оцінка четвертої похідної може виявитись досить важкою. Тому на практиці часто користуються таким методом: обчислюють інтеграл, розділяючи інтервал, визначений границями інтегрування, один раз на рівних частин, а другий раз на частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна оцінити і точність обчислень.
Приклад. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл
Р о з в ’ я з о к.За формулою (9.10) маємо:
при при
| | |
|
| | |
| | |
| -0,5 | 0,0000 | | -0,5 | 0,00000 | | 0,05 | 0,0371 |
| -0,4 | -0,1203 | | -0,45 | -0,0946 | | 0,10 | 0,0772 |
| -0,3 | -0,1303 | | -0,40 | -0,1203 | | 0,15 | 0,1200 |
| -0,2 | -0,1081 | | -0,35 | -0,1304 | | 0,20 | 0,1652 |
| -0,1 | -0,630 | | -0,30 | -0,1303 | | 0,25 | 0,2122 |
| 0 | 0,0000 | | -0,25 | -0,1204 | | 0,30 | 0,2607 |
| 0,1 | 0,0772 | | -0,20 | -0,1081 | | 0,35 | 0,3103 |
| 0,2 | 0,1652 | | -0,15 | -0,0881 | | 0,40 | 0,3610 |
| 0,3 | 0,2607 | | -0,10 | -0,0630 | | 0,45 | 0,4121 |
| 0,4 | 0,36098 | | -0,05 | -0,0335 | | 0,50 | 0,4637 |
| 0,5 | 0,46365 | | 0,00 | 0,0000 |
|
|
|
Отже,тому Формулою (9.10) для оцінки похибки скористатися неможливо, бо вже перша похідна підінтегральної функції при перетворюється на нескінченність.
Другие работы по теме:
Використання інтегралів в економіці
Теоретичні відомості, історія виникнення, поняття, сутність, задачі, зміст та основні властивості визначеного інтегралу, аналіз його практичного застосування в економіці. Загальна характеристика взаємозв'язку між визначеним та невизначеним інтегралами.
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Обчислення матричних задач
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ Бердичівський політехнічний коледж Контрольна робота з дисципліни “Числові методи” Виконав: студент групи Пзс-503 Лифар Сергій Олександрович
Математичні методи представлення знань
Загальні формули прямокутників. Похибка методу прямокутників. Площа криволінійної трапеції. Формула парабол (Сімпсона). Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Формула трьох восьмих. Абсолютна похибка обчислення. Наближення підінтегральної функції.
Застосування подвійних інтегралів
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Поверхневі інтеграли
Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
Інтегральне числення
Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
Поверхневі інтеграли
ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ 1. Поверхневі інтеграли першого роду Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів. Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Обчислення матричних задач
Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
Проектування ітераційних алгоритмів
Використання ітерацій для обчислення приблизних значень величин. Розробка ітераційних алгоритмів з перевіркою правильності введення даних. Побудова блок-схеми і програмування мовою Turbo Pascal обчислення значення функції, розкладеної в степеневий ряд.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Аналіз методу чисельного інтегрування, з використанням методу Гауса при обчисленні інтегралу третього, четвертого та п’ятого порядків. Алгоритм та лістинг програми, що розв’язує інтеграл методом Гауса, знаходить похибку, виводить і порівнює результати.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Характеристика основних методів чисельного інтегрування та розв’язання інтегралу методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків. Оцінка похибок та порівняння їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.
Розрахунок диференційної сиcтеми в MatLab
Структурна схема моделі (пакет MATLAB) та її описання. Математична модель у вигляді передавальних функцій, у вигляді диференційного рівняння. Алгоритм рішення (рекурентне співвідношення) та його програмна реалізація. Системи диференційних рівнянь.
Дослідження чисельних методів інтегрування
Дослідження методів чисельного інтегрування Чебишева та Трапеції, порівняння їх точності. Способи розробки програми на компіляторі Turbo C++, яка знаходить чисельне значення вказаного інтегралу. Обґрунтування вибору інструментальних засобів програми.
Розрахунок диференційної сиcтеми в MatLab
Міністерство освіти та науки України Національний технічний Університет “ХПІ” кафедра “Обчислювальна техніка та програмування” Звіт з розрахунково-графічного завдання №1
Інтегрування Нютона-Котеса
ЗМІСТ Методи розв'язування задачі 5 2.1 Архітектура програми 15 2.2 Опис програми 17 2.3 Контрольний приклад та аналіз результатів машинного експерименту 19
Інтеграли зі змінними границями
Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет Механіко-математичний факультет Кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкцій
Формули по тригонометрії
Основні тригонометричні тотожності Формули суми і різниці Формули добутків Формули додавання Формули половинного аргументу Формули скороченого множення
Аналіз та обчислення дужкових виразів
Реферат на тему: Аналіз та обчислення дужкових виразів У розділі 9 розглядалися дужкові арифметичні вирази, мова яких породжується розширеною LA(1)-граматикою G2: