наз. сходящимся, если КК сходимости ЧР:
// Если ряд сходится, то
| 3. Интегральный ПК сх.Р:
| 5. Признак Коши:
| 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Признак Дирихле: Ряд anbn сходится, если:
| 9. Действия над рядами. По определению полагают:
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно. |
| 11. КК РС функ. ряда:
| 13. Признаки РС ф. рядов. Признак Абеля: Ряд сходится равномерно на X, если: 1) Ряд an сх. равн. на X; 2) функции bn(x) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность. Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множестве X, если: 1) Част. суммы an(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn(x) (n=1,2,…) монотонна x и равномерно на X стремится к нулю при n. | 15. Непрерывность и lim пер. Th:{ft; tT}, ft: X C; B-база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке x0X, то функция f: X Cтоже непрерывна в этой точке. Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве. Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве. | 17. Интегрирование и lim. Th: {ft , tT}, ft:[a,b]C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и ft сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b], | 19. Характер сх. ст. ряда. Th: Степенной ряд сходится в круге K={zC| | z – z0 | < R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара: Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. |
| 21. Дифф. и ст. рядов: Th: Если круг KC сходимости ст. ряда не сводится к единственной точке z=z0 , то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем Кроме того, f(z):KC можно интегрировать по любому гладкому пути :[0,1]K, и если
то | 23. Ряд Тейлора. Аналитическая в точке a ф-я f (x) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд Остаточный член в форме Лагранжа: в форме Коши: Основные разложения:
| 25. Алгебры функций. Совокупность A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gA и R(C) следует, что | 27. Теорема Стоуна: Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R). | 29. Теорема Вейерштрасса: Если f C([a,b],C), то {Pn; nN} многочленов Pn:[a,b]C, что Pn сх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fC([a,b],R), то и многочлены Pn можно выбрать из C([a.b],R). |
| 31. Дифф. и непр. собств. (пар). Непрерывность: P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}. Если функция f :PR непрерывна, то ф-я непрерывна в любой точке y[c,d]. Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл принадлежит к классу C(1)([c,d], R), причем | 33. Пр. Вейерш.РС несоб.(пар). Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,] yY. Если x[a,], yY | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл сходится равномерно на Y, то интеграл сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y. | 35. lim перех. под. знаком.н.. Th: Пусть f(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x[a,), и пусть BY -база в Y. Следствие: Пусть yYR вещ. ф-я f(x,y) неотрицательна и непрерывна на x[a,). Если с ростом y ф-ции f(x,y), монотонно возрастая, стр. к (x), C([a,],R) и то справедливо равенство (*). | 37. Дифф. н.(пар). Th: Если а) ф-ции f(x,y), f’y(x,y) непрерывны на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]}, b) интеграл c) интеграл то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F(y) оказывается дифференцируемой и | 39. Интегрирование н.(пар): Если f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]} и интеграл то ф-я F интегрируема на [c,d] и |
| 41. | 43. Ряды Фурье. Если X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {lk}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье: Экстремальное свойство: yL ||x–xl||≤||x–y||. Равенство возможно только при y=xl. Неравенство Бесселя: Равенство Парсеваля: | 45. Гильбертово пр-во. Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность. | 47. Тригонометр. ряд Фурье. Систему экспонент{einx; nN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-,], C) отн. скал. пр-ния в-в. Сопоставляемый ф. f триг.ряд наз. триг.рядом Фурье ф-ции f.
Th:(ТРФ)fR([-,],C)сх.к f в средн.,т.е.f=ТРФ, | 49. Лемма Римана. Если локально интегрируемая ф-я f:[1,2]R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [1,2], то |
| 51. Д.У.сх.ряда Фурье в т. Гов., что f:U0C, заданная в проколотой окр-ти точки xR, удовлетворяет усл. Дини, если а) в т. x оба односторонних предела б) сходится абсолютно следующий интеграл: Th: f:RC – 2-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-,]. Если f удовл. в т. xR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем | 53.Свойства пр-ва CL2[-∞,+∞] _____________ | 55. Преобразование Фурье. называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f:RC. называется интегралом Фурье ф-ции f. Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье. 2. Th: f:RC – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R. Если ф-я f удовл. Усл. Дини в xR, то её Фурье сх. в этой точке к значению Ѕ(f (x-)+f (x+)). | 57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер. f:RC – лок. инт. на Rn ф-ция. Функция называется преобр. Фурье функции f. Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x1,…,xn. | 59. Теорема обращения. Оператор, определяемый равенством называется обратным преорбазованием Фурье. Формула обращения преобразования Фурье: или в форме интеграла Фурье |
| 10. Сх. и РС семейства f(ПАР)
_________________________
| 8. Теорема Римана: Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу. | 6. Признак Лейбница: Условно сходищимся наз. ряд an , если ряд an сходится, а ряд |an| -расходится.(n=1,2,…)
сходится (вообще гов. не абсолютно), если
В этом случае для остатка ряда
имеем оценку
| 4. Признак Даламбера:
| 2. Признак сравнения I:
|
| 20. Теоремы Абеля. Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд сх. в концевой точке x=R интервала сход-ти, то Вторая Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в некоторой точке С, то он сходится равномерно на отрезке с концами z0 ,. | 18. Дифференцирование и lim. Th:{ft , tT}–семейство ft: XC, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {ft’, tT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции :XC, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x0 X, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:XC, причем f’=. | 16. Теорема Дини: Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная. Следствие: Если члены ряда an(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции an: KR и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно. | 14. Условия комм. 2х пр.пер: Th: {Ft ; tT }, Ft: X C; BX – база в X, BT– база в T. Если при базе BT cем-во сх. равн. на X к F: XC, а t
то оба повторных предела и имеет место равенство этих пределов. | 12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда: u1(x)+…+un(x)+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд c1+c2+…+cn+… такой, что |
| 30. Собственные , их интег-е. Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида Если t явл. собственным, то F есть собственный интеграл, зав. от параметра. Th: Если ф-я f : PR непрерывна в прямоугольнике P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}, то интеграл интегрируем на отрезке [c,d] и имеет место рав-во | 28. Компл. вар. теоремы Стоуна: Если комплексная алгебра A функций f :XC не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C). | 26. Банахова Алгебра в С(K). Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством). Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f :KY. | 24. Формула Стирлинга. где Или | 22. Аналит. ф. в действ. обл. |
| 40. Эйлеровы интегралы. | 38. Интеграл Дирихле. | 36. Непрерывность н.(пар): Если а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]}, b) интеграл то ф-я F(y) непрерывна на [c,d]. | 34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н.. Th: Пусть f(x,y), g(x,y) yY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,]. Для равн.сх. интеграла на мн-ве Y достаточно:
| 32. Несоб.(пар), КК РС. Говорят, что несобственный интеграл зав. от пар. yY, сх. равн. на мн-ве EY, если КК: Чтобы несоб. (1) сходился равномерно на множестве EY |
| 50. Ядра Дирихле. Dn называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2-периодично, четно, и, кроме того, | 48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф. а) Если ф-я f(x) четная, то б) если ф-я f(x) нечетная, то Ряд Фурье в комплексной форме: Th(О сх-ти в среднем): f(x)R([-,],C) | 46. Предгильбертово пр-во. Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. | 44. Ортонорм. сист.в-в. Система в-в наз. {ek; kK} ортонормированной, если i,jK < ei ,ej >=i,j, где i,j – символ Кронекера Система {x; A} в-в нормир.пр-ва X наз. полной по отношению к мн-ву E X, если xE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы. В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X. Th: X– лин.пр-во со скал. пр-ем < , >; l1,…,ln,…– кон. или счет.сист.0 вз. ортогон.в-в X. Эквив: a){lk} полна по отн. к E X;b)xE X им.место | 42. Интеграл Пуассона |
| 60. Теорема Планшереля. L2 – пополнение (S,d), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rn. | 58. Пространство S(Rn). S(Rn,C) – сов-ть всех ф-ций fC(∞)(Rn,C), удовлетворяющих условию такие ф-ции наз. быстро убывающими. Если fS, то Более того, | 56. Пр-е Фурье свертки. - Ф-лы, связывающие операции свертки и умножения функций посредством пр.Фурье. | 54. Теорема Фейера. f : RC – 2-периодическая абс. инт-мая на [-,] ф-я. Тогда a) если на E R f равномерно непрерывна, то b) если fC(R,C), то c) если f непрерывна в xR, то __________________________________________ | 52. ДУ РС триг. ряда Фурье. Th: Если f:[-,]C такова, что а) fC(m-1)[-,], mN; b) f (j)(-)=f (j)(), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-,] непрерывную производную f (m) порядка m>=1, то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-,], причем отклонение n-й частичной суммы Sn(x) ряда Фурье от f(x) на всем отрезке [-,] имеет оценку где {n}–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел. |
Признак сравнения II:
