План работы
Введение……………………………...………………….…… 5
§1 Повторные ряды ……………….......................................... 6
§2. Сходимость повторных рядов …………………………... 7
§3. Двойные ряды …………………………………………….. 10
Практическая часть…………………………………………... 13
Заключение…………………………………………………… 14
Литература……………………………………………………. 15
Введение
Рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто новая форма изучения последовательности и ее предела. Но эта форма представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более общего понятия двойных рядов, изучению которых посвящена данная курсовая работа.
§1 Повторные ряды
Пусть задано бесконечное множество чисел
,
зависящие от двух натуральных значков. Представим себе их расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:
(1)
Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной матрицы с двумя входами.
Теперь остановимся на одном понятии, связанном с рассмотрением матриц вида (1) – понятии повторного ряда.
Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последовательность рядов вида:
. (2)
Просуммировав теперь эту последовательность вторично, будем иметь
. (3)
Полученный символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т.е. если суммировать члены нашей бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный ряд
. (4)
§2 Сходимость повторных рядов
Повторный ряд (3) называется сходящимся, если, во-первых, сходятся все ряды по строкам (2) (их суммы , соответственно обозначим через ) и, во –вторых, сходится ряд
;
его сумма и будет суммой повторного ряда (3). Легко перефразировать все это и для ряда (4).
Элементы матрицы (1) можно многими способами представить в виде обыкновенной последовательности
(5)
и по не составить простой ряд
. (6)
Обратно, если имеем обыкновенную последовательность (5), то разбив все его члены (не считаясь с их месторасположением) на бесконечное множество бесконечных групп, можно ее представить многими способами в виде матрицы с двумя входами (1), и по этой матрице составить повторный ряд (3). Естественно встает вопрос о связи между рядами (6) и (3), состоящих из одних и тех же членов.
Теорема 1. Если ряд (6) сходится абсолютно к сумме , то, как бы ее члены не расположить в виде матрицы (1), сходится и повторный ряд (3), причем имеет ту же сумму.
Доказательство. Ряд
(6*)
по предположению, сходится; обозначим его сумму через .
Тогда, прежде всего, при любых и ,
,
откуда следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда (при любом ).
Далее, для любого числа найдется такое число , что
, (7)
следовательно, и подавно
. (8)
Члены ряда (6) содержатся в первых строках и первых столбцах матрицы (1), если и достаточно велики, скажем, при и . Тогда для указанных и выражение
представляет сумму группы членов с номерами, большими , и ввиду (7) по абсолютной величине . Переходя к пределу при , получим (для )
,
так что – в связи (8) –
,
откуда следует сходимость повторного ряда(3), и именно к сумме .
Обратная теорема имеет место лишь при усилении предположений о повторном ряде.
Теорема 2. Пусть дан повторный ряд (3). Если по замене его члено их абсолютными членами получается сходящийся ряд, то сходится не только ряд (3), но и простой ряд (6), состоящий из тех же членов, что и ряд (3), расположенных в любом порядке, и притом – к той же сумме.
Так как, очевидно, все сказанное о повторном ряде (3) справедливо и для повторного ряда (4), то как следствие из доказанных теорем получается следующее важное предложение, которое часто бывает полезно.
Теорема 3. Пусть дана матрица (1). Если по замене членов ряда (3) их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходятся оба повторных ряда (3), (4) и имеют ту же сумму:
.
§3. Двойные ряды
С бесконечной прямоугольной матрицей (1) связано и понятие двойного ряда. Так называется символ
(10)
Ограничившись первыми столбцами и первыми строками, рассмотрим конечную сумму
называемую частичной суммой данного двойного ряда. Станем увеличивать числа и одновременно, но независимо друг от друга, устремляя их к бесконечности. Предел (конечный или бесконечный)
называют суммой двойного ряда, и пишут
.
Если ряд (10) имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.
На двойные ряды легко перенести теоремы об умножении членов сходящегося ряда на постоянное число и о почленном сложении и вычитании двух сходящихся рядов.
Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо стремление к 0 общего члена:
.
Естественно сопоставить двойной ряд (10) с повторными рядами (3) и (4), рассмотренными выше. Так как
,
то, переходя здесь при фиксированном к пределу при ( в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим
.
Теперь ясно, что сумма повторного ряда (3) есть не что иное, как повторный предел
.
Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (10) и 2) сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд
.
Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (4).
Вопрос о сходимости двойного ряда (10) просто решается для случая положительного ряда, т.е. ряда с неотрицательными членами.
Теорема 5. Для сходимости ряда (10), если , необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.
Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (1), а значит и в ряде (10), есть бесконечное множество как положительных и отрицательных элементов.
Кроме матрицы (1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов.
и по этой матрице составим двойной ряд
. (10*)
Теорема 6. Если сходится ряд (10*), то и ряд (10) сходится.
Если одновременно с рядом (10) сходится и ряд (10*), то ряд (10) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (10) сходится, а ряд (10*) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.
Практическая часть
1) Показать, что если , , , , , .
2) Обращением ряда (где ) в двойной ряд показать, что он равен
Решение:
1)
,
,
.
Рассмотрим сумму по строкам:
Рассмотрим сумму по столбцам:
Заключение
Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.
В данной курсовой работе введено понятие двойных и повторных рядов. Рассмотрена теория сходимости двойных и повторных рядов.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высш. шк., 1999.
3. Ильин В.А. и др. Математический анализ. – М.: Изд-во МГУ, 1987.
4. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2. – Айрис-пресс, 2006.
5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Основные операции анализа. Ч. 1. – М: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963.
6. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2005.
Другие работы по теме:
Синонимия в молодежном жаргоне
Синонимия в молодежном жаргоне представлена достаточно широко (нами выявлено 316 синонимических рядов). Количество жаргонизмов, входящих в синонимические ряды, составляет свыше 1 300 единиц.
Ряды динамики в анализе социально-экономического явления
Построение и анализ рядов динамики для выявления и измерения закономерности развития общественных явлений во времени. Характеристика степени занятости населения в сфере транспорта и связи по системе цепных показателей: фактору полноты и выражению уровня.
Статистический анализ
Порядок проведения анализа распределения элементов статистического и динамического ряда. Методы вычисления основных статистических параметров. Корреляционная зависимость. Уравнение регрессии. Обобщение статистических данных и статистический анализ.
Социологические исследования
Влияние экономического положения студентов на учебный процесс Содержание I.Программа исследования. Введение Раздел I. Основные теоретические понятия. Объект и предмет исследования
Исследование оперативной памяти
Методика применяется для изучения оперативной памяти в тех случаях, когда она несет основную функциональную нагрузку. Порядок проведения Испытуемому вручается бланк, после чего экспериментатор дает следующую инструкцию.
Alcatrazz
Свою музыкальную карьеру Грэм Боннет (р. 23 декабря 1947, Скегнесс, Англия) начинал в 1970-х годах в группе "Marbles". Однако известность он получил, когда его пригласил к себе в " Rainbow" Ричи Блэкмор.
Holy Terror
Стояло жаркое лето 1985 года, когда гитарист Курт Килферт решил покинуть ряды "Agent steel". Последней каплей, подвигнувшей его на этот шаг, стала потасовка на концерте в Сан Педро, где "Агенты" выступали вместе с "Abattoir".
Манежная площадь: историческая справка
Ближайшие окрестности Красной площади - в том числе и Манежная площадь, принадлежат к наиболее посещаемым москвичами местам уже четыре века. Первые упоминания о Манежной площади появились 500 лет назад.
Гангрена легкого
Гангрена легкого прогрессирующий гнилостный распад паренхимы легкого под влиянием анаэробной инфекции.
Выпадение прямой кишки
Выпадение прямой кишки заболевание, при котором прямая кишка выворачивается через задний проход наружу. Различают выпадение слизистой оболочки и полное выпадение всех слоев стенки прямой кишки.
Варикозная болезнь. Лечебная тактика
Первым этапом лечения является, как правило, оперативное вмешательство или флебосклерооблитерация. При ХВН параллельно назначают консервативное (компрессионное и фармакологическое) лечение.
Кровохлебка лекарственная
Кровохлебка лекарственная— многолетнее травянистое растение семейства розоцветных с укороченными вегетативными и удлиненными генеративными побегами, развивающимися в пазухах розеточных листьев.
Числовые ряды
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые ряды Содержание Лекция. Числовые ряды 1. Определение числового ряда. Сходимость 2. Основные свойства числовых рядов 3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Исторические сведения о развитии тригонометрии
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИИ ТРИГОНОМЕТРИИ Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии.
Числовые ряды
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
Статистические ряды распределения
ВАРИАНТ №5 Тема: «Статистические ряды распределения» имеются данные о стоимости основного капитала 65 фирм: Распределить фирмы по стоимости основного капитала, построить вариационный ряд.
Сочинение-описание помещения
Наш класс Наша классная комната большая, светлая, просторная. В ней трое больших окон. Справа от дверей стоят книжные шкафы. Их пять, и каждая заполнена книгами, журналами, газетами. В классе в три ряды стоят деревянные столы с двумя стульями около каждого. У окна — учительский стол. Он украшен белой с красным орнаментом скатертью.
Буря 2
Автор: Языков Н.М. Громадные тучи нависли широко Над морем и скрыли блистательный день. И в синюю бездну спустилась глубоко И в ней улеглася тяжелая тень; Но бездна морская уже негодует, Ей хочется света, и ропщет она, И скоро, могучая, встанет, грозна, Пространно и громко она забушует. Великую силу уже подымая, Полки она строит из водных громад, И вал-великан, головою качая, Становится в ряд, и ряды говорят; И вот, свои смуглые лица нахмуря И белые гребни колебля, они Идут.
Кем быть?
Все работы хороши выбирай на вкус. Значит это общество нуждается в коренной перестройке. И перестраивать его придётся нам, молодым людям. А для этого необходимо учиться. Так может быть стать профессиональным революционером чтобы разорвать этот круг?
Торговые ряды в Ростове
Торговые ряды в Ростове – огромный комплекс, состоящий из построенных в разное время и в разном стиле зданий, занимающих значительное место в центре Ростова, рядом с Архиерейским двором.
Новозеландская чернеть
Введение 1 Описание 2 Распространение 3 Местообитание и питание 4 Размножение Список литературы Введение Новозеландская чернеть[1] (лат. Aythya novaeseelandia) — птица семейства утиных.
Бобрищев, Иван Дмитриевич
Введение 1 Биография Список литературы Введение Ива́н Дми́триевич Бобри́щев (также Иван Бобров, Бобр, упомянается и как Юшка) (годы рождения неизвестен — год смерти не позже 1556) — постельничий или печатник (по разрядным книгам), основатель палат в Зарядье, переданных позже англичанам.
Монтаньяры
Монтанья́ры , Гора (фр. Montagnards — горцы) — политическая партия, образовавшаяся во время Великой французской революции. С открытия Законодательного собрания (1 октября 1791 года) Монтаньяры заняли верхние ряды левой стороны, откуда и произошло название их партии — Гора (la montagne). В дальнейшем в Конвенте партия эта состояла из парижских депутатов, выбранных под влиянием 10 августа; вождём её был Дантон; к ней примыкали Марат, Колло д'Эрбуа, Бийо-Варенн, Мерлен из Дуэ, Базир, Шабо.
Декурион
(Decurio) 1) представитель декурии, главным образом начальник декурии всадников (decurio equitum); 2) член муниципального совета (куриал). В IV в. н.э. декурионы образовали в провинциях наследственную аристократию в связи с поземельной собственностью. В эпоху падения империи этот класс занимал почти все должности и был ими совершенно подавлен.
Передача Гонконга КНР
(официально «передача суверенитета над Гонконгом Китайской Народной республике»; 1 июля 1997 г.) стало частью деколонизационного процесса в Великобритании. Британский Гонконг перестал существовать. Гонконг стал первым административным регионом Китая в рамках политики Одна страна - две системы, гарантированной до 2047 г.
Вокоу
вокоу (倭寇) — японские пираты, ронины и контрабандисты, которые разоряли берега Китая и Кореи с XIII по XVI века. Пираты XIV-XV веков Первоначально отряды морских грабителей комплектовались из обнищавших японских рыбаков. Позднее в их ряды влились прочие социальные группы, обездоленные эпохой безвременья (Сэнгоку Дзидай).
Ирландские добровольцы
Ирла́ндские доброво́льцы (ирл. Уglaigh na hЙireann) — военная организация, основанная 25 ноября 1913 года ирландскими националистами, чтобы «обеспечить безопасность и поддержку прав и привилегий всем людям Ирландии»; прямая предшественница Ирландской Республиканской Армии.
Причины февральской революции
Происходит рост недовольства народных масс как в тылу, так и нафронте. Это обусловлено несколькими причинами: 1. Ухудшается материальное положение народа: правительством устанав-ливаются низкие закупочные цены на сельскохозяйственную продукцию, что при-водит к ее сокрытию крестьянами и нехватке продовольствия.
Легион, когорта и их боевой порядок во времена Цезаря
В последний век республики, после реформ Мария легион состоял из десяти когорт, когорта из трех манипул, манипула из двух центурий. Нормальный состав легиона был 6000 человек, но в действительности число солдат в нем было часто ниже.
Причины февральской революции
Происходит рост недовольства народных масс как в тылу, так и нафронте. Это обусловлено несколькими причинами: 1. Ухудшается материальное положение народа: правительством устанав-ливаются низкие закупочные цены на сельскохозяйственную продукцию, что при-водит к ее сокрытию крестьянами и нехватке продовольствия.
Разложение в ряды Тейлора
Министерство образования Российской Федерации Нижегородский государственный университет Имени Н.И. Лобачевского Факультет ВМК Разложение в ряды Тейлора