Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. 
.
Найдем производную, когда 
.
Зададим приращение аргументу 
, что даст 
. Так как
, а 
, то
Отсюда 
и 
,
то есть 
. Если 
, результат тот же.
2. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
3. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
4. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
5. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
6. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и
,
то есть 
. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим 
: 
. Значит, 
.
8. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то 
. Отсюда
и 
, то есть 
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : 
. Значит, 
.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если 
, то 
.
Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке 
имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную 
равную 
, то есть 
.
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: 
. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть 
, откуда 
. Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее 
. Отсюда
,
то есть 
.
11. 
.
Так как
, то 
. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее
.
Отсюда 
, то есть 
.
13. 
.
Так как
, то 
.
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция 
и при этом 
. Тогда исходную функцию можно представить в виде 
. Функции такого типа называются сложными. Например, 
.
В выражении аргумент 
называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция имеет производную в точке 
, а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть 
.
Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к 
. Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к 
. Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к 
. Так как согласно условию теоремы функции 
и 
имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если 
, то и 
, что, в свою очередь, вызовет стремление 
к нулю.
Составим 
. Отсюда,
и, следовательно, .
Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где 
, а 
, или 
, то, соответственно, 
и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки 
. При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: 
где 
. Для каждого значения 
из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.
Если функция 
взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти 
. Подставляя в , получим 
, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям 
и 
в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции 
Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение 
.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку на окружности с радиусом 
. Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности 
.
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса – 
. Отсюда 
. Возьмем две точки 
и 
на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что 
. Подставим это выражение в : 
. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом 
. Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса 
. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция от задана параметрически: где 
. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом 
. Найдем 
.
Составим отношение 
. Тогда
.
Следовательно, 
. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.