Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования,
644077 Омск, пр. Мира,55-A
Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок , заданный семейством подмножеств An, для которого выполнены условия: (1) ; (2) если , то ; (3) если , то . Несвязность порядка означает, что . Предполагаем далее, что верно следующее: (i) ; (ii) для любой .
Замечание 1. Для любого множества A, будем через , int A, и обозначать соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.
Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:
где lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку . Считаем далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что семейство внешних конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм , для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки , назовем порядковым -автоморфизмом. Множество всех порядковых -автоморфизмов будет группой, которую обычно обозначают . Подгруппа группы , сохраняющая фиксированную точку , обозначается .
Порядок называется - однородным или гранично однородным, если для любых найдется такой, что f(x)=y.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть , n>2, инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1) существует семейство равных и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной такое, что для любых и ;
(2) порядок - гранично однородный.
Тогда любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Доказательство .
Для любой точки рассмотрим следующее множество
где объединение берется по всем -автоморфизмам f из стабилизатора таких, что f(v) = uo .
Нетрудно видеть, что , так как тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит и для него имеем: id(u0) = u0, и поэтому . В частности, , , так как для любого f(e) = e.
По условию (1) и, кроме того, если , то
то есть семейство сохраняется -автоморфизмами из .
Замечание 2. Не следует думать, что в определении множества , , f(v) = x точка v- фиксированная. Точка , то есть v- точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим далее множества
Легко видеть, что (здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки , имеем (семейство задает порядок в An). Поэтому для , f(v) = u0 имеем и . Если же то и . Это противоречит тому, что . Значит для любой точки .
Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что , , где , - полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy, по компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с непустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие по компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с некомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе . Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что , а и также , , что противоречит выбору Tx.
Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то и , что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть - эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства и такие, что , . Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что и множество - компактно. Если теперь точка , то . Поскольку и порядок - гранично однородный, то для любой точки будет верно следующее:
Действительно, вследствие граничной однородности порядка для любых точек найдется такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но , поэтому и, следовательно, .
Покажем теперь, что наш порядок будет максимально линейчатым, то есть для любой точки имеем . Предположим, что это не так и найдется точка такая, что луч не лежит полностью в Qe, то есть .
Если , то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть , точка, которая вместе с некоторым шаром с центром в точке v0 положительного радиуса лежит в . Точка , значит найдется такое, что шар имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку . Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где , вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где , так как , , . В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества .
Пусть точка . Тогда по доказанному выше (см. ()), но, поскольку , множество содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (). Значит порядок - максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть , n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство внешних конусов порядка является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.
Тогда любой порядковый -автоморфизм будет преобразованием Лоренца.
Список литературы
Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.
Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.
Другие работы по теме:
Управління і контроль у галузі охорони атмосферного повітря
Функції управління та моніторинг в галузі охорони атмосферного повітря. Нормативи, передбачені атмосфероохоронним законодавством. Державна екологічна та санітарно-гігієнічна експертиза, запобігання негативному впливу на стан атмосферного повітря.
Право громадян на безпечне навколишнє природне середовище
Право на екологічну безпеку. Об’єкт права — навколишнє природне середовище. Характеристика безпечного довкілля. Система нормативів екологічної безпеки та атмосферного повітря в Україні. забезпечення санітарного та епідемічного благополуччя населення.
Квантовые числа
Квантовые числа - энергетические параметры состояния электрона и тип атомной орбитали. Главное квантовое число - n. Орбитальное квантовое число - l. Магнитное квантовое число - ml. Спиновое квантовое число - ms.
Электромагнитное взаимодействие
Электромагнитное взаимодействие Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всё, что мы видим, построено из элементарных частиц, есть такие кирпичики мироздания. На макроскопическом уровне много взаимодействий, на самом деле, в основании всего лежит четыре типа фундаментальных взаимодействий.
Машины для земляных работ
Сущность процесса и способы уплотнения грунтов. Трамбующая машина, прицепные вибрационные, прицепные и полуприцепные статические катки. Разновидности грунтоуплотняющих машин и области их применения. Необходимость работы катков в специфических условиях.
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Уравнения поверхности и линии в пространстве Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О1 на расстоянии R.
Аффинные преобразования на плоскости
ПГУ им. Т.Г.Шевченко Курсовая работа. Тема: Аффинные преобразования на плоскости. Выполнила студентка 110 гр. физико-математического ф-та Пельтек Е.С.
Аффинные преобразования
Понятие о геометрическом преобразовании. Роль движений в геометрии. Применение аффинных преобразований при решении задач. Свойства аффинного преобразования. Транзитивность, рефлексивность и симметричность. Свойство перспективно-аффинного соответствия.
Интересные примеры в метрических пространствах
Интересные примеры в метрических пространствах: 1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Трансформация преобразований
Понятие трансформации преобразований. Трансформация движения движением. Трансформация гомотетии движением. Трансформация гомотетии гомотетией. Трансформация движения гомотетией. Трансформация подобия гомотетией.
В чем трагедия Катерины по драме Островского Гроза
В пьесе А. Н. Островского «Гроза» изображена эпоха 60~х годов девятнадцатого столетия. В это время в России назревают революционные выступления народа. Они направлены на. улучшение жизни и быта простых людей, на свержение царизма. Произведения великих русских писателей и поэтов также участвуют в этой борьбе, среди них и пьеса Островского «Гроза», которая потрясла всю Россию.
Взгляды Чацкого и Фамусова
Автор: Грибоедов А.С. Отношение к народу и крепостному праву Век нынешний: Чацкий выступает против тех людей, которые являются столпами дворянского общества, выступает против порядков екатерининского века.
Метод конечных разностей
Ознакомление с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра. Определение конечных разностей первого и второго порядков функции. Программная реализация и график исследуемой функции. Рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения.
Коронационный альбом Елизаветы Петровны
Введение 1 История издания 2 Оформление альбома 3 План Введение издания 4 Переиздание 5 Источники Введение Коронацио́нный альбо́м Елизаве́ты Петро́вны — церемониальный альбом, изданный по случаю официального вступления на престол российской императрицы Елизаветы Петровны.
Гендерная история
— научная дисциплина, центральным предметом изучения которой является история взаимодействия мужского и женского опыта как одного из наиболее важных аспектов социальной организации, его влияния на формирование социальной действительности и её изменений в пространстве и времени. Своим появлением гендерная история обязана интенсивному развитию феминистических исследований в 1970-е годы.
Бэлэчану, Эманоил
Эманоил (Манолаке) Бэлэча́ну (рум. Emanoil Bălăceanu, ? — 1 мая 1842) — румынский землевладелец и мыслитель, социалист-утопист (фурьерист).
Поход на Версаль
Поход на Версаль , известный также как поход женщин на Версаль поход женщин за хлебом — массовое выступление парижан 5 октября 1789 года к королевской резиденции в Версале с целью недопущения реставрации абсолютистских порядков.
Политическая реакция
Реакция в политике политическая реакция — общественное движение в направлении, резко противоположном предшествовавшему или современному общественному строю, если такой строй считается наиболее прогрессивным. Реакцией также называется движение за сохранение и укрепление существующих порядков и подавление любых революционных или оппозиционных сил.
Гайдуки личная охрана аристократии
Гайдуки — воины личной охраны местных правителей, аристократов. Придворные гайдуки — охрана русских царей. Упоминание придворных гайдуков как телохранителей встречается в России с XVII по XIX века. Гайдуки были вольнонаемными. Дети гайдуков часто получали университетское образование. Придворные гайдуки участвуют в праздничных церемониях (коронациях, бракосочетаниях) в непосредственной близости от царственных особ.
Способы сжатия текста
КАК ПИСАТЬ ИЗЛОЖЕНИЕ Три основных способа сжатия (компрессии) текста Выделяют три основных способа сжатия (компрессии) текста : исключение,обобщение,упрощение.
Впив шкідливих речовин на життя і здоров я людини
Реферат на тему: ВПЛИВ ШКІДЛИВИХ РЕЧОВИН НА ЖИТТЯ І ЗДОРОВ’Я ЛЮДИНИ Для створення нормальних умов виробничої діяльності необхідно забезпечити не лише комфортні метеорологічні умови, а й необхідну чистоту повітря. Внаслідок виробничої діяльності у повітряне середовище приміщень можуть надходити різноманітні шкідливі речовини, що використовуються в технологічних процесах.
Маргінальна продуктивність виробництва
У бізнесі маргінального продуктивністю виробництва називають гранично можливу продуктивність при умові постійного відтворювання виробництва. Кількість та якість кінцевого випуску будь-якої продукції фірми залежить від багатьох факторів, які фірма може змінювати. Найбільш важливі фактори – продуктивність праці та вкладений у виробництво капітал.