Аффинные преобразования на плоскости

ПГУ им. Т.Г.Шевченко

Курсовая работа.

Тема: Аффинные преобразования на плоскости.

Выполнила студентка 110 гр.
физико-математического ф-та
Пельтек Е.С.

Руководитель: Малютина Н.Н.

Тирасполь,2008г.

Оглавление:

Введение.

AФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Определение аффинных преобразований.

Пусть в плоскости задана произвольная аффинная система координат Ое1е2. Если, наряду с этой («старой», или «исход­ной») системой координат, задать также совершенно произвольную «новую» аффинную координатную систему Ое1е2.,то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке М плоскости ставится в соот­ветствие точка М', которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в старой системе. Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным.

Замечание 1. Если исходный репер считать раз навсегда данным, то возможные аффинные преобразования плоскости взаимно однозначно соответствуют различным реперам Ое1е2., которые можно выбрать на плоскости (соответ­ственно в пространстве). Тем из этих реперов, которые одноименны с исходным, соответствуют аффинные преобразования, называемые собственными; реперы, не одноименные с исходным репером, опреде­ляют несобственные аффинные преобразования.

Замечание 2. Совершенно так же, как мы определяли аффин­ное преобразование плоскости (т. е. аффинное взаимно однозначное отображение плоскости на себя), мы можем определить взаимнооднозначное аффинное отображение одной плоскости π на другую плоскость π’: для того чтобы задать такое отображение, надо взять два репера: репер Ое1е2 в плоскости π и репер Ое1е2 в плоскости π '.

Определяемое этими данными отображение — аффинное отображе­ние плоскости π на плоскость π '- состоит в том, что каждой точке М плоскости π ставится в соответствие та точка М' плоскости π ', которая относительно репера Ое1е2 имеет те же самые координаты, которые точки М имели относительно репера Ое1е2.

2.Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований.

Возьмем на плоскости какой-нибудь вектор М0М1. При аффинном преобразовании точки М0, М1 переходят соответственно в точки М0', М1′, имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки М0, М1 имели относительно старого. Так как координаты вектора получаются вычитанием координат его начальной точки из координат его конца, то координаты вектора М0М1 относительно нового репера те же, что и координаты вектора М0М1 относительно старого репера. Итак:

1.При аффинном преоб­разовании вектору u= М0М1 ставится в соответствие век­тор и' = М'0М1′, имеющий от­носительно нового репера те же координаты, которые вектор u имел относитель­но старого.

Отсюда сразу следует, что при аффинном преобра­зовании равным векторам соответствуют равные, так что:

2. Аффинное преобразование плоскости порождает взаимно однозначное отображение на себя (преобразование) много­образия V всех свободных векторов плоскости.

Это преобразование обладает следующим свойством линейности: если при данном преобразовании векторам u, v соответствуют векторы u', v', то вектору и u+v будет соответствовать вектор u'+v', а век­тору λu- вектор λu'

Из свойства линейности вытекает, далее:

3.Еcли при данном аффинном преобразовании векторам u1,…,u′n соответствуют векторы u′1, . . ., u'n, то всякой линейной комбинации λ1u1+λ2 u2+…+λnun векторов u1,…,un соответствует линейная комбинация

λ1u′1+λ2 u′2+…+λnu′n

векторов u'1, ... , u'n (с теми же коэффициентами λ1 , λ2, ... ,λn).

Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из доказанного следует:

4. При аффинном преобразовании линейная зависимость векторов сохраняется (и, значит, всякие два коллинеарных вектора переходят в коллинеарные)

5. Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.

В самом деле, если данное аффинное преобразование А плоскости задается переходом от репера Ое1е2 к реперу О′е1′е2′, то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера О′е1′е2′, к реперу Ое1е2, есть как легко видеть преобразование, обратное данному преобразованию А.

Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зависи­мость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независимость векторов:

6. При аффинном преобразовании А всякая линейно независимая

система векторов u1, u2,… переходит в линейно независимую – в противном случае при аффинном преобразовании А-1 обратном к А, линейно зависимая система u1′, u2′,… перешла бы в линейно неза­висимую, что, как мы знаем, невозможно.

Так как репер есть система линейно независимых векторов приложенных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер переходит в репер. Более того, имеет место предложение

7. При аффинном отображении (заданном переходом от репера I реперу I′) всякий репер II переходит в репер II' и всякая точка М (всякий вектор u) переходит в точку М' (в вектор u') с теми же координатами относительно репера II', какие точка М и вектор u имели относительно репера II.

Доказательство. Пусть II есть репер Оε1ε2,а II' — репер О′ε1′ε2 ′.Докажем сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор u имеет относительно репера Оε1ε2 координаты ξ,η,то u=ξ ε1′+η ε2 ′. Но тогда образ вектора и есть, по свойству 3, вектор

u′= ξ ε1′+η ε2 ′,

имеющий координаты ξ, η относительно репера О′ε1′ε2 ′. Пусть точка М имеет координаты ξ, η относительно репера Оε1ε2.Тогда oM= ξ ε1+η ε2, так что, по предыдущему, относительно репера О′ε1′ε2 ′ вектор о'М', а значит, и точка М' имеют координаты ξ, η. Утвер­ждение доказано.

Доказанное утверждение является существенным: из него сле­дует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь репера Oe1e2 к реперу О′ε1′ε2 ′, мы можем задать его, взяв в качестве исходного любой репер Оε1ε2 и указав тот репер О′ε1′ε2 ′, в который он должен перейти.

В качестве приложения только что сделанного замечания дока­жем, что произведение двух аффинных преобразований А1 и А2 есть аффинное преобразование.

В самом деле, пусть аффинное преобразование А1 задается переходом от репера I к реперу II. Аффинное преобразование А2 мы можем, по только что доказанному, задать переходом от репера II к какому-то реперу III. Тогда аффинное преобразование, зада­ваемое переходом от репера I к реперу III, есть, очевидно, произ­ведение А2А1 преобразования А1 на преобразование А2.

Три точки Ml М2 М3 тогда и только тогда, когда коллинеарны (т. е.

лежат на одной прямой), когда векторы М1М2 и М2М3 коллинеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вы­текает:

8. При аффинном отображении прямая переходит в прямую.

Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта.

Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе Oe1e2) переходит в точку М', имеющую те же координаты во второй системе О′е1′е2′. Отсюда следует:

9. При данном аффинном отображении (определенном переходом от репера Ое1е2 к реперу О′е1′е2′) множество всех точек, координаты которых (в координатной системе Ое1е2) удовлетворяют некоторому уравнению, переходит в множество точек, координаты которых в системе О′е1′е2′ удовлетворяют тому же уравнению.

В частности, прямая с уравнением

Ах + Ву + С = 0

(в системе Ое1е2 перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, но только в системе координат О'е'1е'2.

Теорема 1. При аффинном преобразовании плоскости прямые переходят в прямые, плоскости пере­ходят в плоскости.

При этом сохраняется параллельность.

В самом деле, если две прямые параллельны, то их уравнения относительно репера Ое1е2 удовлетворяют известным условиям параллельности; но образы этих прямых имеют те же уравнения относительно репера О'е'1е'2 и, значит, удовлетворяют тем же условиям параллельности.

Теорема 2. При аффинном преобразовании плоскости, переводящем прямую d в прямую d′, отрезок М0М1 прямой d переходит в отрезок М'0М1′ прямой d', а точка М прямой d, делящая отрезок М0М1 в данном отношении λ переходит в точку М' прямой d', делящую отрезок М'0М1′ в том же отношении λ.

Доказательство. Так как при положительном λ мы получим точки, лежащие внутри отрезка М0М1(соответственно М0′ М1′), а при отрицательном – вне отрезка, то из второго теоремы 2 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы 2. Пусть в системе координат Ое1е2 имеем М0=(x0,y0),

М1=(x1,y1), М=(x,y). Так как точка М делит отрезок М0М1 в отношении λ, то

; (1)

При данном аффинном преобразовании точки М0, М1,М перейдут в точки М0′ , М1′, М′ с теми же координатами, что и у точек М0, М1,М, но только в координатной системе О'е'1е'2. Эти координаты по-прежнему связаны соотношениями (1), из которых следует, что М′ делит отрезок М0′ М1′ в отношении λ. Этим теорема доказана.

3.Аналитическое выражение аффинных преобразований (формулы перехода).

Задача: Как зная параметры одной системы относительно другой можно определить положение точки в обеих системах координат( т.е. как найти формулы переходе от одной системы(старой) к другой новой системе.

Рассмотрим случаи преобразования для аффинных систем координат.

Пусть дана система R={О, (е1, е2)} и пусть в ней задана М=(x,y)R, О(0,0)R- координаты начала. е1(1,0)R, е2(0,1)R – координаты базисных векторов.

Пусть задана вторая система координат R′={О, (е1′, е2′)}, причем известны параметры, определяющие новый базис и новое начало координат через старую систему координат, т.е. О′(x0,y0)R , е1′(С11,С12)R, е2′(С12,С22)R

Поставим задачу найти координаты точки М в новой системе координат(М(x′,y′)R′). Обозначим неизвестные координаты точки М(x′,y′).

Для трех точек О,О′,М: О′М=О′О +ОМ. О′М – радиус вектор точки М в новой системе координат, значит, его координаты будут совпадать с координатами вектора О′М в системе R′ (О′М↔МR′)=>О′М(x′,y′)R′=> О′М=x′e1′+y′e2′ (1); О′О - радиус вектор точки О′ в системе R′, т.е. его координаты будут совпадать с координатами О′О↔ О′R=> О′О(x0,y0)R => О′О= x0e1+y0e2 (2); ОМ↔ МR=> ОМ=xe1+ye2 (3). Т.о. вектор О′М=ОМ −ОО′ после подстановки в данное векторное равенство разложения (1),(2) и (3) будет иметь вид:

x′e1′+y′e2′= xe1+ye2−(x0e1+y0e2) (4); т.к. в условии заданы параметры, определяющие координаты новых базисных векторов через старый базис, получим для новых базисных векторов следующие векторные равенства:

е1′(С11,С12)R=> е1′= С11e1+С21e2;

е2′(С12,С22)R=> е2′= С12e1+С22e2; (5)

Подставим (5) в левую часть (4) и сгруппируем относительно базисных векторов е1 и е2.

x′(C11e1+C21e2)+y′(C12e1+C22e2)- xe1-xe2+x0e1-ye2+x0e1+y0e2=0.
(x′C11+ y′C12e1-x+x0)e1+ (x′C21+y′ C22-y+y0)e2=0.

Т.к. (е1,е2) образуют базис, то это линейнонезависимая система, для которой последнее векторное равенство выполняется при условии, что все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. при условии

(6);

(6)- формулы перехода от старой системы R к новой системе R′ при переменных x′ и y′.

Т.к столбцы определителя- это координаты базисных векторов е1′ и е2′, то данный определитель никогда не обращается в ноль, т.е. система (6) однозначно разрешима относительно переменных х′ и у′, что всегда позволяет найти формулу обратного перехода от R′ к R.

Для формул (6) существуют два частных случая

замена базиса;

перенос начала.

1.Система R′, полученная из системы R путем замены базиса с сохранением того же начала координат R={О, (е1, е2)}→ R′={О, (е1′, е2′)}, т.е. О′(х0,у0)=О(0,0)=>х0=у0=0,тогда формулы замены базиса примут вид:

(7)

2. Пусть система R′ получена из R путем переноса начала из т.О в точку О′ с сохранением того же базиса:
R={О, (е1, е2)}→ R′={О′, (е1, е2)}=> е1′(1,0), е2′(0,1),т.о. формулы примут вид:

(8).

Заключение:

Литература: