Описываются понятия
r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.
п.1. r- перестановки.
Определение. r- перестановкой множества A называется
кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки
называют размещениями без повторения.
Если (a, ..., a) есть r- перестановка n-
элементного множества, то r £ n.
Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r-
перестановок n- элементного множества, где n, rÎN.
Положим P(n, 0) = 1 для nÎN0.
Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного
множества, где
n, rÎN, вычисляется по формуле
P(n, r) = n= n(n -1)...(n - r + 1). (1)
Доказательство. Первая координата r- перестановки n-
элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата
выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны
первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и
т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1
способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1).
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n,
|B| = r, где
n, r ÎN. Тогда число всех
инъекций f: B ® A равно P(n, r) = n.
Доказательство. Обозначим B={b, ..., b}, инъекция f: B ®A может быть записана в табличной форме
,
где кортеж есть r- перестановка множества A.
Поэтому искомое число равно P(n, r).
Определение. Пусть A есть n- элементное множество.
Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими
словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества
A по одному разу.
Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного
множества равно n!.
Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n=
n(n-1)...(n-n+1) =
= n!.
Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| =
|B| = n, nÎN. Тогда число всех биекций f: B ® A равно n!.
Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f: B ® A является инъекцией и наоборот. По следствию 1,
искомое число равно P(n, n) = n!.
п.2. r -элементные
подмножества (r - сочетания).
Определение. Пусть A- конечное множество. r-
сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.
Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rÎN. Справедливы утверждения:
1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества
равно .
2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного
множества равно .
Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний
n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного
множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные
подмножества определяют разные перестановки. Поэтому K×r! - число всех r- перестановок множества A, равное n. Отсюда
следует, что K = n/ r! = =.
Пример 1. Каждый кортеж N, где , кодируется k-элементным
подмножеством множества . Поэтому, при
фиксированном k, число всех кортежей N, где , равно .
Пример 2. Перечисление беспорядков степени n.
Обозначим U- множество всех перестановок степени n, . Будем считать, что элементами
перестановок являются числа . Перестановка степени n называется
беспорядком, если для всех .
Существует только один беспорядок степени 2.
Существует только два беспорядка степени 3.
Для обозначим множество всех перестановок
степени n таких, что . Число всех беспорядков степени n
равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих множеству . Обозначим число всех
беспорядков степени n. По формуле включения- исключения
, (1)
где суммирование ведётся по всем кортежам Nтаким, что
. Легко видеть, что для любого
кортежа N, где справедливо
равенство
.
При фиксированном k число всех кортежей N, где , равно . Из равенства (1)
следует, что
.
Поэтому
.
п.3.
Перестановки с повторениями.
Определение. Кортеж t = (b, ..., b) называется
перестановкой с повторениями состава (n, ..., n) множества {a, ..., a}, если элемент a входит в t n
раз, ..., a
входит в t n раз, где n, ..., nÎN, .
Обозначение. Обозначим P(n, ..., n) число всех перестановок с
повторениями состава (n, ..., n) некоторого k - элементного
множества, где n = = n+...+n.
Теорема 1. Для любого (n, ..., n)ÎN
P(n, ..., n) = n!/n!...n! , где n = n+...+n .
Доказательство. Перестановка (b, ..., b) состава (n, ..., n) множества {a, ..., a} кодируется
кортежем длины k: на первом месте кортежа записано множество тех мест в
перестановке на которых расположен элемент ; на втором месте кортежа записано
множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент ; ...; на k - ом месте
кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен
элемент .
Первый элемент кортежа может быть выбран способами; если первый элемент
выбран, то второй можно выбрать способами; ...; если первые элементов
выбраны, то k- ый элемент может быть выбран способами. По правилу произведения
получаем, что число всех перестановок с повторениями состава (n, ..., n) из {a, ..., a} равно
P(n, ..., n) = ...=
=
Обозначение. Для " n, ..., nÎN полиномиальный коэффициент определяется
равенствами:
если n +...+ n = n, то ;
если n +...+ n ¹ n, то .
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие,
что |A| = n, |B| = k, (n, ..., n)ÎN, n +...+ n = n, B = {b, ..., b}. Тогда число
всех функций
f: A ® B таких, что |f (b)| = n для всех i = 1, ..., k, равно .
Доказательство. Пусть A={a, ..., a}. Запишем функцию f: A ® B в табличном
виде .
Кортеж (f(a), ..., f(a)) есть перестановка с
повторениями состава (n, ..., n) множества {b, ..., b}.
Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n.
Тогда число кортежей множеств (A, ..., A) таких, что
|A| = n, ..., |A| = n,
|AÇA| = Æ для всех i ¹ j,
AÈ...ÈA = U, равно.
Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей
равно
...= .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.
Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории
групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные
структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –
М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта referat/
Другие работы по теме:
Учебно-научная речь
Учебно-научная речь - разновидность научной речи, имеющая особую сферу применения: она используется в процессе передачи и усвоения знаний, то есть в процессе обучения.
Атом гелия. Двухэлектронный коллектив на примере атома гелия
Двухэлектронный коллектив на примере атома гелия. Волновые функции коллектива. Перестановочная симметрия. Спиновые волновые функции. Обозначение электронной конфигурации. Орбитальные состояния. Принцип минимума энергии. Орбитальное приближение.
Законы случайного
Точно предсказать будущее невозможно. Но, обладая всей нужной информацией, можно просчитать степень вероятности того или иного события.
Gun
Хард-роковую команду из английского городка Илфорда прославили братья Гурвицы своим хитом "Race with the devil", навсегда оставшимся в анналах британского рока.
Blue cheer
Американская банда "Blue cheer", названная одним из галлюционогенов, получила известность благодаря своим экспериментам с громкостью звука.
Corrosion of Conformity
Эта американская команда прославилась тем, что смогла скрестить энергетику панка с тяжелыми металлическими риффами, положив начало новому стилю, впоследствии названному кроссовер.
Iluvatar
Стиль "Iluvatar" не подлежит определению одним словом. Содержащий прочную роковую основу, он включает в себя тонко вплетенные элементы джаза, классики и психоделии, оставаясь при этом вполне форматным для радиоэфира.
Дискретный анализ
Классическая задача комбинаторики, ее решение "правилом произведения". Реализация реальных связей между объектами в математических терминах на абстрактных множествах. Решение задач на доказательство тождества, особенности решения системы уравнений.
Наведення усіх перестановок елементів множини
Перестановка як перевпорядкованість наборів елементів, об’єктів або функція, що задає таку перевпорядкованість. Всі можливі варіанти перестановок елементів множини за умови наявності трьох елементів за умови, що жоден елемент не залишається на місці.
Алгебра логики
Алгебра логики. Возникновение логики. Булевы функции. Преобразование выражений, состоящих из булевых функций. Нахождение исходного выражения по его значениям. Применение в вычислительной технике и информатике.
Алгоритмы сортировки
Проблема упорядочивания данных с практической точки зрения: достоинства и недостатки пяти различных методов сортировки.
Защита информации в информационных системах
Современное состояние процессов реализации системы защиты информации и развитие информационно-коммуникационных технологий. Временные и долговременные методы шифрования, шифрование методом перестановки. Угрозы информации, наиболее распространенные угрозы.
Шанхайская клика
Шанха́йская кли́ка (кит. 上海帮, пиньинь Shаnghǎi Bāng) — неформальное название должностных лиц Коммунистической партии Китая, в особенности, являющихся членами правительства Китайской Народной Республики либо ЦК КПК, которые начали своё возвышение в Шанхае в то время, когда его мэром был Цзян Цзэминь, впоследствии ставший председателем КНР.
Программная реализация алгоритма шифрования DES. Режим ECB
Симметричные криптосистемы; алгоритмы шифрования и дешифрования данных, их применение в компьютерной технике в системах защиты конфиденциальной и коммерческой информации. Основные режимы работы алгоритма DES, разработка программной реализации ключа.
Програма для сортування даних методом піраміди
Задача сортування даних в програмуванні. Алгоритм сортування обміном за критерієм або вибором, деревом, пірамідальне, швидке, сортування Хоара та метод цифрового сортування. Системні вимоги та інструкція для користувача. Алгоритм та лістинг програми.
Программа coDec
Задано число к и последовательность чисел от 1 до к 1......к. Необходимо зашифровать литерную последовательность, находящуюся в файле в соответствии с
Генерация комбинаторных объектов
Методика решения задачи по выбору подмножества, состоящего из нескольких компонент. Характеристики, порядок записи и листинг программ по генерации множества всех подмножеств из N элементов и генерации последовательности чисел в лексикографическом порядке.
Алгоритм формирования ключей в процессе функционирования DES
Процесс и основные этапы реализации алгоритма формирования ключей в процессе функционирования DES с помощью языка программирования C++. Особенности работы программного алгоритма и его пошаговая реализация. Листинг получившейся программы, пример ее работы.
Сортування даних - пірамідальне сортування
Схема алгоритму програми. Алгоритм процедури введення даних, виведення результатів сортування, побудови дерева, перестановки елементів, "вирішення сімейного конфлікту". Приклад для масиву з 20 елементів. Користувацьке вікно та побудова піраміди.
Шифрование DES - теория и практика
Процесс шифрования. Процесс расшифрования. Функция шифрования. Функция расширения Е". Функции преобразования S(i). Функция перестановки P. Функция перестановки и выбора последовательности B.
Алгоритм DES
Алгоритм DES Основные достоинства алгоритма DES: используется только один ключ длиной 56 битов; зашифровав сообщение с помощью одного пакета, для расшифровки вы можете использовать любой другой;
Трансформация в языковедении
Образование слов лексико-семантическим и морфолого-синтаксическим способами словообразования. Трансформация как один из методов порождения вторичных языковых структур, состоящий в закономерном изменении основных моделей.
Метод валентных связей
Валентных связей метод (метод валентных схем), метод приближенного решения электронного уравнения Шрёдингера для многоэлектронных молекулярных систем.
Болезни нервной системы птиц
Парезы и параличи нервов. Об исследованиях функции периферической центральной нервной системы у диких и декоративных птиц данных недостаточно. Клинические симптомы большинства заболеваний неспецифичны.
Спрощений Data Encryption Standart
Реферат на тему: Спрощений Data Encryption Standart На рисунку 1 наведена структура спрощеної схеми шифрування DES (Data Encryption Standart). На вхід схеми кодування подається 8 бітовий відкритий текст та 10 бітовий ключ. Результатом роботи схеми є 8 бітовий шифротекст. Схема декодування приймає на вхід 8 бітовий шифротекст та 10 бітовий ключ та виробляє на виході 8 бітовий відкритий текст.
Початки комбінаторики
Реферат на тему: 1. Принцип добутку і принцип суми. Розміщення з повтореннями Двома основними правилами комбінаторики є: Принцип суми . Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.
Обчислення визначника методом Гауса
Курсова робота з дисципліни основи програмування та алгоритмічні мови Тема. Обчислення визначника методом Гауса Зміст 1)Вступ 2)Теоретична частина