В. Березин
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).
Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
Fn
= Fn–1
+ Fn–2
.
Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2
= 1 – α.
Выразим значения степеней α3
, α4
, α5
, ... через 1 = α0
и α:
α3
= |
α·α2
= 2α – 1, |
α4
= |
2 – 3α, |
α5
= |
5α – 3, ... |
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1
? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
αn
= (–1)n
(Fn–1
– Fn
α),
где Fn–1
и Fn
— члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
αn+1
= αn
·α |
= (–1)n
(Fn–1
α – Fn
α2
) = (–1)n
(Fn–1
α – Fn
(1 – α)) = |
= (–1)n
(–Fn
+ (Fn–1
+ Fn
)α) = (–1)n+1
(Fn
– Fn+1
α). |
У уравнения α2
= 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
|
(–1)n
α1
n
= Fn–1
– Fn
α1
, |
|
|
(–1)n
α2
n
= Fn–1
– Fn
α2
. |
Решая эту систему относительно Fn
, получаем, что
Fn
= |
1
√5
|
( |
1 + √5
2
|
) |
n
|
– |
( |
1 – √5
2
|
) |
n
|
. |
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
Следующую неожиданность получим, если вычислим
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
n |
n |
Fn+2
= 1 + |
∑ |
Fk
, F2n
= |
∑ |
F2k–1
, |
k=1 |
k=1 |
n |
2n–1 |
F2n+1
= 1 + |
∑ |
F2k
, F2n–2
= –1 + |
∑ |
(–1)k–1
Fk
, |
k=1 |
k=1 |
2n–1 |
F |
2
2n
|
= |
∑ |
Fk
Fk+1
, F2n–1
= F |
2
n
|
+ F |
2
n–1
|
. |
k=1 |
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.
Другие работы по теме:
Числа Фибоначчи: технический анализ
Министерство образования и науки Украины Одесский государственный экономический университет кафедра________________________ Реферат по курсу "Экономический анализ"
Сукцессия
1. Что такое ? Сукцессия (от лат. наследие, смена поколений, последовательность) – закономерное и необратимое развитие биоценозов, при котором имеет место замещение во времени одного сообщества другим на определенном участке среды.
Волновая теория Эллиотта
Волновая теория Эллиотта Ральф Нельсон Эллиотт был инженером. После серьезной болезни в начале 1930-х гг. он занялся анализом биржевых цен и показателей, в частности индекса Доу-Джонса. Сделав ряд весьма успешных предсказаний, он в 1939 году опубликовал серию статей в журнале Financial World Ma-azine.
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов В 1978 г. нами была опубликована работа «Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...), см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от резонансного значения nT в %.
«Методы оптимизации»
«Методы оптимизации» и «Теория принятия решений». Каждый метод представлен в виде отдельной функции-члена класса. Все однотипные методы (в плане необходимых сведений для поиска) имеют одинаковое число аргументов. В большинстве своём это начальная точка, погрешность максимальное количество шагов
«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи
В 1202 г. появилась на свет знаменитая «Книга абака» Леонардо Пизанского (более известного под прозвищем Фибоначчи – сын Боначчи), крупнейшего европейского математика эпохи Средневековья.
Сопряжённые числа
В этой работе мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида a + bvd полезно заменить сопряжённым a – bvd. Мы увидим, как этот простой приём — замена знака перед радикалом — помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа.
Математика и золотое сечение
Использование принципов "золотого сечения" в математике, физике, биологии, астрономии, в архитектуре и других науках и искусствах. Обзор истории и математической сущности золотого сечения, осмысление его роли в современной науке; "математика гармонии".
Уровни коррекции Фибоначчи
Одним из важных инструментов технического анализа являются технические уровни. Это определенное значение цены, которое при приближении к нему курса будет препятствием для дальнейшего продвижения.
Уровни Фибоначчи
Известный итальянский математик эпохи Возрождения Фибоначчи, точное имя которого произносится и пишется как Leonardo Bonacci, в свое время исследовал последовательность чисел.
Инструменты Фибоначчи для анализа валютного рынка
Леона?рдо Фибоначчи или Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano, Fibonacci; в переводе с итальянского «сын Боначчи») – выдающийся математик средневековья. Жил в городе Пиза, в Италии. Он стал современником строительства знаменитой Пизанской башни.
Цепные дроби вокруг нас
Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля).
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Равносоставленность и задачи на разрезание
Равносоставленность Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
Анализ алгоритма Евклида в Евклидовых кольцах
Расширенный алгоритм Евклида, его использование для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления. Математическая проблема календаря. Евклидовы кольца - аналоги чисел Фибоначчи в кольце многочленов, их свойства.
Числовые ряды
Математическое описание последовательности чисел Фибоначчи. Представление фрагмента корзины "Гармония Мироздания" как образца формирования числовых рядов. Особенности построения живой спирали "Китовраса", ее практическое применение в древнем мире.
Возвратные последовательности
Определение возвратной последовательности. Формулы вычисления любого члена из нее. Характеристическое уравнение для возвратного уравнения. Исчисление конечных разностей. Обобщение произвольных возвратных последовательностей. Базис возвратного уравнения.
Рекурсия
Содержание Рекурсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Базис стандартной и рекурсивной схемы. Верификация программы
Базис класса стандартных схем программ. Стандартная схема в линейной форме. Протокол выполнения программы рекурсивной схемы. Слабейшие предусловия операторов программы в линейной форме. Верификация программы с помощью метода индуктивных утверждений.
Обработка двумерных массивов матриц .
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И АДМИНИСТРИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ.
Коды Фибоначи Коды Грея
Реферат по курсу “Теория информации и кодирования ” Тема: "СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОДЫ" 1. КОДЫ ФИБОНАЧЧИ 1.1 ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.