А. Устинов
Всякое рациональное число p/q можно представить в виде конечной цепной дроби
p | = a0 + | 1 | = [a0; a1, …, an]. |
q | a1 + … | | |
| + | 1 an | |
Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a1, …, an — натуральные, a0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.
Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля). Для числа
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]
с древних времён известны приближения
22 7 | = [3; 7] и | 355 113 | = [3; 7, 15, 1]. |
При этом
π – | 22 7 | | < 1, 3 · 10–3, | π – | 355 113 | | < 2, 7 · 10–7. |
Квадратичные иррациональности (иррациональные корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами), и только они, раскладываются в периодические цепные дроби. Например (черта отмечает период),
√5 = [2; 4, 4, 4, …] = [2; 4],
√13 = [3; | 1, 1, 1, 1, 6 | ], |
Если, разорвав прямоугольный лист бумаги пополам, мы хотим получить два новых листа с тем же отношением сторон, то стороны исходного листа должны относиться друг к другу как √2 : 1. Именно таким свойством обладают форматы бумаги серии A (A0, A1, …). Размеры стандартного листа бумаги A4 — 210×297 мм. Их отношение
297 210 | = | 99 70 | = [1; 2, 2, 2, 2, 2] |
есть пятая подходящая дробь к числу √2 = [1; 2]. Разница между ними на глаз не заметна:
√2 – | 297 210 | | < 7, 3 · 10–5. |
Произведение сторон листа (в метрах) мало отличается от 1/16:
0, 297 · 0, 210 – | 1 16 | | = 1, 3 · 10–4. |
Это связано с тем, что лист A4 составляет 1/24 = 1/16 от ватманского листа A0, площадь которого равна 1 м2.
Отношение напряжений в трёхфазных электрических сетях
380 220 | = | 19 11 | = [1; 1, 2, 1, 2], |
220 127 | = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2] |
— это хорошие приближения к числу
√3 = [1; 1, 2, 1, 2, …] = [1; | 1, 2 | ]. |
Подходящие дроби к длине солнечного года, измеренного в солнечных сутках, —
365, 24219… = [365; 4, 7, 1, 3, 5, …]
— позволяют строить календарные стили.
Первая подходящая дробь 365 1/4 соответствует юлианскому стилю, в котором каждый четвёртый год — високосный. В средние века от него отказались, поскольку он даёт заметную ошибку: 11 минут 14 секунд в год.
Третья подходящая дробь [365; 4, 7, 1] = 365 8/33 лежала в основе персидского календаря, который в 1079 году предложил математик, астроном и поэт Омар Хайям. Такой календарь за год ошибается на 19 секунд. В нём все годы разбиты на 33-летние циклы, внутри цикла семь раз високосным считается каждый четвёртый год, а на восьмой раз — пятый.
Календарь, основанный на следующем (четвёртом) приближении [365; 4, 7, 1, 3] = 365 31/128 предлагался астрономом Иоганном Генрихом Медлером в 1864 году. Он не был принят, хотя за год давал бы ошибку всего в одну секунду.
Мы живём по григорианскому стилю, использующему приближение 365 97/400. . Этот календарь ошибается примерно на 27 секунд в год.
Голландский учёный Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колёс, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет.
В ботанике известно явление филлотаксиса — спиралевидного расположения листьев, колючек, чешуек, семян, … Если посчитать количество спиралей, закручивающихся в одну и в другую стороны, то, как правило, получатся два соседних числа Фибоначчи, т.е. числа из последовательности
{Fn} = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …},
в которой
F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn–1 (n ≥ 1).
Так, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону, и 5 — в другую. На еловой — 5 и 8 спиралей соответственно, на кедровой — 8 и 13. Отношения соседних чисел Фибоначчи раскладываются в очень простые цепные дроби, например,
5 3 | = [1; 1, 1, 1], | 8 5 | = [1; 1, 1, 1, 1]. |
Это подходящие дроби к числу, называемому золотым сечением:
1 + √5 | = 1 + | 1 | = [1]. |
2 | 1 + … | | |
| + | 1 1 + … | |
Расположение листьев по таким спиралям позволяет растениям получать наибольшее количество солнечных лучей.
На рисунках 1 и 2 изображён «чертёж» сосновой шишки.
Представьте, что эти квадраты вырезаны из бумаги и склеены в цилиндры (левая сторона склеена с правой, а заштрихованные квадраты одного цвета наклеены друг на друга). Тогда повёрнутые квадраты будут располагаться на цилиндре так же, как располагаются чешуйки на сосновой шишке. На рисунке 1 видно 3 спирали, закрученные в одну сторону, а на рисунке 2 — 5 спиралей, закрученных в другую. Попробуйте нарисовать «чертёж» еловой шишки с 5 и 8 спиралями. Воспользуйтесь для этого миллиметровой бумагой, вам понадобится квадрат 89×89.
Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Если струна длины l (при заданном натяжении) издаёт звук «до» первой октавы, соответствующий частоте f, равной 512 колебаниям в секунду, то струна длиной 2/3l (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издаёт звук, имеющий частоту 3/2f (натуральная квинта), а струна длиной 1/2l издаёт звук, имеющий частоту 2f (октава). Наше ухо при сравнении двух звуков улавливает не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Естественней всего брать двоичный логарифм, чтобы интервал в одну октаву измерялся как единица:
Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем. Подходящими дробями к числу
log2 | 3 2 | = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, …] |
будут дроби
1 1 | , | 1 2 | , | 3 5 | , | 7 12 | , … |
Приближения 1 и 1/2 слишком грубые. Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 — самое удачное. Погрешность
log2 | 3 2 | – | 7 12 | | < 1, 7 · 10–3 |
на слух неразличима.
Список литературы
Другие работы по теме:
Расчет статистических показателей в экономике
Группировка рабочих по стажу работы, расчет числа групп и величины равновеликого интервала. Расчет средней себестоимости единицы одноименной продукции. Средние затраты времени на изготовление одной детали. Анализ динамики ввода в действие жилых домов.
Определение основных показателей деятельности предприятия
Методика и этапы группировки предприятий по объему продукции, определение среднесписочной численности сотрудников, среднегодовой стоимости ОФ, выработки продукции на одного работника. Вычисление фактического уровня производительности труда и прироста.
Расчет цепных и базисных абсолютных данных
Определение вида рядов динамики. Методы расчета цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста и прироста, среднего уровня ряда. Определение индивидуальных индексов себестоимости по видам продукции, агрегатных индексов товарооборота и реализации.
Расчет объема производства
Вычисление объема производства в целом и в среднем за год в натуральных единицах, величины средней себестоимости продукции за период. Абсолютный прирост, темпы роста и прироста объема производства - базисные и цепные. Индивидуальные базисные индексы.
Расчет объема производства
Расчетно-графическая работа по дисциплине "Статистика" Вычислить объем производства в целом за 4 года и в среднем за год в натуральных единицах.
Расчет цепных и базисных абсолютных данных
Задание № 1 Условно принять, что первые пять показателей из столбца представляют собой уровни ряда динамики. Дать наименование этим уровням. Определить вид ряда динамики. Для полученного ряда рассчитать цепные и базисные абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, средний уровень ряда, средний темп роста, средний тем прироста.
Экономика предприятий
Порядок и особенности группировки предприятий по оборачиваемости оборотных средств. Методика определения показателей динамики и структуры мощности всех электростанций России в 1995 г. Оценка среднего уровня месячной заработной платы рабочих и служащих.
Из истории десятичных дробей
Text Text Text В обсерватории работали лучшие умы того времени. В обсерватории работали лучшие умы того времени. В ней производились наблюдения за движением звезд , планет и Солнца , вычислялись дни праздников и т.д. В этой работе необходимы были десятичные дроби.
Інтегрування раціональних функцій
Пошукова робота на тему: Інтегрування раціональних функцій. План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби
Египетские дроби
Египетские дроби Одним из древнейших письменных документов человечества является папирус Райнда, датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно, что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чисел, обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15, 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д.
Раціональні дроби та їх властивості
м. Комсомольськ гімназія ім. В.О.Ніжніченка ПРАКТИЧНА РОБОТА на тему Раціональні дроби та їх властивості” підготувала Шепель Ілона 2004 р. Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається
Раціональні дроби та їх властивості
Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним). Приведення раціональних дробів до спільного знаменника. Скоротити дріб - це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник.
Математика Древнего Египта
Достижения древнеегипетской математики. Источники, по которым можно судить об уровне знаний древних египтян. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, нахождение числа Пи, подчёркивают практический и теоретический характер древней математики.
Теорема Штольца
Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей, пределов отношения функций.
Десятичные дроби
Тираспольская средняя школа №14 РЕФЕРАТ на тему: «Десятичные дроби» Подготовил: Тирасполь – 2004 г. Из истории десятичных и обыкновенных дробей В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки.
Системы счисления 2
Text Graphics СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Graphics Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием n необходимо: эту дробь умножить на n, затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на n и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Text Graphics СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Graphics СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ: уравняйте в дробях количество знаков после запятой; запишите дроби друг под другом так, чтобы запятая была под запятой; выполните сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую; поставьте в ответе запятую под запятой Graphics
Основные понятия математического анализа
Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
Цепные и базисные индексы
МОСКОВСКИЙ СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕНЗЕНСКОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО Специальность 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Реферат
Виды передаточной характеристики
Контрольная работа по дисциплине "Автоматика и управление" Вариант 1 - РС-711511 Вид передаточной характеристики: Входное воздействие:
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Виды передаточной характеристики
Передаточные функции системы радиоавтоматики в замкнутом и разомкнутом состоянии и определение ее устойчивости по критерию Гурвица. Определение перерегулирования в системе и динамической ошибки при входном воздействии. Значение выходного сигнала системы.
История математики в Индии
Данная статья — часть обзора История математики. Развитие индийской математики началось, вероятно, достаточно давно, но документальные сведения о начальном её периоде практически отсутствуют.
Численные методы Программа-калькулятор на Pascal
Задание Разработать программу-калькулятор CalcKurs на языке программирования Pascal, реализующую следующие функции: 1. формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;
ГИА алгебра 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Кодификатор элементов содержания по алгебре
Автокатализ
Автокатализ, ускорение реакции, обусловленное накоплением конечного или промежуточного продукта, обладающего каталитическим действием в данной реакции.