Міністерство освіти України
Коломийське В П У-17
Реферат
На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.
Учня групи № 15
Лінькова А.М.
Коломия 2002р.
Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється. Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.
.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що
)
(
,
b
a
dx
x
f
S
що
Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через
неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х
змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-
рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-
чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) – підінтегральна функція,
графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше
кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).
Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,
m Δx < Δ S (x) < M Δx
Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо
За непервністю функції y=ƒ(x)
lim m =lim M = ƒ(x)
тобто
x
f
x
S
то
x
S
x
x
S
x
x
f
S
x
S
x
тоді
),
(
)
(
),
(
)
(
0
lim
).
(
)
(
0
lim
Δx→0
Δx→0
Оскільки
Але
функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ).
Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому
S(x) = F(x)+ C. (1)
При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.
Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо
S(x) = F(x)-F(a). (2)
Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд
S(b) = F(b)-F(a).
Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює b значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що
a
b
∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3)
a
b
a
x
)
(
Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b]
дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b
ix=a
.
F
Різницю F(b)-F(a)
позначають. Тому рівність (3) можна записати так:
b
b
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
a
a
Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,
2
2
2
0
2
k
k
x
xdx
OAB
S
k
o
k
o
(кв. од.);
0
3
3
2
2
k
k
x
dx
x
OAB
S
k
k
3
3
3
o
o
(кв. од.).
П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою
Ньютона – Лейбніца площу фігури,
обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,
2
4
x
i
x
знизу – віссю Ох
, а з боків – прямими .
2
2
2
2
0
4
cos
2
cos
4
2
cos
sin
2
4
x
dx
x
S
Розв’язання: ( кв. од.).
,
.
3
.
,
.
2
.
1
dx
x
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
k
dx
x
f
k
dx
x
dx
x
f
dx
x
x
f
b
a
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:
k
.
R
де тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два
в
dt
t
f
k
dx
p
kx
f
p
kb
p
ka
b
a
,
1
.
4
ідрізки точкою с
, то інтеграл на відрізку[a;b]
дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b]
i [a;c].
.
,
R
k
R
p
де
Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.
4
3
cos
dx
x
x
Приклад 4. Обчислити
0
Розв’язання:
2
2
dx
x
2
Приклад 5. Обчислити
1
Розв’язання:
dx
x
2
4
sin
4
3
Приклад 6. Обчислити
Розв’яззати:
Другие работы по теме:
Шпаргалка по политэкономииформулы
Т-Т формула простого обмена T-Д-Д формула товарного обращения Д-Т-Д' Всеобщая формула капитала Д'=Д+⌂d ⌂d – прибавочная стоимость Т=C+V+m структура стоимости товара где С- стоимость потребления средств производства
Хлопок
Формула хлопка При сжигании хлопчатобумажная ткань горит быстро с запахом жженой бумаги. Остается черный пепел. При воздействии на хлопок индикаторами – окрашивает синюю лакмусовую бумажку в красный цвет.
Насичені одноатомні спирти
Опорний конспект з хімії на тему: “Насичені одноатомні спирти” Виконав: учень 11-А класу середеньої школи № 96 Коркуна Дмитро Насичені одноатомні спирти –
Насичені одноатомні спирти
Опорний конспект з хімії на тему: “ Насичені одноатомні спирти” Виконав: учень 11-А класу середеньої школи № 96 Коркуна Дмитро Насичені одноатомні спирти –
Углеводороды
Предельные у-в. Непредельные у-в. Ароматические Алканы Циклоалканы Алкены Алкодиены Алкины Арены Общая формула CnH2n CnH2n CnH2n CnH2n-2 CnH2n-3 CnH2n-6
Углеводороды (таблица)
Предельные углеводороды . Непредельные углеводороды . Ароматические или Арены Алканы Циклоалканы Алкены Диеновые Алкины 1.Общая формула CnH2n -МЕТАН
Степень диссоциации
Электролит Формула Степень диссоциации Кислоты Соляная Бромоводородная Йодоводородная Азотная Серная Сернистая Фосфорная Фтороводородная Уксусная
Таблица по разделу Органическая химия
Предельные углеводороды . Непредельные углеводороды . Ароматические или Арены Алканы Циклоалканы Алкены Диеновые Алкины 1.Общая формула CnH2n -МЕТАН
Углеводороды
Предельные у-в. Непредельные у-в. Ароматические Алканы Циклоалканы Алкены Алкодиены Алкины Арены Общая формула CnH2n CnH2n CnH2n CnH2n-2 CnH2n-3 CnH2n-6
Альдегіди
Опорний конспект з хімії на тему: “Альдегіди” Виконав: Учень 11- А класу Середньої школи № 96 Коркуна Дмитро Львів 2000 Альдегіди – клас органічних сполук, у яких карбонільна група СО зв'язна з атомом та органічним радикалом R
Логика высказываний
Важнейшая функция логики. Аксиоматическое построение исчислений высказываний. Системы без доказательства. Эквивалентные системы исчисления высказываний. Системы Д. Гильберта и В. Аккермана. Правило подстановки, схема заключения, метод допущений.
Эйнштейн и единый метод обоснования
Заменяя механику Ньютона своей теорией относительности, Эйнштейн применял единый метод обоснования. Он этого не осознавал, но тем не менее сделал это. В принципе, это происходит каждый раз при создании новой фундаментальной теории.
Умозаключения и их виды
Разделительно-категорическое умозаключение. Условно-категорическое умозаключение. Условно-разделительное умозаключение.
Настройка зубофрезерного полуавтомата модели 5П23
Нарезка конического зубчатого колеса с числом зубьев 49, которое работает в зацеплении с колесом с числом зубьев 23. Расчётные перемещения и уравнение кинематического баланса. Схема и определение угла зацепления, проверка условия зацепляемости.
Формула Герона
Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Рынок стиральных порошков
Впервые на российском рынке стиральный порошок Tide появился в начале семидесятых годов. Благодаря своим превосходным отстирывающим свойствам он сразу завоевал популярность среди покупателей и с 1994 года Tide занял одну из лидирующих позиций среди высококачественных синтетических моющих средств.
Тейлор, Брук
Сэр Брук Тэйлор (англ. Sir Brook Taylor, 1685—1731) — английский математик, именем которого называется найденная им известная формула, выражающая приращение функции в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням приращения независимой переменной.
Составление программ ленейной структуры
ТЕМА 1 (вариант 8) Вычислить значение выражения : , если g = 9,81 ; Т = 5 ; V0=12,5 ; Х = 2,43 Програмный код Option Explicit Private Sub cmdStart_Click() Dim V0 As Single, T As Single, g As Single, x As Single, J As Single
Задачи по гидравлике 2
Задача № 1 Рассчитать пропускную способность вертикального сепаратора при следующих условиях: диаметр сепаратора – Дс —2,2 м; плотность воды – ρв —1075 кг/м3;
Задачи по Инвестициям
ЗАДАЧА 1 Формула: ∑ / (1 + i) Определим денежные потоки текущей стоимости в течение 4 лет: = 120 000 / (1+0,14) = 105 263 у.д.е. = 150 000 / (1 + 0,14)2 = 115 420 у.д.е.
Уравнение Дюпона
(также Модель Дюпона или Формула Дюпона) является модифицированным факторным анализом, позволяющим определить, за счёт каких факторов происходило изменение рентабельности. В основании факторной модели в виде древовидной структуры — показатель рентабельности собственного капитала (ROE), а признаки — характеризующие факторы производственной и финансовой деятельности предприятия.
Виявлення сигналів НВЧ
Лекція 21 . Звичайний осцилограф використати неможливо – вони працюють на частотах до 1ГГц. Зараз використовують напівпровідникові детектори. Кристалічні детектори: квадратичний детектор.
Інтегруючий множник
Реферат на тему: 1.Рівняння в повних диференціалах Якщо ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції , тобто і, таким чином, рівняння приймає вигляд