Российско-Армянский (Славянский) Государственный Университет
Факультет Прикладной математики и информатики
Кафедра Математики и Математического Моделирования
Курсовая работа
на тему:
"Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта"
Выполнила: студентка 3-его курса Амирбекян Алиса
Руководитель: к.ф.м.н., доцент В.С. Бондаренко
г. Ереван
2004
Понятие дискретной области при численном решении дифференциальной задачи.
При численном решении уравнений математической физики важным становится вопрос замены непрерывной области изменения аргумента дискретной и замены дифференциального оператора разностным. Сделав указанные замены, мы переходим от дифференциальной задачи к разностной схеме.
Таким образом, задача о численном решении исходного дифференциального уравнения сводится к нахождению решения полученной разностной схемы.
. Так как при численном решении математической задачи не возможно воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области, то в этой области нужно выбрать некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой, а отдельные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.
Сетка является дискретной областью изменения аргумента, которой заменяется непрерывная область. Всякая сетка характеризуется величиной близости узлов сетки друг к другу. Обозначим эту величину через h. Ясно, что чем меньше h, тем лучше описывает сетка реальную непрерывную область, однако уменьшение величины h увеличивает число узлов сетки, что приводит к увеличению времени счёта и громоздкости программ.
Если непрерывная область квадратная или прямоугольная, то её можно заменить сеткой, раномерной повсюду, а если непрерывная область имеет криволинейную границу, то она заменяется сеткой, которая неравномерна вблизи границы. Узлы, которые отстоят на одинаковом расстоянии от ближайших внутренних узлов, называются регулярными. Если имеются граничные узлы, отстоящие от границы на меньшем расстоянии, чем от ближайших внутренних узлов, то они называются нерегулярными.
Конечно-разностные формулы для производных
Пусть дан линейный диференциальный оператор L, действующий на функцию u = u(х). Заменяя входящие в Lu производные разностными отношениями, мы получим вместо Lu разностное выражение Lhuh, являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции uh на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном.
Такая приближенная замена Lu на Lhuh называется разностной аппроксимацией оператора L.
Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора L, необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции u(х) могут быть использованы для аппроксимации оператора L.
Рассмотрим примеры разностной аппроксимации:
Пусть дана гладкая функция u=u(x). Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х - h и х + h. В качестве разностной аппроксимации первой производной u'(x) можно использовать следующую формулу:
(1)
Ясно, что формулы (1) и (2) приближенные и имеют невязку равную:
Эта невязка называется погрешностью аппроксимации. Тогда погрешность аппроксимации при замене всех производных, входящих в оператор L, конечно-разностными соотношениями типа (1) будет выглядеть так:
(2)
В точке x разложим u’(x+h ) в ряд Тейлора:
,
тогда
,
отбрасывая члены порядка O(h2) получим:
(3)
Погрешность получаем порядка O(h).
Разностная аппроксимация второй производной:
В качестве разностной аппроксимации второй производной u''(x) можно использовать следующую формулу:
(4)
Вычислим погрешность:
Погрешность получаем порядка O(h2).
Здесь используются 3 точки х – h, х, х + h. Это трехточечный шаблон.
В качестве примера рассмотрим разностный оператор Лапласа для функции u(x,y) на регулярном шаблоне:
(x,y+h)
●
(x-h,y) ● ● (x+h,y)
(x,y-h) ●
В точке (x,y) аппроксимируем и . Здесь используются точки (х – h, y), ( х, y), ( х+ h, y),(x, y-h), (x, y+h). По формуле (5):
Получим:
Вычислим погрешность:
То есть разностный оператор u аппроксимирует оператор Лапласа u со вторым порядком на регулярном шаблоне.
Теперь рассмотрим нерегулярный шаблон. Здесь используются точки (х – h, y), ( х, y), ( х+ , y),(x, y-h), (x, y+h), где h.
(x,y+h)
(x-h,y) (x+δ,y)
(x,y-h)
Обозначим:
Определим:
Посчитаем погрешность аппроксимации. В точке (x,y) разложим в ряд Тейлора:
Подставим:
Для точек (х – h, y), ( х, y), ( х+ , y),(x, y-h), (x, y+), где h.
(x,y+δ)
(x-h,y) (x+δ,y)
(x,y-h)
Погрешность, как и в предыдущем случае, равна O(q).
Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор u имеет первый порядок аппроксимации. Для того чтобы ошибка не была столь большой, приближаясь к границу нужно брать шаг h, равным h2. То есть надо брать шаг равным погрешности аппроксимации на регулярном шаблоне.
Рассмотренный подход показывет, что при приближении к естественной границе области счёта приходится использовать неравномерную сетку. На разных участках естественной границы неравномерность разностной сетки будет иметь разный характер, что порождает использование разных аппроксимаций. Это в свою очередь усложняет общий вид разностной сетки, а также программу, реализующую численный расчёт. Этих трудностей можно избежать передвинув естественную границу так, чтобы разностная сетка была бы регулярной, но при этом уже нарушаются условия задачи.
Литература:
Самарский А.А., Теория разностных схем, М
7
Другие работы по теме:
Шерсть
Химических формул шерсть и натуральный шелк не имеют. При сгорании шерсть и натуральный шелк горят медленно с запахом жженых волос, образуя шарик черного цвета, который растирается в порошок.
Преобразование графиков функции
Text Text Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Graphics
Решение уравнений в конечных разностях
Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ" Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування"
Основы дискретной математики 2
ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерных интеллектуальных систем и сетей РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА по дисциплине
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Приближенное решение интегрального уравнения
Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
Передаточная функция дискретной системы
Определение связи между выходом и входом для непрерывных систем. Вычисление передаточной функции и основы структурного метода дискретной системы. Расчет передаточной функции дискретной системы с обратной связью. Передаточные функции цифровых алгоритмов.
Метод конечных разностей или метод сеток
ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Основы теории вероятностей
Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
Разностные схемы для уравнений параболического типа
Уравнения параболического типа. Разностные схемы для уравнения теплопроводности, задача Коши. Явная и неявная разностные схемы. Применение двухслойных разностных шаблонов. Устойчивость двухслойных разностных схем. Решение задач методом прогонки.
Основы дискретной математики
Минимизация заданного выражения алгебры множеств на основании известных свойств. Анализ заданного бинарного отношения в общем виде. Вывод формул булевых функций для каждого элемента и схемы в целом. Преобразование формулы булевой функции логической схемы.
Анализ дискретной системы
Новосибирская государственная академия водного транспорта Кафедра информационных систем Курсовая работа на тему "Анализ дискретной системы"
Устойчивость дискретных систем управления
Основные понятия устойчивости дискретных систем. Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования. Определение устойчивости дискретных систем в форме z-преобразования. Применение критериев устойчивости для дискретных систем.
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Расчет переходных процессов в дискретных системах управления
Соотношение между входным и выходным сигналом дискретной системы автоматического управления. Дискретное преобразование единичного воздействия, функция веса дискретной системы. Определение связи между переходной и функцией веса дискретной системы.
Анализ качества дискретных систем управления
Реферат Предмет: Теория автоматического управления Тема: Анализ качества дискретных систем управления Методы определения качества дискретных систем автоматического управления аналогичны методам определения качества непрерывных систем с учетом некоторых особенностей.
Дискретные системы радиоавтоматики
Передаточные функции дискретных систем как отношение z-изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Определение передаточной функции дискретной системы при нулевом значении флюктуационной составляющей. Использование фиксатора.
Дионисий Малый
Дионисий Малый , Дени Малый (первая половина VI в.) — римский аббат, скиф или гето-дак по происхождению, основоположник летосчисления от рождества Христова (или от начала нашей эры). По поручению папы римского Иоанна I в 525 г. составлял пасхальные таблицы. Отказавшись от тогдашнего летосчисления, начинавшегося от первого года правления жестокого гонителя христиан римского императора Диоклетиана, предложил новую систему счёта годов.
Вруцелето
Вруцелето (от др.-рус. «в руце лето» — год в руке) — метод устного счёта для определения дней недели по числу месяца в годе с помощью пальцев рук и специальных таблиц.
Камбоджийско-тайский пограничный конфликт 2009
План Введение 1 Причины 2 Военные действия Список литературы Камбоджийско-тайский пограничный конфликт (2009) Введение Камбоджи́йско-та́йский пограни́чный конфли́кт 2009 го́да — вооружённые столкновения на камбоджийско-тайской границе 3 апреля 2009 года между войсками Камбоджи и Таиланда за храмовый комплекс Прэахвихеа и прилегающие к нему территории[3].
Проведение АВС анализа в среде MS EXCEL
Сортировка исходных данных по среднему запасу за квартал. Сумма среднего запаса за квартал по всем объектам. Распределение объектов управления по группам. Построение кривой АВС с помощью мастера диаграмм. Решение задачи XYZ параллельно с АВС анализом.
Коррекция дискретных систем управления
Способы дискретной коррекции систем управления. Порядок расчета корректирующего звена для дискретной системы. Особенность методов непосредственного, последовательного и параллельного программирования. Реализация дискретных передаточных функций.
Классы вычислительных машин
Здесь выделяют аналоговые (непрерывного действия); цифровые (дискретного действия); гибридные (на отдельных этапах обработки используются различные способы физического представления данных).
Вставка и редактирование формул
Лабораторная работа №6. Вставка и редактирование формул Что осваивается и изучается? Вызов формульного редактора Equation Editor Ввод и редактирование математических формул
Задача по бухучету
Overview остатки newАКТИВ newПАССИВ счета счета2 ведомость отклонения списание МБП износМБП Sheet 1: остатки Счёт Наименование счёта Сумма, руб Основные средства