Министерство образования Российской Федерации
Ивановский государственный университет
Кафедра общей физики и методики преподавания
МАГНЕТРОН
Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (УИРС)
для студентов 2 курса физического факультета
Иваново
Издательство “Ивановский государственный университет”
2004
Составитель:
кандидат физико-математических наук А.П. Блинов.
Методические указания содержат постановку и анализ задач о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, а также о вольт-амперной характеристике магнетрона.Приведены алгоритмы численного решения этих задач с использованием средств компьютерной техники.
Для студентов 2 курса физического факультета.
Печатается по решению методической комиссии физического факультета Ивановского государственного университета
Рецензент:
кандидат физико-математических наук Л.И. Минеев (ИвГУ)
Составитель:
БЛИНОВ Анатолий Павлович
МАГНЕТРОН
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ (УИРС)
для студентов 2 курса физического факультета
Редактор В.А.Киселева
Лицензия ЛР № 020295 от 22.11.96. Подписано в печать .
Формат 60 х 84 1/16
Бумага писчая. Печать Плоская. Усл.печ.л. 1,15 .
Уч .-изд. л. 1,0 . Тираж 25 экз.
Ивановский государственный университет
Печатно-множительный участок ИвГУ
153025, Иваново, ул.Ермака, 39
Издательство “Ивановский государственный университет”, 2004
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета ИвГУ, изучающих раздел «Электричество и магнетизм» курса общей физики.
Новый государственный стандарт физического образования предполагает глубокое усвоение основных физических понятий и законов. Этому способствует активное применение полученных знаний в процессе решения физических задач. Указанные задачи, несомненно, способствуют закреплению изученного материала, формируют умения и навыки его практического применения.
Отметим, что самостоятельное решение указанных задач делает данную работу наиболее эффективной.
Вместе с тем целесообразно в учебный процесс вводить задачи, носящие научно-исследовательский характер (УИРС). Указанные задачи способствуют формированию умений и навыков, необходимых будущему физику-исследователю. Эти задачи более сложные и, как правило, носят комплексный характер. Такие задачи целесообразно предъявлять студентам для самостоятельной работы с возможностью консультаций с преподавателем в процессе их решения.
Решенные задачи могут обсуждаться на семинарских и лабораторных занятиях. Это способствует формированию у студентов умений и навыков выступать с краткими докладами, по форме приближенными к докладам на научных конференциях.
Одним из возможных направлений указанной деятельности является постановка и решение задач по электричеству и магнетизму. В настоящих методических указаниях в рамках лабораторного практикума рассматриваются задачи о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, т.е. вакуумного диода, помещенного в однородное магнитное поле соленоида (см. лабораторную работу № 12 “Определение удельного заряда электрона”). При этом электроды магнетрона могут иметь различную геометрическую форму (цилиндрическую или плоскую), а также выделяются режимы работы магнетрона в области насыщения анодного тока диода и вдали от этой области, когда выполняется “закон трех вторых”.
Наконец, в методических указаниях приводятся алгоритмы численного решения задач по нахождению траектории движения электрона в магнетроне и по нахождению вольт-амперной характеристики (ВАХ) магнетрона с использованием средств компьютерной техники.
При движении электрона в электрических и магнитных полях его траектория определяется конфигурацией этих полей и удельным зарядом электрона, т.е отношением его заряда e к массе m. Для определения удельного заряда электрона можно использовать магнетрон (см. лабораторную работу № 12)
Магнетрон представляет собой вакуумный диод, помещенный в соленоид. Электродами цилиндрического магнетрона являются коаксиальные (т.е. с единой для них осью) металлические полые цилиндры (накаливаемый катод и холодный анод с радиусами и , Магнитное поле соленоида с индукцией направлено параллельно оси цилиндров.
Вследствие явления термоэлектронной эмиссии [1] разогретый катод испускает электроны, которые ускоряются электрическим полем с напряженностью между электродами диода.
Анодный ток магнетрона зависит от анодного напряжения (разности потенциалов анода и катода), индукции B магнитного поля, а также температуры T катода. Вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. зависимость для B = 0 и T = const изображена графически на Рис. 1.
Рис. 1
При достаточно больших значениях анодный ток практически не меняется и равен (ток насыщения). При малых напряжениях (вдали от области насыщения) выполняется “закон трёх вторых”, т.е. [1].
Рассмотрим режим работы магнетрона:
в области насыщения;
вдали от области насыщения (выполняется “закон трех вторых”).
Режим в области насыщения
В этом случае в пространстве между электродами отсутствуют
объемные заряды (нет электронного облака, возникающего вблизи катода), и электроны движутся от катода к аноду в вакууме под действием внешних электрического и магнитного полей.
Электрическое поле между цилиндрическими электродами имеет вид [1]
(1)
где - радиус-вектор, отсчитываемый от оси Z цилиндров и ей перпендикулярный.
При наличии однородного магнитного поля , направленного вдоль оси диода (магнетрона), электроны со скоростью подвергаются действию силы Лоренца [1]
(2)
так что по 2 закону Ньютона
(3)
где - ускорение электронов.
Используя цилиндрические координаты зависящие от времени t , из (3) получим:
(4)
где было учтено, что и
В плоскости, перпендикулярной оси Z цилиндров, введем систему координат X0Y, в которой введем “неподвижные” орты и такие, что
Введем также “подвижные” орты по правилу
(5)
такие, что
Далее, с учетом (5) находим:
(6)
Поскольку , то по (6)
(7)
Раскроем теперь в (4) векторное произведение в “подвижной” системе ортов (орт направлен вдоль оси цилиндров) с помощью (7):
= (8)
Подставляя (7) и (8) в (4) и проецируя векторное уравнение (4) на “подвижные” оси, связанные с ортами (5), получим:
(9)
где и - удельный заряд электрона.
Формально можно считать, что начальная скорость электронов т.к. на практике используемые напряжения порядка 10 –100 В, а выходящие с катода тепловые электроны имеют энергию порядка 0,1 эВ. В этом случае начальные условия имеют вид:
(10)
Поэтому из (9) – (10) следует, что т.е. скорость электронов согласно (7).
Из второго уравнения системы (9) получаем
(11)
Так как то из (11) следует
(12)
Интегрируя (12), будем иметь [2]:
т.е.
(13)
Константа интегрирования в (13) находится с помощью начальных условий (10), т.е.
откуда
(14)
Подставляя далее (13) и (14) в первое уравнение системы (9), получим:
(15)
где
(16)
( и определены в (9)).
Уравнение (15) можно проинтегрировать [2], полагая В этом случае
т.е.
что после интегрирования дает
Следовательно,
(17)
и значит,
Заметим, что выражение (17) можно представить в более общем виде, когда электрическое поле между электродами произвольно, но тем не менее радиально симметрично, т.е. напряженность поля аналогична (1):
. (18)
Действительно, пусть есть разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода. Тогда, вследствие того, что , из (18) получаем
. (19)
Из (1) с учетом (19) вытекает, что выражение согласно обозначениям в (9) и (16) можно заменить на , т.е. в рассматриваемом более общем случае
(20)
Заметим, что по определению U имеем: и Поэтому с учетом начальных условий (10) для (20) находим
(21)
Кроме того, на аноде
. (22)
Согласно (7), выражение (22) представляет собой радиальную (вдоль радиуса-вектора ) составляющую скорости электрона на аноде. Если эта составляющая будет равна нулю, то электроны перестанут попадать на анод, т.е анодный ток прекратится. Тем самым определяется некоторое критическое значение индукции магнитного поля , для которого при данном значении Используя (22), находим удельный заряд электрона
(23)
Аналогично, согласно (13) и (14), находится значение
(24)
Выражение (24) в силу (7) представляет собой ту составляющую скорости электронов на аноде, которая перпендикулярна радиусу-вектору т.е. направлена параллельно орту
Пусть - угол между скоростью электрона и радиусом-вектором Тогда согласно (7) и по (13) - (14), (20) - (24)
(25)
Режим работы магнетрона в области действия “закона трёх вторых”
В этом случае около катода формируется электронное облако [1], влияющее на радиальный профиль электрического поля (т.е. на зависимость (18)). В отсутствие магнитного поля анодный ток
Действительно, запишем уравнение Пуассона [1]
(26)
где - модуль плотности заряда электронного облака (заряд электрона (-e)<0). В цилиндрических координатах уравнение (26) принимает вид
(27)
Вследствие цилиндрической симметрии и т.е.
. (28)
Пусть - плотность тока и - скорость дрейфа электронов. Тогда
(29)
Будем считать, что радиус катода (на практике ) и начальная дрейфовая скорость электронов у катода ( дрейф электронов около катода затруднен из-за высокой плотности электронного облака). Тогда
(30)
С учетом (29) и (30) из (28) имеем:
(31)
где было учтено, что в каждой точке вектор направлен вдоль т.е.
(- плотность тока на аноде).
Краевые условия для U = U(r) имеют вид:
(32)
Последнее условие в (32) связано с тем, что катод экранирован электронным облаком.
Будем искать решение уравнения (31) с краевыми условиями (32) в форме
(33)
Тогда, подставляя (33) в (31), с учетом (32) получим:
(34)
Таким образом, с учетом площади цилиндрического анода , где - осевая длина анода (катода), анодный ток равен
(35)
где
(36)
При наличии магнитного поля с индукцией , направленной по оси Z (вдоль катода или анода), вместо (35) – (36) будем приближенно иметь (
(37)
где - угол между вектором (или дрейфовой скоростью в (29)) и радиусом-вектором на аноде ( в соответствии с формулой (25) при .
Аналогичным образом рассматривается движение электронов в магнетроне с плоскими электродами. В этом случае удобно использовать декартовые координаты x,y,z. При этом ось X направлена перпендикулярно к параллельным электродам, так что значение x = 0 отвечает положению катода, вдоль которого направлены оси Y и Z, а x = d – положению анода (d – расстояние между электродами).
Пусть магнитное поле направлено вдоль оси Z (т.е. параллельно катоду и аноду). Тогда по аналогии с (3) – (9) имеем:
(38)
При этом напряженность электрического поля параллельна оси X .
Начальные условия имеют вид:
(39)
Интегрируя второе уравнение системы (38), получим с учетом (39)
(40)
Подставляя далее (40) в первое уравнение системы (38), получим в соответствии с начальными условиями (39)
(41)
В (41) было учтено, что разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода (см. (15) – (22)).
Пусть - угол между скоростью электрона и осью X. Тогда и следовательно по (40) – (41) на аноде (x = d)
(42)
где анодное напряжение .
Из (42) следует, что, во-первых, критическое значение индукции магнитного поля (когда и электроны не попадают на анод)
, (43)
а во-вторых, вольт-амперная характеристика (ВАХ) магнетрона с плоскими электродами вдали от режима насыщения по аналогии с (26) – (37) имеет вид:
(44)
где (S – площадь анода) и . При этом из (26) вместо (31) возникает уравнение [1] (
(45)
с начальными условиями
(46)
Численные методы
Для нахождения траектории движения электрона в магнетроне или ВАХ магнетрона нужно использовать соответствующие дифференциальные уравнения, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники [3]. Так, для цилиндрического магнетрона в режиме насыщения с начальными условиями (10) из (13) – (17) имеем:
(47)
причем и a, b, c определены в (16).
Для решения уравнения (47) выбирается малый шаг h изменения угловой переменной , так что (по Тэйлору)
(48)
В (48) выражается из уравнения (47).
Равенство (48) составляет ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (47). Этим решением является функция описывающая в полярных координатах траекторию движения электрона.
Для численного нахождения ВАХ в цилиндрическом магнетроне с краевыми условиями
(49)
(более общими, чем (32)) по аналогии с (31) находим
(50)
где функция согласно (25) и по (29)
Задавая шаг h изменения радиальной переменной r , имеем (см. (48)):
(51)
где есть выражение (50).
Равенства (50) – (51) составляют ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (50) для фиксированных . Следовательно, из (49) вытекает, что
(52)
т.е. (52) определяет зависимость
(53)
Поэтому ВАХ находится с помощью (53) аналогично (37):
(34)
что вычисляется с привлечением средств компьютерной техники и алгоритмических языков (БЕЙСИК, ФОРТРАН и т.д.)
Аналогично рассчитывается траектория движения электрона и ВАХ для магнетрона с плоскими электродами.
Справочная формула
В цилиндрических координатах
Экспериментальная часть
В лабораторной работе № 12 “Определение удельного заряда электрона” используется магнетрон цилиндрического типа (блок ФПЭ – 03).
Индукция B магнитного поля соленоида равна
(55)
где
Гн/м – магнитная постоянная;
- сила тока в обмотке соленоида, А;
N – число витков обмотки;
- длина соленоида.
Поэтому ВАХ в данном случае по (36) – (37) имеет вид:
(56)
где
(57)
При малых т.е. когда в (56)
(58)
поэтому
(59)
Рассматривая при фиксированном значении функцию
(60)
получаем, что
(61)
На Рис.2 зависимость (61) имеет вид прямой 2, касательной при к реальной зависимости (60), которая графически изображается кривой 1. Следовательно, пользуясь обозначениями Рис.2, имеем:
(62)
т.е. удельный заряд электрона по (57) и (62)
(63)
2
1
Рис. 2.
0
Далее, так как
(64)
а по (36) то из (64) длина L анода (катода) равна
(65)
(Кстати, если L известно, то по (65) также можно определить
В лабораторной работе № 12 снимается т.н. сбросовая характеристика
дающая зависимость (60) (кривая 1 на Рис.2), по которой с помощью формулы (63) можно найти удельный заряд электрона. При этом для блока ФПЭ – 03: N = 2700; = 1 мм; = 168 мм.
Задания
Найти траекторию движения электрона в магнетроне с
цилиндрическими;
плоскими
электродами в режиме насыщения.
Рассчитать ВАХ магнетрона в области, далекой от насыщения (тип магнетрона и параметры , L или d, а также выбираются по указанию преподавателя).
3. В экспериментальных условиях лабораторной работы № 12 (блок ФПЭ – 03) снять ВАХ магнетрона и определить удельный заряд электрона вдали от режима насыщения (малые анодные напряжения) по формуле (63) в разделе Экспериментальная часть. Найти также длину L анода цилиндрического магнетрона по формуле (65) и сравнить ее с паспортным значением (см. техническое описание блока ФПЭ – 03).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. М., 1977.
Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М., 1983.
3. “Вольт-амперная характеристика протяженного металлического проводника”. Методические указания к учебно-исследовательской работе (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета. Иваново, 2001.