Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и
физики
1. Моменты и центры масс плоских
кривых. Если дуга
кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) =(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и
Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс и — по формулам
где l—
масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты
инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1)
Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна
и =1.
◄ Имеем: Следовательно,
►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги
окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем:
Отсюда получаем:
►
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной
вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не
пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее
центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг
оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена
имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного
интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения
тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом
за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный
телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить
для того, чтобы тело массы m
поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i?
Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#),
действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом
Другие работы по теме:
Физика в Эстонии
Первые шаги в развитии физической науки в Эстонии были связаны с возникновением в 1932 году Тартуского университета, который назывался тогда Академией Густавиана (1632-1656) Это был период, когда преподносились идеи аристотелевской физики, очень далёкой от самой природы.
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Макс Планк
Учеба в Мюнхенском университете. 1900г. - Планк положил начало квантовой теории. 1918 г. - присуждение Нобелевской премии. Вывод закона распределения энергии абсолютно черного тела. Исследования в области термодинамики. 1933г. "Пути познания в физике".
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Функционально-графический подход к решению задач с параметрами
Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
Решение уровней колебания струны методом характеристик
Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Численное интегрирование функций
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
Постоянная Планка
Постоянная Планка определяет границу между макромиром, где действуют законы механики Ньютона, и микромиром, где действуют законы квантовой механики.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Методы прямоугольников и трапеций
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек ξi могут выбираться левые (ξ = xi-1) или правые (ξi = xi) границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi) = yi, ∆xi = hi, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Криволинейный интеграл первого и второго рода
Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
Интегральные методы оценки качества переходных процессов
Реферат на тему: "Интегральные методы оценки качества переходных процессов" Введение Интегральная оценка является обобщенным показателем качества переходного процесса, при этом качество системы оценивается с помощью числа, являющегося интегралом некоторой функции.
Интегральные методы оценки качества переходных процессов
Интегральная оценка как обобщенный показатель качества переходного процесса, его особенности и отличия от других методов оценки качества. Метод линейной интегральной оценки. Сущность и роль дуальной теоремы, преимущества и недостатки ее использования.
Интегрирование методом Симпсона
Московский Авиационный Институт Расчетно графическая работа по: алгоритмическим языкам и программированию. кафедра 403 Выполнил: Гуренков Дмитрий гр. 04-109 /____________/
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Урбен Жан Жозеф Леверье
Работы Леверье посвящены решению проблем небесной механики. В 1839 г. он предоставил в Парижскую Академию наук доклад "О вековых возмущениях планетных орбит", изучив вопросы о устойчивости Солнечной системы.