Криволинейный интеграл
первого рода
Криволинейный интеграл
второго рода
1.
Задача
приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного
интеграла по координатам.
2.
Свойства
криволинейного интеграла (рис. 1).
3.
Вычисления
а)
б)
Рис. 1
Займемся обобщением
понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования – кривая
-кривая , , . Т/н. А-работу
силы при
перемещении точки от к
1. Разобьем на n
частей :
Обозначим вектор- хорда
дуге.
Пусть предположим, что на тогда
Работа вдоль дуги вычисляется
как скалярное произведение векторов и
Пусть
Тогда:
Работа
Если , то этот предел примем
за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки
,-не числа, а точки концы
линии .
1.
Свойства:
10 определяется
а) подынтегральным
выражением
б) формой кривой
интегрирования.
в) указанием
направления интегрирования (рис. 2).
Рис. 2
-можно рассматривать как
интеграл от векторной функции
Тогда - если -замкнутая то -называют
циркуляцией вектора по контуру .
30
40 не зависит от
того какую точку взять за начало
Вычисление
криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы
вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
Рис. 3
-гладкая кривая.
1.
Если
-непрерывны,
-непрерывные.
-непрерывны по , то
Пределы А и В не
зависят ни от способа деления на , ни от вектора
Следовательно: .
2. В случае:
1.
Формула Грина.
2.
Условие независимости криволинейного интеграла от
пути интегрирования.
3.
Полный дифференциал.
Связь между
определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D,
замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).
интеграл
криволинейный грин формула
Рис. 4
непрерывны на
-
определена и непрерывна в замкнутой области D.
- определена и
непрерывна в замкнутой области D.
Тогда
Аналогично
-Формула
Грина.
В частности: вычисление
площадей фигур с помощью двойного интеграла.
Пример.
Условие независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования
Рис. 5
- непрерывные частные
производные в (рис. 5).
Каковы условия
независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
Теорема:
-непрерывны
в области ,
тогда для того, чтобы
в (рис. 6)
Рис. 6
Пусть
Обратно
Т.д.
Пусть из непрерывности и
-окрестность точки такая что в
предположение неверно.
ч.т.д.
Замечание.
Определение.
Функция -градиент
которой есть вектор силы называется потенциалом вектора .
Тогда
Вывод:
Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути
интегрирования.
Литература
1. Ильин
В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989
г.
2. Виноградова
И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому
анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250
летию МГУ 2005 г.
3. Шилов
Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу
К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.
Другие работы по теме:
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Дифференциальные уравнения
Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
Решение дифференциальных уравнений
Задача 4 С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры линейной функции , приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
Задачи по Высшей математике
Вариант № 2 Задача 1 Найти объединение и пересечение множеств А и В, если А ={1;3;5} и B={0;1;2;-3;4;-5}. Решение: Объединение множеств А и В А В= {0;1;2;3;5;-3;4;-5},
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Вычисление интеграла по поверхности
Содержание 1)Поверхностный интеграл второго рода 2)Вычисление интеграла по поверхности 3)Теорема Остроградского-Гаусса 4)Дивергенция Литература
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Дифференцирование Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций Пусть , тогда Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Несобственные интегралы
Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Несобственные интегралы» 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна.
Гамма функции
Бэта-функции Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: т.e. аргумент входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Интегралы. Функции переменных
Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
Вычисление интеграла по поверхности
Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.
Несобственные интегралы
Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.