Логика высказываний 2

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Важнейшей функцией логики является установление того, что из чего следует, а значит установление того, какие формулы являются теоремами, а какие нет. Это достигается с помощью аксиоматического метода. При аксиоматическом построении исчисления высказываний выбирают некоторое, небольшое количество формул, которые включают в систему без доказательства. Это аксиомы системы. Остальные формулы могут быть присоединены к системе только тогда, когда они следуют из аксиом или являются определениями. Существует много эквивалентных систем исчисления высказываний, различающихся аксиомами и исходными терминами. Здесь мы опишем систему Д. Гильберта и В. Аккермана. В исчислении высказываний определение формулы такое же, как и в алгебре высказываний.

В качестве аксиом принимаются следующие четыре высказывания:

р qр

р р q

р q q р

(р q) ( r р r q)

В этой системе принимаются три определения:

Д1 φ ψ ≡φ →ψ

df

______

Д2 φ ψ ≡φψ

df

Д3 (φ ≡ ψ) ≡ (φ →ψ) (ψ →φ)

df

Здесь символ «» означает равносильные по определению.

Для получения новых формул, как из положенных в основу исходных формул, так и из уже выведенных формул, принимаются два правила:

α) Правило подстановки.

Вместо переменного высказывания можно везде, где эта буква встречается, подставить одну и ту же формулу исчисления высказывания.

β) Схема заключения.

Из двух формул φ и φ → ψ получаем новую формулу ψ.

Из сформулированных правил и аксиом можно вывести новые правила вывода формул.

ПРАВИЛО I. Если φ φ – доказуемая формула, то доказуема также формула φ.

Доказательство: Подставим в α) формулу φ. Получим φ φ→ φ. Поскольку φ φ доказуемая формула, то, по правилу β) доказуема и формула φ.

ПРАВИЛО II. Если φ – доказуемая формула, а ψ – любая другая формула, то формула φ ψ является также доказуемой.

Доказательство: Подставим в в) вместо р формулу φ, а вместо q - формулу ψ. Получаем φ φ ψ. Схема заключения дает φ ψ.

ПРАВИЛО III. Если φ ψ – доказуемая формула, то доказуема и формула ψ φ.

Доказательство: Получаем из с) заменой р на φ, q на ψ и применяем схемы заключения.

ПРАВИЛО IV. Если φ→ ψ доказуемая формула, то формула γφ→ γ ψ также доказуема.

Доказательство : Получаем из α) заменой р на φ, q на ψ, r на γ и применяем схемы заключения.

Из аксиом, принятых и выведенных правил можно выводить новые формулы и правила.

Докажем, например, формулу:

(p→q)→((r→p)→(r→q))

Доказательство: Заменим в d) r наr. Получаем (p→q)→ ((rp)→(rq)), но по Д1 эта формула есть иная запись доказываемой формулы.

Доказательство: Подставим в формулу вместо р формулу ψ, вместо q формулу γ, вместо r формулу φ. Получаем: (ψ → γ )→(( φ→ ψ)→( φ→ γ)) .

Применяя два раза схему заключения, получаем: φ→ γ.

Легко доказать, что в предложенной аксиоматической системе выводимы формулы алгебры высказываний. Докажем например, что формула рp выводима.

Доказательство: Подставляем в в) вместо q переменную р , получаем формулу р→ рp. Из а) той же подстановкой получаем рp→ р. По правилу У выводим формулу p→ р. По Д1 эта формула представляет собой иную запись формулырp.

Аналогичным образом можно доказать остальные формулы алгебры высказываний.

Предложенное аксиоматическое исчисление высказываний удовлетворяет всем требованиям аксиоматического метода: система аксиом этого исчисления высказываний полна, независима и противоречива. Доказательство этого факта читатель может найти в любом учебнике по математической логике.

Система исчисления высказываний может быть построена методом допущений. Этот метод ближе к обычным содержательно очевидным представлениям в том отношении, что доказательства в системах, построенных этим методом, почти не отличаются от математических доказательств и от рассуждений в других науках. Здесь оно излагается по книге Е. Слупецкого, Л. Борковского «Элементы математической логики и теории множеств».

В натуральном исчислении высказываний принимается определение формулы алгебры высказываний и следующие правила:

Правило отделения (обозначает ПО):

ПО φ→ ψ

;

Читается эта схема так: «Если в доказательстве имеются уже формула φ→ ψ и формула φ независимо от порядка, в каком эти формулы входят в доказательство, то к доказательству можно присоединить в качестве строки и формулу ψ».

Правило введения конъюнкции

ВК φ

;

Способ чтения этой схемы аналогичен.

Правило удаления конъюнкции:

УК ,

Правило УК можно записать в виде одной схемы:

УК

Ψ

Правило введения дизъюнкции:

ВД ,

Правило удаления дизъюнкции:

УД φ ψ φ ψ

,

Правило введения эквивалентности:

ВЭ φ→ ψ

6)Правило удаления эквивалентности:

УЭ ,

Прямое доказательство выражения φ1 →(φ2→( φ3→ …(φп-1 →φп)…) строится следующим образом:

В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ1, φ2,… φп-1 в качестве условий теоремы.

К доказательству можно присоединить:

ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;

новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.

Доказательство закончено, если его последняя строка есть выражение φп. Последняя строка доказательства не нумеруется; тем самым отмечается, что доказательство закончено.

Косвенное доказательство выражения φ1 →(φ2→( φ3→ …(φп-1 →φп)…) строится следующим образом:

а) В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ1, φ2,… φп-1 в качестве условий теоремы.

В n-ой строке выписывается выражениеφп в качестве допущения косвенного доказательства.

К доказательству можно присоединить:

ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;

новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.

Доказательство закончено, если в нем имеются две противоречащие строки. Окончание доказательства отмечается написанием в последней ненумерованной строке выражения «ПРТВРЧ» (сокращение слова «противоречие») с указанием справа номеров двух противоречащих строк.

Продемонстрируем приемы доказательства на ряде примеров. Их мы будем нумеровать с указанием слева Ті ( теорема номер і )

Т1 (Закон гипотетического силлогизма)

(p→q)→(( q → r)→( p→ r))

Доказательство:

p→q

q → r Допущения

р

q ПО : 1,3

r ПО : 2,4

Т2 (Закон контрапозиции)

(p→q)→( q →р) (30)

p→q Допущения

q

p Допущения косвенного доказательства

q ПО : 1,3

ПРТВРч 2,4

Т3 (Второй закон гипотетического силлогизма)

(p→q)( q → r)→( p→ r)

Доказательство:

p→q

q → r Допущения

р

q ПО : 1,3

r ПО : 2,4

Т4 ( Закон экспортации)

(pq → r) →(р→(q → r)) (32)

Доказательство:

pq → r

р Допущения

q

pq ВК : 2,3

r ПО : 2,4

Т5

(p→q)( р → r) →(p→q r) (32 )

Доказательство:

(p→q)( р → r) Допущения

р

p→q УК : 1 q r

р → r

q ПО : 2,3

r ПО : 2,4

q r ВК : 5,6

Докажем теперь аксиомы a), b), c), d):

pq→р

Доказательство:

1) pq Допущения

р УД : 1

р→ pq

Доказательство:

1) p Допущения

рq ВД : 1

pq→ qр

Доказательство:

1) pq Допущения

2) qр Допущения к.д.

ПРТВВРч 1, 2

(р→ q) → (rр→ rq)

Доказательство:

р→ q Допущения

rр

р УД : 2

q ПО : 1, 3

rq ВД : 4

С помощью таблиц истинности можно убедиться, что ПО исключают случаи, когда его применения к истинным посылкам дает ложные результаты.

По определению импликации φ→ ψ ψ есть следствие φ во всех случаях, кроме такого, когда посылка φ истинна, а заключение ψ ложно. Так, что для доказательства того, что ПО позволяет делать из посылок следствия достаточно доказать, что импликация, антицидент которой является конъюнкция посылок, консеквент – вывод, полученный с помощью этого правила, является всегда истинной формулой.

Для ПО составляем формулу:

(φ→ ψ) φ→ ψ.

И с помощью таблицы истинности убеждаемся, что эта формула тождественно истинна

Для ВК : φψ →φ ψ.

Таблица истинности имеет вид

С помощью таблиц истинности можно убедиться, что и остальные правила натурального исчисления высказываний исключают случаи, когда результат их применение к истинным посылкам был бы ложным. С другой стороны, поскольку конъюнкция посылок ложна, когда хотя бы одна из посылок ложна, то по определению импликации из конъюнкции этих посылок следует любое высказывание как истинное, так и ложное. Следовательно, ложные посылки лишены смысла. Так, что и с формальной, и с содержательной точки зрения правила построения доказательств, по видимому, не должны вызывать сильных возражений.

Литература

Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. – 2005 г.

Логика – исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.

Философия и жизнь – журнал- К. 2004 г.

История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.

Логика и человек – М. 2000.

Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.

Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.