Міністерство освіти і науки України
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський університет
Запорізька філія
Контрольна робота
з дисципліни: Теорія ймовірності і математична статистика
Варіант № 5 - Схема Бернуллі
Виконав
Перевірив:
Запоріжжя,
2007р.
СХЕМА БЕРНУЛЛІ
У багатьох задачах теорії ймовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) п
випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 однакових монет" можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.
Означення 1.
Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або непояви А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.
Нехай випадкова подія А
може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А)
= р або не з'явитись з імовірністю q
= Р{А)
= 1 - р.
Поставимо задачу: знайти імовірність того, що при п
випробуваннях подія А
з'явиться т
разів і не з'явиться п - т
разів. Шукану імовірність позначимо Рп
(т).
Спочатку розглянемо появу події А
три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події
тобто їх
Якщо подія А
з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події
У загальному випадку, коли подія А
з'являється т
разів у п
випробуваннях, таких складних подій буде
Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,
Імовірність сумісної появи п
незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій згідно з теоремою множення ймовірностей, тобто
Кількість таких складних подійі вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо
Формулу (1) називають формулою Бернуллі.
Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А т
разів при п
випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.
Зауваження 1.
Імовірність появи події Арп
випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять за формулою
Імовірність появи події А не менше т разів можна знайти за формулою
або за формулою
Імовірність появи події А хоча б один раз у п
випробуваннях доцільно знаходити за формулою
Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення то
числа т
появ події А. Це значення т
визначається співвідношеннями
Число то
повинно бути цілим. Якщо (п
+ 1)р
- ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах
Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р
, то кількість п
випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р
можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою,
Приклад 1.
Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0.8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того, що
а) відмовлять два блоки;
б) відмовить хоча б один блок;
в) відмовлять не менше двох блоків.
Розв'язання.
Позначимо за подію А
відмову блока. Тоді імовірність події А
за умовою прикладу буде
Р(А) =р =
1-0.8 = 0.2, тому д = 1-р = 1-0.2=0.8.
Згідно з умовою задачі п = 10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо
Приклад 2.
За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менше 0.952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0.01?
Розв'язання.
Застосовуючи формулу (2), знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р = 0.952 можна було стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі, якщо імовірність браку за умовою р =
0.01
Отже, за час(годин) автомат з імовірністю 0.952 виготовить хоча б одну браковану деталь.
Приклад 3.
При новому технологічному процесі 80 % усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш імовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.
Розв'язання.
Позначимо шукане число то-
Згідно Зауваження
За умовою прикладу п =
250, р =
0.8, q
—
0.2, тому
Але то повинно бути цілим числом, тому то = 200.
СПИСОК ВИКОРИСТАНО
І
Л
І
ТЕРАТУРИ
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. – 448с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1980.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: наука, 1988.
5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.
Другие работы по теме:
Параметричні і непараметричні критерії для перевірки гіпотез
Поняття дискретної випадкової величини (біноміального розподілу), її опис схемою Бернуллі. Граничний випадок біноміального розподілу. Параметричні та непараметричні критерії для перевірки гіпотези про відмінність (або схожість) між середніми значеннями.
Експериментальна аерогідродинаміка та гідравліка
Гідродинаміка - розділ механіки рідини, в якому вивчаються закони її руху. Фізична суть рівняння Бернуллі. Побудова п’єзометричної та напірної ліній. Вимірювання швидкостей та витрат рідини. Режими руху рідини. Дослідження гідравлічного опору труб.
Анализ линейных электрических цепей
Определение тока методом эквивалентного генератора в ветвях цепи. "Базовая" частота, коэффициент, задающий ее значение в источниках. Расчет электрической цепи без учета взаимно индуктивных связей в ветвях, методом узловых напряжений и контурных токов.
Проверочный расчет станка С2Р12
Реферат СТАНОК, МУФТА, НОЖЕВОЙ ВАЛ, ВАЛЕЦ, ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА, КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СХЕМА, ТЯГОВАЯ СПОСОБНОСТЬ Курсовой проект состоит из пояснительной записки и 2 листов формата A1, 1 листа формата А2, 1 листа формата А3, 1 листа формата А4 (иллюстративного материала).
Схемы для внешнего устройства
D-триггер с обратной связью, синхронный цифровой автомат, асинхронная последовательностная схема, схема блока обработки данных.
Випадкова величина
ТЕМА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА 1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 – випадання "решки" та 2 – випадання герба.
Теорія ймовірностей та математична статистика
Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
Незалежні випробування
Формула Бернуллі та її використання при невеликому числі випробувань. Застосування локальної формули Муавра-Лапласа при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Формула Пуассона.
Випадкова величина
Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Фазовая автоподстройка в относительной фазовой манипуляции ОФМн
Graphics Фазовая автоподстройка (ФАП) в приемниках ОФМн радиосигналов. Схемы Пистолькорса и Сифорова Graphics Безусловная оценка фазы Graphics Схема оптимального приемника ФМн-радиосигналов с флюктуирующей начальной фазой (переприсвоение оценки фазы) Graphics
Цифровые компараторы
Принцип действия цифрового компаратора. Фиксация входного напряжения на уровнях, совместимых с логическими уровнями транзисторно-логических микросхем. Схема компаратора на операционном усилителе. Структура логического элемента одноразрядного компаратора.
Диодные ограничители
Изучение работы диодных ограничителей. Схема диодного ограничителя по min или снизу. Осциллограмма ограничения отрицательной половины входного напряжения на уровне 0,4 и 0,6 В, положительной на 0,6 В и отрицательной на 0,6 В половины входного напряжения.
Работа выпрямителей
Изучение работы выпрямителей. Схема однополупериодного и двухполупериодного выпрямителей. Осциллограмма однополупериодного и двухполупериодного выпрямителей. Схема выпрямителей с Г-образным сглаживающим и П-образным L-C фильтром и их осциллограммы.
Моделирование структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB
Практические навыки моделирования структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB. Построение графиков функций в декартовой системе координат. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Работа с блоками Sum, Algebraic Constraint, Gain, Product.
Процедуры и функции
Министерство образования Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра прикладной математики Семистровая работа по теме:
Контроль работы удаленной станции
Кіровоградський державний технічний університет Кафедра програмного забезпечення Дисципліна Мережі ЕОМ Спеціальність : програмне забезпечення
Будування плакатів та блок-схем
Особливості зображення плакатів у MSVisio. Будування блок-схем алгоритмів згідно варіантів. Віртуальна інфраструктура сервера. Структура центра управління сіттю AltegroSky. Взаємозв’язок операційної системи, віртуальної машини та користувача комп’ютера.
Будування плакатів та блок-схем
Міністерство освіти і науки України Полтавський національний технічний університет Імені Юрія Кондратюка Факультет інформаційних та телекомунікаційних технологій і систем
Свойства вирусов
Text Text Graphics ВИРУСЫ Graphics Штамм H5N1 вируса птичьего гриппа Graphics Вирус гриппа. Graphics Схема строения вируса.
Схема государственного управления охраной труда
В соответствии с Трудовым кодексом Российской Федерации государственное управление охраной труда осуществляется Правительством РФ непосредственно или по его поручению федеральным органом исполнительной власти по труду.
Рівняння Бернуллі
Рівляння виду де п не дорівнює нулю або одиниці, називається рівнянням Бернуллі. Якщо п = 0 , то рівняння збігатиметься з лінійним. Якщо п = 1, то після об'єднання Р(х) з Q(x) дістанемо лінійне однорідне рівняння
Пристрої магнітної пам яті
Зовнішню пам’ять призначено для тривалого зберігання інформації і даних. Така інформація в зовнішній пам’яті зберігається після вимкнення ПК. Обсяг зовнішньої пам’яті значно більший за обсяг внутрішньої пам’яті, але вона суттєво поступається внутрішній пам’яті щодо швидкості запису та зчитування інформації.
Політологія в схемах
Схема 1. Сутність демократії. Схема 2. Механізм демократії. Політичний плюралізм Схема 3. Схема 4. Демократичний політичний режим. Схема 5. Юридична рівність громадян.