Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ
Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Преподаватель: Станкевич И.В.
Группа: ФН2-101
Студент: Смирнов А.В.
Москва 2002
Содержание
Постановка задачи
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины
Рис. 1
Решение
Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
(1)
(2)
(3)
где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
. (4)
Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.
Триангуляция.
Результат триангуляции представлен на рис.3.
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
, (5)
где , A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках
. (6)
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
. (7)
Минимум функционала (4) находим из условия
(8)
Функционал можно представить в виде
(9)
Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .
В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и вектор будут определяться несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений .
Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .
Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
, (10)
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
, . (11)
Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:
Вычисление разложения матрицы ().
Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к большим отклонениям в решении.
. .
Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
Список литературы:
Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).
Другие работы по теме:
Корреляционный и регрессионный анализ в экономических расчетах
Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
Понятие теплового комфорта
Тепловой комфорт, комфортное тепловое состояние, функциональное состояние организма человека, характеризующееся определённым содержанием и распределением теплоты в поверхностных и глубоких тканях тела при минимальном напряжении аппарата терморегуляции. Субъективно такое состояние оценивается как наиболее предпочитаемое.
Основы физической химии
Расчет теплового эффекта реакции в изобарном и изохорном процессах в стандартных условиях и при заданной температуре. Определение направления протекания процесса в изолированных и закрытых системах. Изменение температуры в самопроизвольных реакциях.
Электростатическая защита
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Электростатическое поле - эл.поле, образованное неподвижными электрическими зарядами. Свободные электроны - электроны, способные свободно перемещаться внутри проводника ( в основном в металлах) под действием эл. поля;
Основы тепломассообмена
Стационарная передача через плоскую стенку. Плотность теплового потока через стальную стенку и слой накипи. Расчет тепловой изоляции стальной трубки по заданным параметрам. Нестационарный нагрев длинного круглого вала. Сложный теплообмен, потеря тепла.
Ионно-сорбционная откачка
При ионно-сорбционной откачке используют два способа поглощения газа : внедрение ионов в объем твердого тела под действием электрического поля и химическое взаимодействие откачиваемых газов с тонкими пленками активных металлов .
Основы тепломассообмена
1. Стационарная передача через плоскую стенку Теплота дымовых газов передаётся через стенку воде. Принимая температуру газов tж1, воды tж2, коэффициент теплоотдачи газами стенки α1 и от стенки воде α2 и считая стенку плоской, требуется:
Взаимозаменяемость
Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Московский Государственный Текстильный Университет имени А.Н.Косыгина»
Сварочные сосредоточенные источники нагрева
Принцип местного влияния источников тепла устанавливает, что температурное поле зависит существенным образом от характера распределения источника тепла лишь на расстояниях одного порядка с размерами области, занятой источником. В области, удаленной от источника, температурное поле практически не изменяется, если заменить распределенный источник тепла приложенным в центре его тяжести сосредоточенным источником равной мощности.
Подвижные сосредоточенные источники постоянной мощности
Понятие и основные черты предельного (установившегося) состояния процесса. Процесс нагревания источником постоянной мощности, его периоды и основные характеристики. Принцип наложения в определении уравнений, описывающих процесс распространения теплоты.
Решение размерных цепей методом полной взаимозаменяемости
Методика и основные этапы решения размерных цепей методом полной взаимозаменяемости, порядок проведения прямых и обратных расчетов. Определение координаты середины поля допуска замыкающего звена, допуска замыкающего звена по известной зависимости.
Расчет солнечного коллектора
1.3 Методики расчета основных параметров Эффективность работы коллектора определяется отношением полезно использованной в коллекторе энергии к величине падающего на его поверхность солнечного излучения. Для определения полезной мощности целесообразно ввести понятие полного коэффициента потерь.
6
Выбор места, технических средств и материалов для локализации нефтяного загрязнения 11
Об электропроводности металлов
Данная гипотеза состоит в том, что причиной электрического сопротивления металлов является не соударение электронов с ионами кристаллической решетки металла, а потери на излучение.
Лазерная нанотехнология
Все компьютерные микропроцессоры изготавливаются на кремниевой подложке методом фотолитографии: свет, проходя через шаблон с рисунком схемы, формирует негатив этого рисунка на пластине, закладывая сплетение межсоединений.
Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации).
Вычисление случайных величин
Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
Зарядка и разрядка конденсатора
Схема и процесс зарядки диэлектрического конденсатора. Схема движения электронов к пластинам диэлектрического конденсатора. Процесс разрядки диэлектрического конденсатора на сопротивление. Особенности зарядки и разрядки электролитического конденсатора.
Волноводы
Определение геометрии прямоугольного и круглого волновода, расчет и построение графиков частотной зависимости электрических характеристик (фазовой, групповой скоростей и т.д.). Расчет геометрии коаксиальной, несимметричной, симметричной полосковой линии.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Моделирование движения заряженной частицы, падающей вертикально вниз на одноименно заряженную пластину, с помощью программ Mathcad и Matlab. Построение графика зависимости высоты, на которой находится точка, от времени и скорости движения этой частицы.
Оказание первой помощи при тепловом ударе
Тепловой и солнечный удар: причины возникновения, симптомы и признаки, меры первой помощи Тепловой удар – это опасное для жизни состояние, которое возникает при воздействии на тело человека повышенной температуры, в условиях повышенной влажности, обезвоживания и нарушения процесса терморегуляции организма.