МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ЛУБЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 3
І-ІІІ СТУПЕНІВ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ПЛОЩІ
Виконала:
учениця 5-Б класу
Німець Євгенія
Лубни 2007
Вступ
Даний реферат охоплює геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії
- розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині, тобто, так би мовити, у двовимірному світі.
Основними геометричними фігурами на площині є точка
і пряма
. Я дам їх визначення, як також визначення кута
, трикутника
, квадрата
, чотирикутника
, ромба
, паралелограма
, трапеції
, многокутника
. Пригадаю, як визначали площі згаданих фігур у часи античності та сучасні методи обчислення площ.
Точка і пряма
Як вже було зазначено, точка
і пряма
є основними геометричними фігурами на площині. Математично, точкою
на площині є об’єкт, два плоскі виміри якого (x
і y
) прямують до нуля. Тобто, це об’єкт, що має плоскі координати x
і y
, але не має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це „існуюче ніщо”. Як би я не загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку - в мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай навіть менше 0,1 мм!) розміри по x
та по y
. Таке визначення точки у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.
Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати складеною з точок. Тому прямою
на площині (рис.1) є геометричне місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а інший - ширина, прямує до нуля. Для порівняння, відрізок
(
рис 2), як частина прямої
, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома її точками, має нульову ширину
при цілком певній довжині
, скажімо 15 см чи 5 м. Півпрямою
, або променем (
рис.3) називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у нескінченність в один бік.
Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь - вони матимуть цілком певну ширину.
а
рис.1
А В
Рис. 2.
Рис.3
Кут
Кутом (
рис.4) називається фігура, що складається з двох різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається
вершиною
кута, а півпрямі -
сторонами
кута.
Рис.4
Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі незастосовне
.
Плоскі геометричні фігури
Чотирикутником
взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають опуклим
, якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.
Рис.5 Рис.6
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називають сусідніми
сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця - протилежними
сторонами.
Прямокутник
(рис.7) - це чотирикутник, у якого всі кути прямі.
b
а
Рис. 7.
Як бачимо з рис.7, геометри античності спочатку розбивали прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр квадратний з’явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер використовується формула S
прям.
= аb
.
Квадрат
- це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис.8).
а
Рис.8
Можна також розбити квадрат на n
одиниць площі і знайти їх суму, проте ми користуємося формулою S
квад.
= а
2
.
Паралелограм
- це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (рис.9).
h
а
Рис.9
Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S
парал.
= аh
.
Ромб
- це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис.10).
h
а
Рис.10
Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.
Трапецією
називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).
b
h
а
Рис.11
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
Кругом
називається геометричне місце точок площини, що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число R
, яке називається радіусом
круга (рис.12).
R
Рис.12
Площа круга визначається рівністю: , де π - число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є однаковим
для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа π, оскільки багато чого, пов’язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа π. За допомогою комп’ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: π = 3,14159265358…
Трикутником
є фігура, що складається з трьох точок і трьох прямих, що їх з’єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники (рис.13, 14)
с
b с b
h
γ
а а
Рис.13 Рис.14
Оскільки прямокутний трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного трикутника рівна .
Взагалі, площа будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. За рис.14 запишемо: . Існують інші формули для визначення площі трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для площі трикутника:
де р
- півпериметр трикутника, а саме .
Якщо плоска фігура зображена в системі координат (x
, y
), то площа будь-якої з них може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в 11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих криволінійних
плоских фігур.
Для площ n
-кутників багатьма великими цього світу виведені спеціальні формули, запам’ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай, застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий n
-кутник може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я пам’ятаю.
Другие работы по теме:
Поняття про аберації. Монохроматичні і хроматичні аберації
Аберація як порушення гомо-центричності пучків променів або сферичності хвильових поверхонь. Характеристика монохроматичних і хроматичних аберацій. Геометричне представлення аберації. Астигматизм і кривизна поля. Хід променів в оптичній системі.
Коливальний рух
Гармонічний коливальний рух та його кінематичні характеристики. Приклад періодичних процесів. Описання гармонічних коливань. Одиниці вимірювання. Прискорення тіла. Періодом гармонічного коливального руху. Векторні діаграми. Додавання коливань.
Засоби відображення інформації та принципи їх компонування
Інформація про стан керованого об’єкта поступає від засобів відображення інформації (ЗВІ), якими є різні прилади і які формують сенсорне поле на робочому місці. За функціями інформації ЗВІ поділяються на командні (цільові) і ситуаційні. Перші дають відомості про необхідні дії для досягнення мети, другі — інформацію щодо протікання технологічного процесу та описують наявну ситуацію.
Побудова зображень предметів на площині
Житомирський Військовий Інститут Національного Авіаційного Уніврситету Реферат на тему: Побудова зображень предметів на площині Житомир 2010 Нарисна геометрія – наука, яка вивчає просторові форми та способи зображення їх на площині.
Аналітична геометрія
Реферат на тему: Аналітична геометрія в просторі Аналітична геометрія в просторі Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора
Побудова зображень предметів на площині
Сутність методу проекціювання. Центральні та паралельні проекції. Переваги ортогонального проекціювання перед центральним та косокутним. Положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях. Закони побудови зображень.
Геометрия Лобачевского
Реферат З геометрії На тему: "Геомтрія Лобачевського" Виконав Учень 10-А класу Середньої школи № 96 Коркуна Дмитро Львів 2000 Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетинається з другою стороною кута.
Геометричні місця точок на площині та їх застосування
Поняття та методика визначення геометричного місця точки на площині. Правила та головні етапи процесу застосування даного математичного параметру до розв’язання задач на побудову. Вивчення прикладів задач на відшукання геометричного місця точки.
Застосування подвійних інтегралів
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
Методи перетворення комплексного креслення
Поняття і сутність нарисної геометрії. Геометричні фігури як формоутворюючі елементи простору. Розв'язання метричних задач шляхом заміни площин проекцій. Плоскопаралельне переміщення та обертання навколо ліній рівня. Косокутне допоміжне проектування.
Застосування координатного методу в стереометрії
Зміст Вступ Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Способи перетворення креслення
Сутність основних способів перетворення проекцій: заміни площин проекцій та обертання. Перетворення креслення так, щоб площина загального положення стала паралельною одній з площин проекцій нової системи. Основні положення плоско-паралельного переміщення.
Поверхні
Поняття та властивості поверхонь, їх класифікація та різновиди, відмінні риси. Креслення багатогранників та тіл обертання, правила та закономірності. Перетин поверхонь з прямою та площиною. Побудова лінії перетину поверхонь. Спосіб посередників.
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Вишивка на Україні
Реферат на тему: Вишивка на Україні Вишивка — один з давніх і найбільш розповсюджених видів народного декоративно-прикладного мистецтва. Вона виникла дуже давно і передавалася від покоління до покоління. Археологічні знахідки доби палеоліту, зокрема Мізина на Чернігівщині та його аналогів, засвідчують наявність вишивки на теренах України.
Розрахунок рамкової антени
Аналіз конструкції та параметрів рамкових антен, їх класифікація. Особливості антен з покращеними властивостями. Розрахунок діаграми спрямованості, використання програми MMANA-GAL. Оптимізація геометричних розмірів приймальної хвилевої рамкової антени.
ЗНО математика 2009 с ответами
ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ З МАТЕМАТИКИ 2009 РОКУ (відповіді до завдань тесту) 3 x + 12 Спростіть вираз . x 2 − 16 Відповідь: . x − 4 У трикутнику АВС: ∠А=65°, ВD– бісектриса кута В
Поверхні другого порядку
Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)
Способи картометричних робіт
Вивчення графоаналітичних прийомів аналізу карт, методи картометрії і морфометрії. Точність вимірювань довжин і площ на картах. Визначення прямокутних координат точки. Емпіричні способи введення поправок і різного роду редукцій для корекції результату.
Геометрія з давніх часів до сьогодення
Геометрія завжди мала численні практичні застосування. Основними її споживачами були землеміри, ремісники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, користуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протягом століть правилами, згідно з якими певні геометричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.
Виникнення геометрії
За переказами, біля входу до Академії Плато- на було написано “Та не ввійде сюди ніхто з тих, хто не знає геометрії”. Знайдавніших ча- сів геометрія вважалася однією з важливих
Аналітична геометрія на площині
Реферат на тему: Аналітична геометрія на площині Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння y = kx + b (2.3) де k=tg ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).
Формула Н ютона Лейбінца
Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.