КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11
ВАРИАНТ 8
1. В ящике 10 деталей, среди которых 3 бракованных.
Случайно извлекли 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся две
бракованных.
Будем использовать классическое определение вероятности.
Четыре детали из десяти можно выбрать способами (число сочетаний из
десяти элементов по четыре). Поэтому n — число
равновозможных событий равно т.к.
Две бракованных детали из трех можно выбрать способами:
Две стандартных детали из семи можно выбрать способами:
,
поэтому m — число благоприятных событий равно .
2. ОТК проверяет изделие на стандартность.
Вероятность стандартности изделия равна 0,85. Найти вероятность того, что из
двух проверенных изделий только одно стандартно. Ответ записать в виде
десятичной дроби.
Введем события — первое проверенное изделие
стандартное, — второе проверенное изделие
стандартное, — первое проверенное изделие
нестандартное, — второе изделие нестандартное, — из двух
проверенных изделий только одно стандартное. Тогда . События несовместимы, поэтому
по правилу сложения вероятностей , получаем: , т.к. события и — независимы,
то .
По условию:
Получаем:
3. Три стрелка А, В, С стреляют по некоторой цели,
делая не более одного выстрела. Вероятности попадания их при одном выстреле
соответственно равны 0,7, 0,8, 0,9. Стрельбу начинает А. Если он промахнется,
то стреляет в. Если и В промахнется, то стреляет С. Найти вероятность (в виде
десятичной дроби) того, что цель будет поражена.
Пусть событие — цель поражена, гипотезы: — первый
стрелок попал в цель, — первый стрелок промахнулся,
второй попал, — первый промахнулся, второй
промахнулся, третий попал.
Вероятность события :
.
По формуле умножения вероятностей ( учитывая, что вероятности промаха
стрелками равен соответственно ).
По формуле сложения вероятностей получим:
4. При рентгеновском обследовании вероятность
обнаружить туберкулез равна 0,9. Вероятность принять здорового человека за
больного равна 0,01. Доля больных туберкулезом ко всему населению равна 0,001.
Найти вероятность того, что человек здоров, хотя он признан больным при
обследовании. Ответ округлить до 0,001.
По формуле умножения вероятностей:
В нашем случае
Искомая вероятность:
5.Стрельба продолжается до первого попадания, но не более 4-х выстрелов.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Х – число израсходованных
патронов. Найти (ответы вводить в виде десятичной дроби): а) ряд распределения
Х; б) функцию распределения F (х), в ответ записать F (1,5), F (3,5); в) ; г) , ответ
округлить до 0,01; д) .
а) Случайная величина Х может принимать значения (1, 2, 3, 4). Найдем
вероятности этих значений, используя правило умножения вероятностей (промах при
первом выстреле, попадание при втором), (промахи при первых двух
выстрелах, попадание при третьем), (первые три выстрела — промах).
Запишем ряд распределения Х:
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
0,6 |
0,24 |
0,096 |
0,064 |
б) Функцию распределения найдем, пользуясь соотношением:
,
где
,
получаем:
в) Математическое ожидание дискретной случайной величины
найдем по формуле:
г) Дисперсию случайной величины найдем по формуле:
д) Искомую вероятность того, что случайная величина Х примет значение найдем по
формуле:
,
т.е.
6. Дана плотность распределения случайной величины Х:
Найти: а) константу А; б) функцию распределения , в ответ записать
F(3); в) ; г) , ; д)
а) Из условия нормировки следует, что , откуда
,
т.е. .
б) Воспользуемся формулой
Если
,
поэтому
,
при .
Если ,
.
Получаем:
в) Применяем формулу:
г) Применяем формулу:
д) Применим формулу:
7. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х
ее контролируемого размера от номинала не превышает 18 мм. Величина Х
распределена нормально, причем σ х =9 мм. Найти вероятность того, что
деталь будет признана годной. Ответ округлить до 0,01.
Применим формулу:
где
Δ — допустимое отклонение;
σ — среднее квадратическое отклонение,
эта
функция табулирована, ее значение берем из таблицы.
Получаем:
.
Из таблицы находим
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 12
ВАРИАНТ 8
1. Дана матрица распределения вероятностей системы (X,Y)
|
Х |
Y |
-1 |
0 |
3 |
2 |
0,11 |
0,25 |
0,14 |
3 |
0,12 |
0,20 |
0,18 |
Найти: а) ряды распределений X и Y; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) , округлить до 0,01; з) ряд
распределения Y, если X = 0; и) , округлить до 0,01.
а) Суммируя по столбцам, а затем по столбцам элементы матрицы
распределения, получаем искомые ряды распределения.
Х |
-1 |
0 |
3 |
Р |
0,23 |
0,45 |
0,32 |
Y |
2 |
3 |
|
Р |
0,5 |
0,5 |
|
б) Используем формулу:
в) .
г) Используем формулу:
д) .
е) Используем формулу:
ж) .
Вычитаем по формуле:
з) Используем формулу:
Получаем ряд распределения:
и)
2. Дана плотность распределения вероятностей системы (X, Y)
Найти: а) константу
С; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) F(2,10); к)
а) Константу С найдем из условия нормировки:
Найдем уравнение прямой ОВ:
Получим:
б) Используем формулы:
,
если x<0 или x>4, если
0<x<4
,
если у<0 или y>1, если 0<y<1,
то:
в) По формуле
получаем:
г) .
д)
е)
ж) .
,
где D — область, лежащая внутри треугольника ОАВ
з) .
и) ,
где D — треугольник ОСD:
к)
При
величина x меняется равномерно от до , поэтому
3. По данным выборки объема n = 12 нормально распределенной случайной
величины Х найдена исправленная дисперсия s = 5,1. Найти доверительный
интервал, содержащий среднее квадратичное отклонение величины Х с вероятностью 0,99. В
ответ ввести координату правого конца интервала.
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение S’:
Доверительный интервал ищем в виде:
или
в
зависимости от величины q, которое находим из таблицы.
При n=12, γ=0,99
находим q=0,9, следовательно, т.к. q<1
доверительный интервал ищем в виде
.
или
Другие работы по теме:
Оценка точности и надежности результатов измерений
Значения показателей и коэффициент вариации. Пределы возможных ошибок, исключение ошибочных результатов. Величина доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Средние квадратичные отклонения. Значения коэффициента доверия.
Актуарные расчеты 2
Вопрос 6 Актуарные расчеты — система статистических и экономико-математических методов расчетов тарифных ставок и определения финансовых взаимоотношений страховщика и страхователя. Актуарные расчеты отражают механизм образования и расходования страхового фонда в долгосрочных страховых операциях, связанных с продолжительностью жизни населения.
Надежность и диагностика электрооборудования
Задание по нахождению вероятности безотказной работы электроустановки со всеми входящими в нее элементами. Надежность как важнейший технико-экономический показатель качества любого технического устройства. Структурная надежность электрической машины.
Способ определения живучести связи (вероятности связности)
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Надежность, эргономика, качество АСОИУ
Структурная схема надежности технической системы. График изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки до уровня 0,1-0,2. 2. Определение Y-процентной наработки технической системы.
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Теория вероятности
Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
Теория вероятности
Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
Основы теории вероятности
Контрольная работа Основы теории вероятности Задание 1 Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
Определение вероятности событий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11 ВАРИАНТ 3 Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того: что герб появится два раза Применяя классическое определение вероятности, находим:
Задача по Математике 5
Задача № 74 Случайная величина х задана функцией распределения. Требуется: 1) найти функцию плотности вероятности f(x); 2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;
Элементы комбинаторики 2
Алтайский Государственный Аграрный Университет Индивидуальное задание по теории вероятности. Тема: Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретная случайная величина.
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Оценка точности и надежности результатов измерений
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей.
Поиск заданной вероятности
Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из 3-х его членов. Поиск вероятности того, что в подкомитет войдут: 2 бухгалтера и менеджер; бухгалтер, менеджер и инженер; хотя бы один бухгалтер.
Расчет математического ожидания и дисперсии
Определение математической вероятности правильного набора, если на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры. Использование классического определения вероятности. Расчет математического ожидания и дисперсии для очков, выпавших на игральных костях.
Определение вероятности событий
Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
Формула Лапласа. Математическое ожидание
Задача на определение вероятности попадания при одном выстреле первым орудием, при условии, что для второго орудия эта вероятность равна 0,75. Интегральная формула Лапласа. Решение задачи на определение математического ожидания случайной величины.
Геометрическое и гипергеометрическое распределение
Геометрическое распределение. Определение. Дискретная случайная величина Х=т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,..., т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
Способ определения живучести связи вероятности связности
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Построение графика изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0.1 - 0.2. Анализ зависимостей вероятностей безотказной работы.
Расчет структурной надежности системы
Построение графика изменения вероятности безотказной работы системы согласно структурной схемы. Порядок определения процентной наработки технической системы, обеспечение ее увеличения за счет повышения надежности элементов, структурного резервирования.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Вероятность безотказной работы системы, ее график. Метод разложения относительно особого элемента. Период нормальной эксплуатации и экспотенциальный закон. Процентная наработка системы и резервирование.
Происхождение человека 9
Жизнь с каждым днем доказывает, что в этом мире нет случайностей. Теория вероятности существует, но множество событий жизни происходят так, что становится очевидно, что есть кто-то "главнее" . Известно, что Библия писалась людьми, учениками Бога. Однако я не отрицаю, что, возможно, она писалась с Божьей помощью.